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定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系


定义与定义式

自变量 x 和因变量 y 有如下关系:

y=kx (k 为任意不为零实数) 或 y=kx+b (k 为任意不为零实数,b 为任意实数) 则此时称 y 是 x 的一次函数。 特别的,当 b=0 时,y 是 x 的正比例函数。即:y=kx (k 为任意不为零实 数) 正比例函数图像经过原点 定义域:自变量的取值范围,自变量的取

值应使函数有意义;要与实际相符 合。 [编辑本段]一次函数的性质 1.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例,比值为 k 即:y=kx+b(k≠0) (k 不等于 0,且 k,b 为常数) 2.当 x=0 时,b 为函数在 y 轴上的,坐标为(0,b). 3.k 为一次函数 y=kx+b 的斜率,k=tanΘ(角 Θ 为一次函数图象与 x 轴正方向 夹角,Θ≠90°) 形。取。象。交。减 4.当 b=0 时, 一次函数图像变为正比例函数, 正比例函数是特殊的一次函数. 5.函数图像性质:当 k 相同,且 b 不相等,图像平行;当 k 不同,且 b 相等, 图像相交;当 k,b 都相同时,两条直线重合。 [编辑本段]一次函数的图像及性质 1.作法与图形:通过如下 3 个步骤 (1)列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]; (2)描点;

(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的 图像只需知道 2 点,并连成直线即可。(通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点) 2. 性质: 在一次函数上的任意一点 P (1) (x, , y) 都满足等式: y=kx+b(k≠0)。 (2)一次函数与 y 轴交点的坐标总是(0,b),与 x 轴总是交于(-b/k,0)正 比例函数的图像都是过原点。 3.函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 4.k,b 与函数图像所在象限: y=kx 时(即 b 等于 0,y 与 x 成正比) 当 k>0 时,直线必通过一、三象限,y 随 x 的增大而增大; 当 k<0 时,直线必通过二、四象限,y 随 x 的增大而减小。 y=kx+b 时: 当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一,二,三象限。 当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一,三,四象限。 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一,二,四象限。 当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二,三,四象限。 当 b>0 时,直线必通过一、二象限; 当 b<0 时,直线必通过三、四象限。 特别地,当 b=0 时,直线通过原点 O(0,0)表示的是正比例函数的图像。 这时,当 k>0 时,直线只通过一、三象限,不会通过二、四象限。当 k<0 时,直线只通过二、四象限,不会通过一、三象限。 4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中 K 值(即一次项系数) 相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中 K 值互为负倒数(即 两个 K 值的乘积为-1) [编辑本段]确定一次函数的表达式 已知点 A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点 A、B 的一次函数的表达 式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为 y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点 P(x,y),都满足等式 y=kx+b。所以 可以列出 2 个方程:y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ② (3)解这个二元一次方程,得到 k,b 的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 [编辑本段]一次函数在生活中的应用 1.当时间 t 一定,距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度 f 一定,水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池 中原有水量 S。g=S-ft。 [编辑本段]常用公式 1.求函数图像的 k 值:(y1-y2)/(x1-x2) 2.求与 x 轴平行线段的中点:|x1-x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点:|y1-y2|/2 4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2) 的平方和) 5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式 两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令 y1=y2 得 k1x+b1=k2x+b2 将解 得的 x=x0 值代回 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到 y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标

6.求任意 2 点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2] 7.求任意 2 点的连线的一次函数解析式: (X-x1) /(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其 中分母为 0,则分子为 0) kb + + 在一象限 + - 在四象限 - + 在二象限 - - 在三象限 8.若两条直线 y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2,那么 k1=k2,b1≠b2 9.如两条直线 y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,那么 k1×k2=-1 10.左移 X 则 B+X,右移 X 则 B-X 11.上移 Y 则 X 项+Y,下移 Y 则 X 项-Y (有个规律.b 项的值等于 k 乘于上移的单位在减去原来的 b 项。) (此处不全 愿有人补充) 上移:(a 为移动的数量)Y=k(X+a)+b Y=kX+ak+b 下移:(a 为移动的数量)Y=k(X-a)+b Y=kX-ak+xb [编辑本段]应用 一次函数 y=kx+b 的性质是:(1)当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大;(2) 当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。

