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对数函数基础习题


1.log5b=2,化为指数式是( A.5b=2 C.52=b D.b2=5 答案:C

) B.b5=2

2.在 b=log(a-2)(5-a)中,实数 a 的取值范围是( A.a>5 或 a<2 C.2<a<5 B.2<a<3 或 3<a<5 D.3<a<4

/>)

a-2>0 ? ? 解析:要使式子 b=log(a-2)(5-a)有意义则?a-2≠1 ? ?5-a>0 答案:B 3.下列结论正确的是( ) ③若 10=lgx 则 x=10

即 2<a<3 或 3<a<5.

①lg(lg10)=0 ②lg(lne)=0 ④若 e=lnx,则 x=e2 A.①③ C.①②

B.②④ D.③④

解析:∵lg10=1,∴lg(lg10)=0,故①正确; ∵lne=1,∴lg(lne)=0,故②正确; ∵10=lgx,∴x=1010,故③不正确; ∵e=lnx,∴x=ee,故④也不正确; 答案:C 1-2x 4.若 log3 =0,则 x=________. 9 1-2x 解析: ∵log3 =0, 9 ∴ 1-2x =1,1-2x=9. 9

∴-2x=8.x=-4. 答案:-4 4 5.若 a>0,a2= ,则 log 2 a=________. 9
3

4 2 解析:∵a>0,且 a2= ,∴a= . 9 3

2 ∴log 2 =1. 3
3

答案:1 6.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1) πx=8;(2)logx64=-6; (3)lg1 000=3. 解:(1)由 πx=8,得 x=logπ8; (2)由 logx64=-6,得 x 6=64;


(3)由 lg1 000=3,得 103=1 000. j 一、选择题 1.已知 logx8=3,则 x 的值为( 1 A. 2 C.3 B.2 D.4 )

解析:由 logx8=3,得 x3=8,∴x=2. 答案:B 2.方程 2 A.9 C. 3 解析:∵2 1 log x 3 = =2-2. 4 1 log x 3 = 的解是( 4 ) B. 3 3

1 D. 9

∴log3x=-2. 1 - ∴x=3 2= . 9 答案:D 7 3.若 logx y=z 则( A.y7=xz C.y=7x ) B.y=x7z D.y=z7x

7 7 解析:由 logx y=z 得:xz= y,y=x7z. 答案:B 4.log5[log3(log2x)]=0,则 x
? 1 2

等于(

)

A. C.

3 6 2 4

B.

3 9

2 D. 3

解析:∵log5[log3(log2x)]=0, ∴log3(log2x)=1, ∴log2x=3. ∴x=23=8. ∴x
? 1 2

=8

?

1 2



1 1 2 = = . 4 8 2 2

答案:C 二、填空题 5.log6[log4(log381)]=________. 解析:设 log381=x,则 3x=81=34, ∴x=4,∴原式=log6[log44]=log61=0. 答案:0 6.log 2
3

27 =________. 8 27 2 27 2 - =x,则( )x= =( ) 3, 8 3 8 3 27 =-3. 8

解析:设 log 2
3

∴x=-3.∴log 2
3

答案:-3
x ? ?3 ,x≤1 7.已知函数 f(x)=? 若 f(x)=2,则 x=________. ?-x,x>1, ?

?x≤1 ?x>1 ? ? 解析:由? x ?x=log32,? 无解. ?-x=2?x=-2 ?3 =2 ? ?

答案:log32 8.若 loga2=m,loga3=n,则 a2m n=________.


解析:∵loga2=m,∴am=2,∴a2m=4,又∵loga3=n, ∴an=3,∴a2m n=a2m· an=4×3=12.


答案:12 三、解答题 9.求下列各式中 x.

2 (1)log2x=- ; 3 (2)log5(log2x)=0. 解:(1)x=2
? 2 3

1 =( ) 3 2

2

(2)log2x=1,x=2. 10.已知二次函数 f(x)=(lga)x2+2x+4lga 的最大值为 3,求 a 的值. 解:原函数式可化为 f(x)=lga(x+ 1 2 1 ) - +4lga. lga lga

∵f(x)有最大值 3, ∴lga<0,且- 1 +4lga=3, lga

整理得 4(lga)2-3lga-1=0, 1 解之得 lga=1 或 lga=- . 4 1 又∵lga<0,∴lga=- . 4 ∴a=10
? 1 4

.

