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高一数学必修4


3.1

两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式

问题提出

1.在三角函数中,我们学习了哪些基本 的三角函数公式? 2.对于30°,45°,60°等特殊角的三 角函数值可以直接写出,利用诱导公式 还可进一步求出150°,210°,315°等 角的三角函数值.我们希望再引进一些公 式,能够求更多的非特殊角的三角函数 值,同时也为三角恒等变换提供理论依 据.

3.若已知α ,β 的三角函数值,那么 cos(α -β )的值是否确定?它与α ,β 的三角函数值有什么关系?这是我们需 要探索的问题.

探究(一):两角差的余弦公式

思考1:设α ,β 为两个任意角, 你能 判断cos(α -β )=cosα -cosβ 恒成 立吗?
cos(30°-30°)≠cos30°-cos30°

思考2:我们设想cos(α -β )的值与α , β 的三角函数值有一定关系,观察下表 中的数据,你有什么发现?
cos(60°- 30°)
3 2

cos60° cos30° sin60° sin30°

1 2

3 2

3 2

1 2

cos(120° cos120 ° cos60 ° sin120 ° sin60 ° -60°) 1 1 1 3 3 ? 2 2 2 2 2

思考3:一般地,你猜想cos(α -β )等 于什么?
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

思考4:如图,设α ,β 为锐角,且α > β ,角α 的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP=β ,那么cos(α -β )表示哪条 线段长?
y

cos(α -β )=OM
O

P1 P M x

思考5:如何用线段分别表示sinβ 和 cosβ ?
y

cosβ
O

P1

sinβ
P x

A

思考6:cosα cosβ =OAcosα ,它表示 哪条线段长? sinα sinβ =PAsinα ,它表示哪条线段 长? y sin α sin β P
1

A
C
O

P x

B

cosα cosβ

思考7:利用OM=OB+BM=OB+CP可得什 么结论? y sinα sinβ
P1

A
C
O P x

B M

cosα cosβ

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

y 1

P1

A

?

sin

?
P

cos ?

C

?

?

? ??
B

O

M

1

x

cos ? cos ?

+

sin ? sin ?

思考8:上述推理能说明对任意角α ,β , 都有 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 成立吗? 思考9:根据cosα cosβ +sinα sinβ 的 结构特征,你能联想到一个相关计算原 理吗?

思考10:如图,设角α ,β 的终边与单 位圆的交点分别为A、B,则向量 ΟΑ、 ΟB的坐标分别是什么?其数量积是什 么? y uuu r ΟΑ=(cosα ,sinα ) OB =(cosβ ,sinβ ) A
α

B
β

O

x

uuu r uuu r OA ?OB

cos a cos b + sin a sin b

思考11:向量与的夹角θ 与uu αu 、 β 有什 r uuu r 么关系?根据数量积定义, OA ×OB 等于什么?由此可得什么结论?
y

α =2kπ +β +θ 或 β =2kπ +α +θ

A θ
α

B
β

O

x

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

思考12:公式cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 称为差角的余弦公式,记 作 C? ? ? ,该公式有什么特点?如何记忆?

探究(二):两角差的余弦公式的变通

思考1:若已知α +β 和β 的三角函数 值,如何求cosα 的值?

cosα =cos[(α +β )-β ]= cos(α +β ) cosβ +sin(α +β )sinβ . 思考2:利用α -(α -β )=β 可得 cosβ 等于什么? cosβ =cos[(α -β )-α ]= cos(α -β )cosα +sin(α -β )sinα .

思考3:若cosα +cosβ =a,sinα + sinβ =b,则cos(α -β )等于什么? 2 2 a ?b ?2 cos(? ? ? ) ? 2 思考4:若cosα -cosβ =a,sinα - sinβ =b,则cos(α -β )等于什么?
2?a ?b cos(? ? ? ) ? 2
2 2

理论迁移

例1 利用余弦公式求cos15°的值.
5 4 p 骣 ÷ , p , 例2 已知sin a = ,cosb = - , a ? ? ÷ ? 桫 2 13 5

β 是第三象限角,求cos(α -β )的值.
1 例3 已知 cos( a + b )cosb + sin(a + b )sin b = , 3
? 3? ? 且 ? ? ? 2 ,2? ? ? ?

, 求 cos(? ?

?

4

) 的值.

小结作业

1.在差角的余弦公式的形成过程中,蕴 涵着丰富的数学思想、方法和技巧,如 数形结合,化归转换、归纳、猜想、构 造、换元、向量等,我们要深刻理解和 领会. 2.已知一个角的正弦(或余弦)值,求 该角的余弦(或正弦)值时, 要注意该 角所在的象限,从而确定该角的三角函 数值符号.

3.在差角的余弦公式中,α ,β 既可以 是单角,也可以是复角,运用时要注意 角的变换,如,2β =(α +β )-(α -β ) p p a = (a + ) 6 6 等. 同时,公式的应用具有 灵活性,解题时要注意正向、逆向和变 式形式的选择.

作业: P127练习:1,2,3,4.


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