一、确定字母系数的取值范围 例 1. 已知正比例函数 ,则当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小。 解:根据正比例函数的定义和性质,得 且 m<0,即 且 ,所以 。 二、比较 x 值或 y 值的大小 例 2. 已知点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函数 y=3x+4 的图象上 的两个点,且 y1>y2,则 x1 与 x2 的大小关系是( ) A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定 解:根据题意,知 k=3>0,且 y1>y2。根据一次函数的性质“当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大”,得 x1>x2。故选 A。 三、判断函数图象的位置 例 3. 一次函数 y=kx+b 满足 kb>0,且 y 随 x 的增大而减小,则此函数的图 象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解:由 kb>0,知 k、b 同号。因为 y 随 x 的增大而减小,所以 k<0。所以 b<0。故一次函数 y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限。故 选 A . 典型例题: 例 1. 一个弹簧,不挂物体时长 12cm,挂上物体后会伸长,伸长的长度与所 挂物体的质量成正比例.如果挂上 3kg 物体后,弹簧总长是 13.5cm,求弹簧总长 是 y(cm)与所挂物体质量 x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为 23cm, 求自变量 x 的取值范围. 分析:此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题,同时也是实际问题, 其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和, 而自变量的取值范围 则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.

解:由题意设所求函数为 y=kx+12 则 13.5=3k+12,得 k=0.5 ∴所求函数解析式为 y=0.5x+12 由 23=0.5x+12 得:x=22 ∴自变量 x 的取值范围是 0≤x≤22 例2 某学校需刻录一些电脑光盘, 若到电脑公司刻录, 每张需 8 元, 若学校自刻, 除租用刻录机 120 元外,每张还需成本 4 元,问这些光盘是到电脑公司刻录, 还是学校自己刻费用较省? 此题要考虑 X 的范围 解:设总费用为 Y 元,刻录 X 张 电脑公司:Y1=8X 学校 :Y2=4X+120 当 X=30 时,Y1=Y2 当 X>30 时,Y1>Y2 当 X<30 时,Y1<Y2 【考点指要】 一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是 C 级知识点,特别是根据问 题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是 D 级知 识点.它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起,以选 择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中,大约占有 8 分左右.解决这类问 题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.

例 2.如果一次函数 y=kx+b 中 x 的取值范围是-2≤x≤6, 相应的函数值的范围 是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。 解:(1)若 k>0,则可以列方程组 -2k+b=-11 6k+b=9 解得 k=2.5 b=-6 ,则此时的函数关系式为 y=2.5x—6 (2)若 k<0,则可以列方程组 -2k+b=9 6k+b=-11 解得 k=-2.5 b=4,则此时的函数解析式为 y=-2.5x+4 【考点指要】 此题主要考察了学生对函数性质的理解,若 k>0,则 y 随 x 的增大而增大; 若 k<0,则 y 随 x 的增大而减小。 一次函数解析式的几种类型 ①ax+by+c=0[一般式] ②y=kx+b[斜截式] (k 为直线斜率,b 为直线纵截距,正比例函数 b=0) ③y-y1=k(x-x1)[点斜式] (k 为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点) ④(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式] ((x1,y1)与(x2,y2)为直线上的两点) ⑤x/a-y/b=0[截距式]

(a、b 分别为直线在 x、y 轴上的截距) 解析式表达局限性: ①所需条件较多(3 个); ②、③不能表达没有斜率的直线(平行于 x 轴的直线); ④参数较多,计算过于烦琐; ⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。 倾斜角: 轴到直线的角 x (直线与 x 轴正方向所成的角) 称为直线的倾斜 角。 设一直线的倾斜角为 a,则该直线的斜率 k=tg(a)


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