1.若 a>0,且 a≠1,x∈R,y∈R,且 xy>0,则下列各式不恒成立的是( ①logax =2logax;②logax =2loga|x|; ③loga(xy)=logax+logay; ④loga(xy)=loga|x|+loga|y|. A.②④ C.①④ B.①③ D.②③
2 2

)

解析:∵xy>0.∴①中若 x<0 则不成立;③中若 x<0,y<0 也不成立. 答案:B 2.计算 log916· log881 的值为( A.18 8 C. 3 解析:log916· log881= = 4lg2 4lg3 8 × = . 2lg3 3lg2 3 3 D. 8 lg16 lg81 · lg9 lg8 ) 1 B. 18

答案:C

3.已知 lg2=a,lg3=b,则 log36=( a+b A. a a C. a+b 解析:log36= 答案:B a+b B. b b D. a+b lg6 lg2+lg3 a+b = = b . lg3 lg3

)

4.已知 log23=a,3b=7,则 log1256=________. 解析:∵3b=7,∴b=log37, log356 log3?7×8? ∴log1256= = log312 log3?4×3? = log37+3log32 2log32+1

1 又∵log23=a,∴log32= . a 3 ab+3 b+a a 原式= = 2 2+a a+ 1 a = ab+3 . a+2 ab+3 a+2

答案:

x y 5.若 lgx-lgy=a,则 lg( )3-lg( )3=________. 2 2 解析:∵lgx-lgy=a, x y x y ∴lg( )3-lg( )3=3(lg -lg ) 2 2 2 2 =3(lgx-lgy)=3a. 答案:3a 6.计算下列各式的值. (1)log2 7 1 +log212- log242; 48 2

(2)log225· log34· log59. 解:(1)原式=log2 7×12 1 1 =log2 =- . 2 48× 42 2

(2)原式=log252· log322· log532 =8log2· 5log32· log53

lg5 lg2 lg3 =8 · · =8. lg2 lg3 lg5

一、选择题 1.lg8+3lg5 的值为( A.-3 C.1 ) B.-1 D.3

解析:lg8+3lg5=3lg2+3lg5=3(lg2+lg5)=3lg10=3. 答案:D 2.若 log34· log8m=log416,则 m 等于( A.3 C.18 解析:原式可化为:log8m= 2 log34 B.9 D.27 )

1 1 ∴ log2m=2log43,∴m =3. 3 3 m=27. 答案:D 3.已知 a=log32,用 a 来表示 log38-2log36( A.a-2 C.3a-(1+a)2 )

B.5a-2 D.3a-a2-1

解析:log38-2log36=3log32-2(log32+log33) =3a-2(a+1) =a-2. 答案:A 1 1β 4.已知方程 x2+xlog26+log23=0 的两根为 α、β,则( )α· ( ) =( 4 4 1 A. 36 C.-6 B.36 D.6 )

1 1 β 1 α+β 1 解析:由题意知:α+β=-log26,( )α· ( ) =( ) =( )-log26=4log26=22log26=36. 4 4 4 4 答案:B 二、填空题 5.2(lg 2)2+lg 2· lg 5+ ?lg 2?2-lg 2+1=________. 解析:原式=2(lg 2)2+lg 2· lg 5+1-lg 2

=2(lg 2)2+lg 2(lg 5-1)+1 =2(lg 答案:1
x ? ?e ,x≤0 1 6.设 g(x)=? ,则 g(g( ))=________. 2 ?lnx,x>0 ?

2)2-2(lg 2)2+1=1.

1 1 1 解析:∵ >0,∴g( )=ln . 2 2 2
1 1 1 1 ln 而 g(g( ))=g(ln )=e 2 = . 2 2 2

答案:

1 2

7.方程 log3(x-1)=log9(x+5)的解是________. x-1>0, ? ? 解析:由题意知?x+5>0, ? ??x-1?2=x+5, 答案:x=4 8.已知 x3=3,则 3log3x-logx23=________. 解析:3log3x=log3x3=log33=1,
3 3 3 而 logx23=logx33 2 =log33 2 = , 2

解之得 x=4.

3 1 ∴3log3x-logx23=1- =- . 2 2 1 答案:- 2 三、解答题 9.计算下列各式的值: log34 (1) ; log98 (2)lg2+lg50+31-log92; (3)2
log
2

1 4

16 ? 1 +( ) 2 +lg20-lg2-(log32)· (log23)+( 2-1)lg1. 9

log322 2log32 4 解:(1)原式= = = . log923 3 3 log32 2 100 (2)原式=lg2+lg +3×3 ? log 32 2 2
1 1 ? log 2 =lg2+(2-lg2)+3×3- log32 2 3 2

=2+3×3 log 3 2

?

