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2014二模海淀高三数学期末练习参考答案(文科)


海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案 数 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.A 7.D 8.B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 学 (文科) 2

014.5

5

10.2

11.8

12.①②

13.2,0

14.5,3.6

{第 13,14 题的第一空 3 分,第二空 2 分} 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15.解: (Ⅰ)

f ( x) ? 3sin2 x ? cos2 x ? a ? 1
3 1 sin 2 x ? cos 2 x ) ? a ? 1 2 2 π ? 2sin(2 x ? ) ? a ? 1 6 ? 2(
∴周期 T

--------------------------4 分

---------------------------6 分 ----------------------------7 分 ------------------------------8 分 --------------------------------9 分 ---------------------------------11 分 --------------------------------12 分

?

2π ? π. 2

(Ⅱ)令

π f ( x) ? 0 ,即 2sin(2 x ? ) ? a ? 1=0 , 6 π 则 a =1 ? 2sin(2 x ? ) , 6 π 因为 ?1 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 6 π 所以 ?1 ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 , 6
所以,若

f ( x) 有零点,则实数 a 的取值范围是 [ ?1,3] .

-----------------------------13 分

16.解: (Ⅰ)上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4 分 (Ⅱ)从 2012 年 2 月到 2013 年 1 月的 12 个月中价格指数环比下降的月份有 4 月、5 月、6 月、9 月、10 月. ------------------------------------------6 分

设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件 A, --------------------------------------7 分 在这 12 个月份中任取连续两个月共有 11 种不同的取法,------------------------------8 分 1

其中事件 A 有(4 月,5 月) , (5 月,6 月) , (9 月,10 月) ,共 3 种情况. ---------9 分 ∴ P( A) ?

3 . 11

-----------------------------------------10 分

(Ⅲ)从 2012 年 11 月开始,2012 年 11 月,12 月,2013 年 1 月这连续 3 个月的价格指数方差最大. -----------------------------------------13 分 17.解: (I)

A1 A ? 底面 ABC ,
? A1 A ? AB , AB ? AC , A1 A
-------------------------2 分

AC ? A ,
--------------------------4 分 面 DEF ? DE ,面 ABC 面 ABC1

? AB ? 面 A1 ACC1 . (II) 面 DEF //面 ABC1 ,面 ABC ? AB // DE ,

? AB ,

---------------------------7 分 ---------------------------8 分

C1 B1 F D E B

A1

在 ?ABC 中 E 是棱 BC 的中点,

? D 是线段 AC 的中点. (III) 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 A1 A ? AC

?侧面 A1 ACC1 是菱形,
? AC ? AC1 , 1 由(1)可得 AB ? A1C , AB AC1 ? A , ? AC ? 面 ABC1 , 1 ? AC ? BC1 . 1 又 E , F 分别为棱 BC, CC1 的中点, ?EF // BC1 , ? EF ? AC1 .
18. 解: (Ⅰ)由已知可得 f '( x ) ? x ? 2ax ? 4 .
2

C
--------------------------------9 分

A

--------------------------------11 分 -------------------------------12 分 ------------------------------13 分 ------------------------------14 分

---------------------------------1 分 ---------------------------------2 分 ---------------------------------4 分

? f '(0) ? 4 , 又 f (0) ? b ? f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? 4 x ? b .


1 3 x ? ax2 ? 4 x ? b ? 4 x ? b ,整理得 ( x ? 3a) x2 ? 0 . 3
-----------------------------------5 分 ----------------------------------------6 分 ----------------------------------------7 分

? x ? 0 或 x ? ?3a , a?0 ??3a ? 0 , ? f ( x ) 与切线有两个不同的公共点.
(Ⅱ)

f ( x ) 在 ( ?1,1) 上有且仅有一个极值点,
2 ? x ? 2a x ?在 4 ( ?1,1) 上有且仅有一个异号零点, ? f ' (x )

---------------------------9 分

由二次函数图象性质可得

f '( ?1) f '(1) ? 0 ,
2

-------------------------------------10 分

5 5 或a ? ? , 2 2 5 5 综上, a 的取值范围是 (??, ? ) ( , ??) . 2 2
即 (5 ? 2a )(5 ? 2a ) ? 0 ,解得 a

?

