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2014届高考数学总复习 第2章 第9讲 函数的模型及其应用课件 理 新人教A版


第9讲

函数的模型及其应用

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道

直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函 数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

2项必须防范 1. 函数模型应用不当,是常见的解题错误,所以,正确理 解题意、选择适当的函数模型. 2. 要特别关注实际问题的自变量的取值范围、合理确定函

数的定义域.
4个重要步骤 1. 审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数 量关系,把握其中的数学本质.

2. 建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将

实际问题转化为数学问题.
3. 解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题. 4. 还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论.

课前自主导学

1.常见的几种函数模型 (1)一次函数模型:y=________(a≠0);

(2)反比例函数模型:y=________(k≠0);
(3)二次函数模型:y=________(a≠0); (4)指数函数模型:y=N(1+p)x(x>0,p≠0)(增长率问题);

(5)对数函数模型:y=blogax(x>0,a>0且a≠1); (6)幂函数模型:y=xn; a (7)y=x+x 型(x≠0); (8)分段函数型.

(1)一等腰三角形的周长是20,底边y是关于腰长x的函数,

它的解析式为________.
(2)水滴进玻璃容器, 如图所示(设单位时间内进水量相 同),那么水的高度是如何随时间变化的,请填上匹配的图象与 容器.

A—( )

B—(

) C—(

)

D—(

)

2.三种函数模型性质比较 y=ax(a>1) 在(0,+ ∞)上的 单调__函数 单调性 增长速度 越来越__ 随x值增大,图 图象的变 象与____轴接近 化 平行 y=logax(a>1) y=xn(n>0)

单调__函数
越来越__

单调__函数
相对平稳

随x值增大,图 随n值变化而 象与x轴接近 不同 ____

直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么?你作 为老板,希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长?

(1)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系 如图所示,下列四种说法: ①前三年中,产量增长的速度越来越快; ②前三年中,产量增长的速度越来越慢; ③第三年后,产品停止生产; ④第三年后,这种产品产量保持不变. 其中说法正确的是________. (2)上题中产品“总产量”若改为“年产量”,四种说法中 正确的是________.

k 1.ax+b ax2+bx+c x 填一填:(1)y=20-2x(5<x<10) (2)③ ② ④ ①

2.增 增

增 快



y

平行

想一想:提示:直线上升:匀速增长,其增长量固定不 变;指数增长:先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆

炸”来形容;对数增长:先快后慢,其增长速度缓慢;公司的
利润选择直线上升或指数模型增长,而员工奖金选择对数模型 增长. 填一填:(1)②③ (2)②④

核心要点研究

例1

[2013·无锡段考]某民营企业生产A、B两种产品,根

据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图 ①所示,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如 图②所示(注:利润与投资单位:万元).

(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式, 并写出它们的函数关系式; (2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品

的生产,怎样分配这10万元资金,才能使企业获得最大利润,
其最大利润约为多少万元(精确到1万元)?

[审题视点]

根据题目中函数模型求出函数的解析式,再

设其中一个产品所用的资金为x万元,利润y就可以表示为x的函 数,再用函数的知识求最值即可.
[解] (1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产

品的利润为g(x)万元, 由题设f(x)=k1x,g(x)=k2 x(k1k2≠0), 1 1 又f(1)= ,∴k1= . 4 4 5 5 又g(4)=2,∴k2=4.

1 5 从而f(x)=4x(x≥0),g(x)=4 x(x≥0). 所以利润与投资的函数关系式为 1 A种产品f(x)= x(x≥0), 4 5 B种产品g(x)=4 x(x≥0).

(2)设A产品投入x万元,则B产品投入(10-x)万元,设 企业利润为y万元,则 x 5 y=f(x)+g(10-x)= + 10-x, 4 4 因为0≤x≤10,令 10-x=t,则0≤t≤ 10, 10-t2 5 1 5 2 65 则y= + t=- (t- ) + (0≤t≤ 10), 4 4 4 2 16 5 65 当t=2时,ymax=16≈4, 25 此时x=10-t =10- 4 =3.75.
2

故当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获

得最大利润约为4万元.

1.在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一

次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直
线下降(自变量的系数小于0); 2.有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问 题、利润问题、产量问题等.一般利用函数图象的开口方向和 对称轴与单调性解决,但一定要注意函数的定义域,否则极易

出错.

[变式探究]

某公司试销一种成本单位为500元/件的新产

品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/ 件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看

作一次函数y=kx+b的关系(如下图所示).

(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S

元.
①试用销售单价x表示毛利润S; ②试问:销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利 润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?

解:(1)由图象知,当x=600时,y=400;当x=700 时,y=300,将其代入y=kx+b,得
?400=600k+b, ? ? ?300=700k+b, ? ?k=-1, ? 解得? ?b=1000, ?

∴y=-x+1000(500≤x≤800).