1 2

1 3 2 =2+3×2- =2+ . 2 2 1 4 1 20 lg2 lg3 (3)原式= +[( )2]- +lg - · +1 4 3 2 2 lg3 lg2 1 4- = +( ) 1+lg10-1+1=2. 4 3 2 1 10.设 3x=4y=36,求 + 的值. x y 解:由已知分别求出 x 和 y, ∵3x=36,4y=36, ∴x=log336,y=log436, 由换底公式得: x= log3636 1 log3636 1 = ,y= = , log363 log363 log364 log364

1 1 ∴ =log363, =log364, x y 2 1 ∴ + =2log363+log364 x y =log36(32×4)=log3636=1.

1.函数 f(x)= 1 A.(- ,+∞) 2 1 1 C.(- , ) 2 2

3x2 +lg(2x+1)的定义域是( 1-2x

) 1 B.(- ,1) 2 1 D.(-∞,- ) 2

? ?1-2x>0 1 1 解析:由? 得- <x< . 2 2 ?2x+1>0 ?

答案:C 2.函数 y=logax 的图像如图所示,则实数 a 的可能取值是( A.5 1 C. e 1 D. 2 1 B. 5 )

解析:∵函数 y=logax 的图像一致上升,∴函数 y=logax 为单调增函数, ∴a>1. 答案:A

1 3.设 a=log 1 3,b=( )0.3,c=2 3 ,则 a,b,c 的大小关系是( 3
2

1

)

A.a<b<c C.c<a<b

B.c<b<a D.b<a<c
1

1 1 解析:∵a=log 1 3<log 1 1=0,0<b=( )0.3<( )0=1,c=2 3 >20=1.∴a<b<c. 3 3
2 2

答案:A
? ?log2x,x>0, 1 4.已知函数 f(x)=? x 则 f(f( ))=________. 4 ?3 ,x≤0, ?

1 1 解析:f( )=log2 =-2. 4 4 1 1 - f(f( ))=f(-2)=3 2= . 4 9 答案: 1 9

5.已知 log0.6(x+2)>log0.6(1-x),则实数 x 的取值范围是________. 解析:∵函数 y=log0.6x 为减函数, ∴结合定义域可得 x+2>0 ? ? ?1-x>0 ? ?x+2<1-x 1 ∴-2<x<- . 2 1 答案:(-2,- ) 2 6.已知函数 y=loga(x+b)的图像如图所示,求实数 a 与 b 的值. 解:由图像可知,函数的图像过点(-3,0)和(0,2),
?loga?b-3?=0 ? ∴? ,解之得 b=4, ? ?logab=2

x>-2 ? ?x<1 得? ?x<-1 ? 2

a=2.

一、选择题 1.已知函数 f(x)= 1 的定义域为 M,g(x)=ln(1+x)的定义域为 N,则 M∩N 等于 1-x ( A.{x|x>-1} B.{x|x<1} )

C.{x|-1<x<1}

D.?

解析:由题意得 M={x|x<1},N={x|x>-1}, 则 M∩N={x|-1<x<1}. 答案:C 2.函数 f(x)=log2(3x+3 x)是(


)

A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.不是奇函数又不是偶函数 解析:∵3x+3 x>0 恒成立.


∴f(x)的定义域为 R.又∵f(-x)=log2(3 x+3x)=f(x).∴f(x)为偶函数.


答案:B 3.如图是三个对数函数的图像,则 a、b、c 的大小关系是( )

A.a>b>c C.c>a>b

B.c>b>a D.a>c>b

解析:由图可知 a>1,而 0<b<1,0<c<1,取 y=1,则可知 c>b.∴a>c>b. 答案:D 4.已知函数 f(x)=|lgx|.若 a≠b,且 f(a)=f(b),则 a+b 的取值范围是( A.(1,+∞) C.(2,+∞) B.[1,+∞) D.[2,+∞) )

解析:f(x)=|lgx|的图像如图所示, 由题可设 0<a<1,b>1, ∴|lga|=-lga,|lgb|=lgb, ∴-lga=lgb. 1 即a=b, 1 ∴a+b=a+a(0<a<1). 1 又∵函数 y=x+x(0<x<1)为减函数, 1 ∴a+a>2.

