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命题和充分必要条件2


命题及其关系, 充分条件 和必要条件
第二节

考纲解读
? 理解命题的概念。 ? 了解“若p,则q”形式的命题及其逆 命题,否命题与逆否命题,会分析四 种命题的相互关系。 ? 理解必要条件与充分条件的意义。

考点预测
? 充分必要条件的判断和四种命题及其 关系是高考考查的热点。 ? 多以选择题和填空的形

式出现,由于 只是载体丰富,具有较强的综合性, 属于中,低档题目。

1.命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的,可 以 判断真假 的陈述句叫做命题. 其中 判断为真 的语句叫真命题, 题. 判断为假 的语句叫假命

2.四种命题及其关系 (1)四种命题

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有 ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真 假性 ?四个命题的真命题个数一定是偶数个, 0个,2 没有关系

相同 的真假性;

个或者偶数个。(为什么?) .

[思考探究] 一个命题的“否命题”与“否定”是同一个 命题吗? 提示:不是.命题的否命题既否定命题的条 件又否定命题的结论,而命题的否定仅是 否定命题的结论. ?p则?q ?命题的否命题是:若 命题“若p则q” :? p则?q ?命题的否定是:若

1.下列语句是命题的是 (1)这条河是一条小河; (2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗? (3)一个数不是合数就是质数; (4)大角所对的边大于小角所对的边; (5)x+y是有理数,则x,y也都是有理数; (6)求证:x∈R,方程x2+x+1=0无实数根.

解析:(1)河的大小没有确切的定义,所以 也不能判断真假. (2)疑问句,不是命题. (3)是命题.(4)是命题.(5)是命题. (6)祈使句,不是命题.

2.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函
数y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命 题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题 的个数是
A.3 C.1 解析:原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题; B.2 它的逆命题为假命题,故它的否命题也为假命题 . D.0 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题 只有一个.

1.命题真假的判定 对于命题真假的判定,关键是分清命题的 条件与结论,只有将条件与结论分清,再结 合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.

2.四种命题的关系的应用 掌握原命题和逆否命题,否命题和逆命题 的等价性,当一个命题直接判断它的真假不 易进行时,可以转而判断其逆否命题的真假.

[特别警示] 当一个命题有大前提而写出其他三

种命题时,必须保留大前提,大前提不动.

分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆 否命题、命题的否定,并判断它们的真假: (1)若q≤1,则方程x2+2x+q=0有实根; (2)若x、y都是奇数,则x+y是偶数; (3)若xy=0,则x=0或y=0;

(4)若x2+y2=0,则x、y全为0.

[思路点拨]

(1)若q≤1,则方程x2+2x+q=0有实根;
(1)原命题是真命题;
逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q≤1,为真 命题; 否命题:若q>1,则方程x2+2x+q=0无实根,为 真命题; 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q>1, 为真命题; 命题的否定:若q≤1,则方程x2+2x+q=0无实根,为 假命题.

(2)若x、y都是奇数,则x+y是偶数;
(2)原命题是真命题; 逆命题:若x+y是偶数,则x、y都是奇数,是假命题; 否命题:若x、y不都是奇数,则x+y不是偶数,是假命 题; 逆否命题:若x+y不是偶数,则x、y不都是奇数,是真 命题; 命题的否定:若x、y都是奇数,则x+y不是偶数,是假 命题

(3)若xy=0,则x=0或y=0;
. (3)原命题为真命题;

逆命题:若x=0或y=0,则xy=0,是真命题; 否命题:若xy≠0,则x≠0且y≠0,是真命题; 逆否命题:若x≠0且y≠0,则xy≠0,是真命题; 命题的否定:若xy=0,则x≠0且y≠0,是假命题.

(4)若x2+y2=0,则x、y全为0.
(4)原命题为真命题.

逆命题:若x、y全为0,则x2+y2=0,为真命题; 否命题:若x2+y2≠0,则x、y不全为0,为真命题; 逆否命题:若x、y不全为0,则x2+y2≠0,为真命题; 命题的否定:若x2+y2=0,则x、y不全为0,是假命题.

充分条件

命题P
前者
必要条件

命题Q
后者

对定义正确理解是关键
? ?有p足够了 思: ? p是q的充分不必要条件的意 ? ?少q也行 ? ? ?有p不够 ? 思: ? p是q的必要不充分条件的意 ? ?但少了q不行 ? ? 有p足够 ? ? p是q的充要条件的意思: ? ? ?少了q不行 ?

例如:p : 我是南阳人, q : 我是河南人

从逻辑角度观点理解充要条件





充分条件 必要条件 充要条件





既不充分也不条件

设A ? {x p(x) }, B ? {x q(x)}
B

用集合的观点来看

B
A

A

大集合是小集合的必要条件

小集合是大集合的充分条件条件

A=B
p是q的充分必要条 件充分条件(集合 相等)

A

B
p是q的既不充分也 不必要条件

考点一

充要条件的判断

? 那个是条件那个是结论 ?1分清条件和结论:分清 ? ? 定义法 p则q”即“若q则p”的真假 ?2找推式:判断“若 ? ?3下结论:根据递推及定 ? 义下结论 ? ? ? 价的又易于判断真假的 命题 ?将命题转化为另一个等 ? ? ? ? ? A ? B 与 B ? A ? ? ? ? ? ? ? 等价法: 利用 B ? A 与 A ? B 等价关系, ? ? ? ? ? ?A ? B与? B? ? A ? ? ? ? ?对条件结论是不等关系 的命题,运用等价法求 解 ? ? ? ? }, B ? {x q(x)}, ?写出集合A ? {x p(x) ?集合法: ? ? 系加以判断 . ? ?利用集合之间的包含关 ? ?

例.已知P:x+y≠2009;Q:x≠2000且y≠9,则P是Q



条件.

解析:“若P则Q”的逆否命题是 x=2000或y=9?x+y=2009. ∵逆否命题不成立,∴原命题不成立. 显然其逆命题也不成立. 答案:既不充分又不必要

1.条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立是必
要性; 2.证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性.证明时,不要 认为它是推理过程的“双向书写”,而应该进行由条件到结论, 由结论到条件的两次证明; 3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是 条件,哪是结论.

?1证明充分性 在证明充要条件时必须 分两步? ?2证明必要性

求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负
实根的充要条件是m≥2.

[思路点拨]

证明:

(1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0,

方程x2+mx+1=0有实根.
设x2+mx+1=0的两个实根为x1、x2,

由根与系数的关系知x1x2=1>0.
所以x1、x2同号. 又因为x1+x2=-m≤-2, 所以x1、x2同为负根.

(2)必要性:因为x2+mx+1=0的两个实根x1、x2均
为负,且x1x2=1,

所以m-2=-(x1+x2)-2
=-(x1+ )-2

=-

=-

0 ,所以m≥2.

?

综合(1)(2)知命题得证.


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