(2)销售总价=销售单价×销售量=xy,成本总价=成本单 价×销售量=500y.代入求毛利润的公式,得

S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)
=-x2+1500x-500000 =-(x-750)2+62500(500≤x≤800). ∴当销售单价为750元/件时,可获得最大毛利润62500元, 此时销售量为250件.

例2 [2013· 郑州模拟]中共十七届六中全会通过“文化 强国”战略,提出要努力建设社会主义文化强国.为响应 中央号召,郑州市2012年计划投入600万元加强民族文化基 础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以30天 计),民族文化旅游人数f(x)(万人)与时间x(天)的函数关系近 1 似满足f(x)=4(1+ x ),人均消费g(x)(元)与时间x(天)的函数 关系近似满足g(x)=104-|x-23|.

(1)求该市旅游日收益p(x)(万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N*)

的函数关系式;
(2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5% 的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.

[审题视点]

理清题意,准确建立函数模型是求解本题的

关键,对于第(1)问,该市旅游日收益p(x)就是每日的游客人数

f(x)与人均消费g(x)之间的乘积;对于第(2)问,建立模型时,要
注意23天这个关键点,对1≤x≤23和23<x≤30两种情况分别求值 即可.

[解]

1 (1)由题意,知p(x)=f(x)g(x)=4(1+ x )(104-|x-

23|)(1≤x≤30,x∈N*). (2)由(1), 1 ? 4?1+x ??81+x??1≤x≤23,x∈N*?, ? 知p(x)=? ?4?1+1??127-x??23<x≤30,x∈N*?. x ?

1 ①当1≤x≤23时,p(x)=4(1+ x )(81+x)=4(82+x+ 81 x )≥4(82+2 81 x· )=400, x

81 当且仅当x= x ,即x=9时,p(x)取得最小值400;

1 127 ②当23<x≤30时,p(x)=4(1+ x )(127-x)=4(126+ x -x), 127 127 设h(x)= x -x,则有h′(x)=- x2 -1<0,所以h(x)在 (23,30]上为减函数,则p(x)在(23,30]上也是减函数.所以当x 127 14 =30时,p(x)min=4(126+ 30 -30)=40015>400. 所以当x=9时,p(x)的最小值为400万元. 则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%= 648>600,所以600万元投资可以在两年内全部收回.

分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可 以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将

其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值的取
舍.构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不 重不漏.

[变式探究] [2011·湖北高考]提高过江大桥的车辆通行能 力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流 速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数, 当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速 度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小 时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一 次函数. (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某 观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大, 并求出最大值.(精确到1辆/小时)

解:(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60; 当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b, 1 ? ?200a+b=0, ?a=-3, ? 再由已知得? 解得? ?20a+b=60, ? ?b=200. 3 ? 故函数v(x)的表达式为 ?60,0≤x≤20, ? v(x)=?1 ?3?200-x?,20≤x≤200. ?

(2)依题意并由(1)可得 ?60x,0≤x≤20, ? f(x)=?1 ?3x?200-x?,20≤x≤200. ? 当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值 为60×20=1200; 1 1 x+?200-x? 2 当20≤x≤200时,f(x)= x(200-x)≤ [ ]= 3 3 2 10000 3 ,当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.

所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 10000 . 3 综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10000 ≈3333, 3 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大, 最大值约为3333辆/小时.

例3

[2012·《金版教程》原创组编]急剧增加的人口已经

使我们赖以生存的地球不堪重负.控制人口急剧增长的紧迫任
务摆在我们的面前. (1)世界人口在过去的40年内翻了一番,问每年人口平均增 长率是多少?

(2)我国人口在2003年底达到13.14亿,若将人口平均增长率 控制在1%以内,我国人口在2013年底至多有多少亿? 以下对数值可供计算时使用: N lgN 1.010 0.0043 1.015 0.0065 1.017 0.0073 1.310 0.1173 2.000 0.3010

N
lgN

12.48
1.0962

13.11
1.1176

13.14
1.1186

14.51
1.1616

[审题视点]

(1)本题求每年人口增长率,但已知40年内翻

一番,所以在解题方法上,可用方程的思想来解;

(2)本题是计算10年后我国人口的数量,由于题设中已知10
年前以及每年的增长率,所以在解题方法上,可先找到函数关 系,直接计算求解.

[解]

(1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为

a,n年后的人口数为y,则y=a(1+x)n, 依题意得:2a=a(1+x)40,即2=(1+x)40, 两边取对数得,lg2=40lg(1+x), lg2 则lg(1+x)= 40 =0.007525, 所以1+x≈1.017,得x≈0.017, 故每年的人口平均增长率约是1.7%.

(2)依题意得y≤13.14(1+1%)10,

两 边 取 对 数 得 , lgy≤lg13.14 + 10lg(1 + 1%)≈1.1616 ,
y≤14.51,故2013年底至多有人口14.51亿.