答案:C 二、填空题 5.对数函数的图像过点(16,4),则此函数的解析式为________. 解析:设 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),则 loga16=4. ∴a4=16,又∵a>0 且 a≠1,∴a=2. 即 f(x)=log2x. 答案:f(x)=log2x 6. 已知函数 y=3+loga(2x+3)(a>0 且 a≠1)的图像必经过定点 P, 则 P 点坐标________. 解析:∵当 2x+3=1 即 x=-1 时,loga(2x+3)=0,y=3,P(-1,3). 答案:(-1,3) 7.方程 x2=log 1 x 解的个数是________.
2

解析:函数 y=x2 和 y=log 1 x 在同一坐标系内的图像大致为:
2

答案:1 8.若实数 a 满足 loga2>1,则 a 的取值范围为________. 解析:当 a>1 时,loga2>1=logaa. ∴2>a.∴1<a<2;当 0<a<1 时,loga2<0. 不满足题意. 答案:1<a<2 三、解答题 9.(1)已知函数 y=lg(x2+2x+a)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(2a+1)x+1],若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值 范围. 解:(1)因为 y=lg(x2+2x+a)的定义域为 R, 所以 x2+2x+a>0 恒成立,所以 Δ=4-4a<0, 所以 a>1.故 a 的取值范围是(1,+∞). (2)依题意(a2-1)x2+(2a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立.当 a2-1≠0 时,
2 ? ?a -1>0, ? 2 2 ?Δ=?2a+1? -4?a -1?<0. ?

5 解得 a<- . 4 当 a2-1=0 时,显然(2a+1)x+1>0,对 x∈R 不恒成立. 5 所以 a 的取值范围是(-∞,- ). 4 x+1 10.已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1). x-1 (1)求 f(x)的定义域: (2)判断函数的奇偶性. 解:(1)要使函数有意义,则有
? ?x+1>0, x+1 >0,即? , x-1 ?x-1>0, ?

?x+1<0, ? 或? 解得 x>1 或 x<-1, ?x-1<0, ?

此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称. -x+1 x-1 x+1 (2)f(-x)=loga =loga =-loga =-f(x). -x-1 x+1 x-1 ∴f(x)为奇函数.

1.(2011· 天津高考)设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( A.a<c<b C.a<b<c B.b<c<a D.b<a<c

)

解析:由于 b=(log53)2=log53· log53<log53<a=log54<1<log45=c,故 b<a<c. 答案:D 2.函数 y= log3x-3的定义域是( A.(9,+∞) C.[27,+∞) ) B.[9,+∞) D.(27,+∞)

解析:由 log3x-3≥0 得 log3x≥3.即 x≥27. 答案:C 3.若 logm8.1<logn8.1<0,那么 m,n 满足的条件是( A.m>n>1 C.0<n<m<1 B.n>m>1 D.0<m<n<1 )

解析:由题意知 m,n 一定都是大于 0 且小于 1 的,根据函数图像知,当 x>1 时,底数 越大,函数值越小. 答案:C

4.不等式 log 1 (5+x)<log 1 (1-x)的解集为________.
3 3

5+x>0 ? ? 解析:由?1-x>0 ? ?5+x>1-x 答案:{x|-2<x<1}

,得-2<x<1.

5.y=(log 1 a)x 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围是________.
2

1 解析:使 0<log 1 a<1,得 <a<1. 2
2

1 答案:( ,1) 2 6.已知函数 f(x)=loga(3-ax),当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范 围. 解:由题意知,3-ax>0 对 x∈[0,2]恒成立,a>0,且 a≠1. 设 g(x)=3-ax, 则 g(x)在[0,2]上为减函数, ∴g(x)min=g(2)=3-2a>0, 3 ∴a< . 2 3 ∴a 的取值范围是(0,1)∪(1, ). 2

一、选择题 1 1.与函数 y=( )x 的图像关于直线 y=x 对称的函数是( 4 A.y=4x C.y=log 1 x
4

)

B.y=4 D.y=log4x

-x

1 解析:作出图像观察可知函数 y=( )x 的图像与 y=log 1 x 的图像关于直线 y=x 对称. 4
4

答案:C 2.函数 y=2+log2x(x≥1)的值域为( A.(2,+∞) C.[2,+∞) 解析:∵x≥1,∴log2x≥0, ∴y=2+log2x≥2. ) B.(-∞,2) D.[3,+∞)