----------------------------12 分 -------------------------------13 分

19.解: (Ⅰ)由已知可设椭圆 G 的方程为: 由e ?

x2 ? y 2 ? 1( a ? 1) --------------------------------------------1 分 a2

a2 ? 1 1 2 2 ? ,----------------------------------------------------------------3 分 ,可得 e ? a2 2 2 2 解得 a ? 2 , -----------------------------------------------------------4 分 2 x ? y2 ? 1 . 所以椭圆的标准方程为 ----------------------------------------------------5 分 2
(Ⅱ)法一: 设 C ( x0 , y0 ), 则 D( ? x0 , y0 ), x0 因为 A(0,1), B(0, ?1) , 所以直线 BC 的方程为

?0

------------------------------------------------------6 分

y?

y0 ? 1 x ?1, x0

------------------------------------------------------7 分



y ? 0 ,得 xM ?

x0 x0 ,0) . ,所以 M ( y0 ? 1 y0 ? 1

----------------------------------------------8 分

所以 AM

?(

x0 , ?1), AD ? (? x0 , y0 ? 1), y0 ? 1

-------------------------------------------9 分

所以 AM

? AD ?

? x0 2 ? y0 ? 1 , y0 ? 1

---------------------------------------------10 分

又因为

x0 2 y0 2 2( y0 2 ? 1) ? ? 1 ,代入得 AM ? AD ? ? 1 ? y0 ? y0 ? 1 --------------------11 分 2 1 y0 ? 1

因为 ?1 ?

y0 ? 1 ,所以 AM ? AD ? 0 . -----------------------------------------------------------12 分

? 90 , -------------------------------------------------------13 分 所以点 A 不在以线段 MN 为直径的圆上. ---------------------------------------------14 分 1 法二:设直线 BC 的方程为 y ? kx ? 1 ,则 M ( ,0) . ------------------------------------------------6 分 k
由?

所以 ?MAN

? x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0, ? y ? kx ? 1,
2

化简得到 x

2

? 2(kx ? 1)2 ? 2 ? 0 ,

所以 (1 ? 2k 所以

) x2 ? 4kx ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ?
4k 2k 2 ? 1 ? 1 ? , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

4k , -------------------------------------8 分 2k 2 ? 1

y2 ? kx2 ? 1 ? k

3

4k 2k 2 ? 1 ?4 k 2 k 2 ? 1 , ) D ( , ) ----------------------------------------9 分 ,所以 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 1 ?4k 2k 2 ? 1 , ? 1), ---------------------------------------------10 分 所以 AM ? ( , ?1), AD ? ( 2 k 2k ? 1 2k 2 ? 1 ?4 2k 2 ? 1 ?2 ? ?1 ? 2 ? 0 , --------------------------------------12 分 所以 AM ? AD ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 所以 ?MAN ? 90 , ---------------------------------------13 分 所以点 A 不在以线段 MN 为直径的圆上. ------------------------------------14 分
所以 C ( 20.解: (Ⅰ)①因为

S5 13 ? ? 5 ,数列 ?1,3,5, 2, 4 不是“ ? 数列”, ---------------------------------2 分 5 ?1 4 3 32 33 S 111 3 3 ②因为 3 ? ? ,又 是数列 , 2 , 3 中的最大项 4 4 4 3 ? 1 128 4 4 2 3 3 3 3 所以数列 , 2 , 3 是“ ? 数列”. ----------------------------------------------4 分 4 4 4
假设存在某项 ai

(Ⅱ)反证法证明:

? 0 ,则 ? ak ?1 ? ak ? Sk ? ai ? Sk .

a1 ? a2 ?
设 aj

? ai ?1 ? ai ?1 ?

? max{a1, a2 ,

, ai ?1, ai ?1,

, ak ?1, ak } ,则 ? ak ?1 ? ak ≤(k -1) aj ,

Sk ? ai ? a1 ? a2 ?
所以 (k ?1)a j

? ai ?1 ? ai ?1 ?
Sk , k ?1

? Sk ,即 a j ?

这与“ ? 数列”定义矛盾,所以原结论正确. (Ⅲ)由(Ⅱ)问可知 b1 ①当 d ②当 d

--------------------------8 分

? 0, d ? 0 .
? bm ? Sm S ? m ,符合题设; m m ?1
---------------------9 分

? 0 时, b1 ? b2 ?
? 0 时, b1 ? b2 ?

? bm
? Sm 1 ,即 (m ? 1)[b1 ? (m ? 1)d ] ? mb1 ? m(m ? 1)d m ?1 2

由“ ? 数列”的定义可知 bm 整理得 (m ? 1)(m ? 2)d

? 2b1 (*)

显然当 m ? 2b1 ? 3 时,上述不等式(*)就不成立 所以 d

? 0 时,对任意正整数 m ? 3 , (m ? 1)(m ? 2)d ? 2b1 不可能都成立. ? 0.
--------------------------------------------------13 分

综上讨论可知 {bn } 的公差 d

4


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