1. 指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问

题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指
数函数模型来表示. 2. 应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模 型将有关已知数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型. 3. y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.

[变式探究]

一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅

速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小

时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通
安 全 法 》 规 定 : 驾 驶 员 血 液 中 的 酒 精 含 量 不 得 超 过 0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过多少小 时才能开车?(精确到1小时,lg2=0.3010,lg3=0.4771)

答案:5

解析:设至少经过x小时才能开车.
由题意得0.3(1-25%)x≤0.09, ∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈5.

课课精彩无限

【选题·热考秀】 [2013·天津质检]在扶贫活动中,为了 尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况 良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠 价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还 的小型企业乙,并约定从该店经营的利润 中,首先保证企业乙的全体职工每月最低 生活费的开支3600元后,逐步偿还转让费 (不计息).

在甲提供的资料中有:①这种消费品的进价为每件14元; ②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;③每

月需各种开支2000元.
(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生 活费的余额最大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?

[规范解答] 设该店月利润余额为L, 则由题设得L=Q(P-14)×100-3600-2000,① ?-2P+50 ? 由销量图易得Q=? 3 ?-2P+40 ? ?14≤P≤20?, ?20<P≤26?,

代入①式得L= ??-2P+50??P-14?×100-5600 ? ? 3 ??-2P+40??P-14?×100-5600 ? ?14≤P≤20?, ?20<P≤26?,

(1)当14≤P≤20时,Lmax=450元,此时P=19.5元; 1250 61 当20<P≤26时,Lmax= 3 元,此时P= 3 元. 故当P=19.5元时,月利润余额最大,为450元.

(2) 设 可 在 n 年 内 脱 贫 , 依 题 意 有 12n×450 - 50000 -

58000≥0,解得n≥20.
即最早可望在20年后脱贫.

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角

(1)认真阅读题干内容,理清数量关系.(2)分析图形提供
的信息,从图形可看出函数是分段的.(3)建立函数模型,确定 解决模型的方法.

No.2 角度关键词:模板构建 解函数应用题的一般程序是: 第一步:审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关 系;本题条件是价格提高,销量降低,支出固定,结论是求余 额. 第二步:建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识 建立相应的数学模型;本题是列出P与L的函数关系. 第三步:求模:求解数学模型,得到数学结论;求出P的 取值. 第四步:还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题 的意义.本题是确定销售价格.

经典演练提能

1. [2013·沈阳模拟]若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃 烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系 用图象表示为( )

答案:B

解析:依题设可知,蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一次
函数关系, 又∵函数图象必过点(0,20)、(4,0)两点,且该图象应为一条 线段.∴选B.

2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出 400个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就要减少20个,为 了获得最大利润,每个售价应定为( )

A.95元
C.105元 答案:A

B.100元
D.110元

解析:设每个售价定为x元,则利润y=(x-80)·[400-(x- 90)·20]=-20[(x-95)2-225]

∴当x=95时y最大.

3.[2013·改编题]已知甲、乙两个车间的月产值在2012年 元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值,乙 以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年8月

份发现两个车间的月产值又相同,比较甲、乙两个车间2012年
4月份的月产值大小,则有( A.甲的产值小于乙的产值 B.甲的产值等于乙的产值 C.甲的产值大于乙的产值 )

D.不能确定

答案:C

解析:设甲乙两车间的月产值分别为f(x)与g(x),
由题意可知f(1)=g(1),f(8)=g(8),其中f(8)>f(1). 画出函数的图象可知f(4)>g(4).故选C.

4.[2012· 湖北三校联考]某城市对一种售价为每件160 元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R 5 元),若年销售量为(30- 2 R)万件,要使附加税不少于128万 元,则R的取值范围是( A.[4,8] C.[4%,8%] ) B.[6,10] D.[6%,100%]

答案:A
解析:根据题意,要使附加税不少于128万元,需(30- 5 2 R)×160×R%≥128,整理得R2-12R+32≤0,解得

4≤R≤8,即R∈[4,8].

5.[2013· 金版原创题]2013届大学毕业生小赵想开一家 服装专卖店,经过预算,该门面需要装修费为20000元,每 天需要房租水电等费用100元,受经营信誉度、销售季节等 因素的影响,专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系 1 2 ? ?400x- x ,0≤x≤400, 2 是R(x)= ? ?80000,x>400, ? 面经营的天数是________.

则总利润最大时,该门

答案:300
解析:由题意知总成本C(x)=20000+100x. 所以总利润 x ? ?300x- -20000,0≤x≤400, 2 P(x)=R(x)-C(x)=? ?60000-100x,x>400, ?
2

?300-x,0≤x≤400, ? P′(x)=? ?-100,x>400. ?

令P′(x)=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.


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