答案:C 3.若 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是( A.(0,1) 1 C.(0, ) 2 解析:∵(a2+1)-2a=(a-1)2>0(a≠1), ∴a2+1>2a. 由 loga(a2+1)<loga2a 知: 0<a<1. 又 loga2a<0=loga1. 1 ∴2a>1?a> , 2 1 综上: <a<1. 2 答案:B 4.已知函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上为减函数,则 a 的取值范围为( A.(0,1) C.(0,2) B.(1,2) D.(2,+∞) ) 1 B.( ,1) 2 D.(1,+∞) )

解析:∵a>0,∴g(x)=2-ax 为减函数, 即任取 x1,x2∈[0,1],且 x1<x2,有 g(x1)>g(x2), 又 logag(x1)>logag(x2). ∴a>1.而又∵g(x)=2-ax 在[0,1]恒为正. ∴2-a>0,∴a<2. 答案:B 二、填空题 ax+b?x≤0? ? ? 5.函数 f(x)=? 的图像如图所示,则 a+b+c=________. 1 ?logc?x+9??x>0? ?

解析:∵f(x)=ax+b(x≤0)过点(-1,0),(0,2),
?0=-a+b ? ∴? ,∴a=2,b=2. ? ?2=b

1 由图像知 f(x)=logc(x+ )过点(0,2) 9 1 1 ∴2=logc ,∴c= . 9 3 1 13 ∴a+b+c=2+2+ = . 3 3 答案: 13 3

6.已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a)若 A?B,则 a 的取值范围是(c,+∞), 其中 c=________. 解析:∵log2x≤2=log24 ∴0<x≤4,∴A={x|0<x≤4}. 又∵A?B.∴a>4. ∴c=4. 答案:4 7.函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1)在[2,3]上的最大值为 1,则 a=________. 解析:当 a>1 时,f(x)max=f(3)=loga3=1. ∴a=3. 当 0<a<1 时,f(x)max=f(2)=loga2=1. ∴a=2(舍去). ∴a=3. 答案:3 x 8.关于函数 f(x)=lg 2 有下列结论:①函数 f(x)的定义域是(0,+∞);②函数 f(x) x +1 是奇函数;③函数 f(x)的最小值为-lg2;④当 0<x<1 时,函数 f(x)是增函数;当 x>1 时, 函数 f(x)是减函数.其中正确结论的序号是________. x 解析:由 2 >0 知函数 f(x)的定义域是(0,+∞),则函数 f(x)是非奇非偶函数,所以 x +1 x 1 1 ①正确,②错误;f(x)=lg 2 =-lg(x+x)≤lg =-lg2,即函数 f(x)的最大值为-lg2,所 2 x +1 1 以③错误; 函数 y=x+x, 当 0<x<1 时, 函数 g(x)是减函数; 当 x>1 时, 函数 g(x)是增函数. 而 函数 y=lgx 在(0,+∞)上单调递增,所以④正确. 答案:①④ 三、解答题
? ?a 9.对 a,b∈R 定义运算“*”为 a*b=? ?b ?

?a≤b? ?a>b?



若 f(x)=[log 1 (3x-2)]*(log2x),试求 f(x)的值域.
2

?log ?3x-2? 解:f(x)=? 2 ?log x?3<x<1?
1 2
2

?x≥1?,

当 x≥1 时,log 1 (3x-2)≤0,
2

2 当 <x<1 时,1-log23<log2x<0, 3 故 f(x)的值域为(-∞,0]. 10. 分贝是计量声音强度相对大小的单位. 物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大 小:把声压 P0=2×10
-5

帕作为参考声压,把所要测量的声压 P 与参考声压 P0 的比值取常

用对数后乘以 20 得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分 贝(dB).分贝值在 60 以下为无害区,60~110 为过渡区,110 以上为有害区. (1)根据上述材料,列出分贝值 y 与声压 P 的函数关系式. (2)某地声压 P=0.002 帕,试问该地为以上所说的什么区? (3)2012 年央视春晚中,郭冬临、魏积安、何军等表演小品《面试》时,现场多次响起 响亮的掌声,某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了 90 分贝,试求此时中央电视台 演播大厅的声压是多少? P 解:(1)由已知得 y=20lg , P0 P - 又 P0=2×10 5,则 y=20lg - . 2×10 5 (2)当 P=0.002 时,y=20lg 0.002 2 - =20lg10 =40(分贝). 2×10 5

由已知条件知 40 分贝小于 60 分贝,所以该地区为无害区. (3)由题意得 90=20lg P P ,则 =104.5, P0 P0
- -0.5

所以 P=104.5P0=104.5×2×10 5=2×10

≈0.63(帕).


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