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典型环节传递函数及伯德图


开环传递函数的物理意义
若将闭环反馈系统中的反馈环节输出端断开,则 断开处的作用量与输入量的传递关系如图所示。 但应注意不要和开环系统的传递函数相混淆。

几个基本概念和术语
? 前向通道传递函数:
Y ( s) ? G1 ( s )G2 ( s ) ? G ( s ) E ( s) B(s) ? H (s) Y ( s) B( s) ? G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) ? G ( s ) H ( s ) E ( s) Y (s) G ( s) 前向传函 ? = R ( s ) 1 ? G ( s ) H ( s ) 1+开环传函 E ( s) 1 1 ? ? R ( s ) 1 ? G ( s ) H ( s ) 1+开环传函 Y ( s) G2 ( s ) TN ( s ) ? ? N ( s) 1 ? G ( s) H (s) E ( s ) ? G2 ( s ) H ( s ) TNE ( s ) ? ? N (s) 1 ? G ( s) H ( s) T ( s) ?

? 反馈通道传递函数:
? 开环传递函数: ? 闭环传递函数:

? 误差传递函数:
? 输出对扰动的传递函数: ? 误差对扰动的传递函数:

典型环节及其传递函数
1.比例环节G ( s ) ? K,特点:输入输出成比 例,无失真和延迟 1 2.积分环节:G ( s ) ? , 特点:当输入结束,输 出具有记忆功能。 s 3.微分环节 G ( s ) ? Ks ?理想微分环节: ? ...?一阶微分环节: G ( s ) ? ?s ? 1 ,特点:输出能够预示 输入信号的变化趋势。 ?二阶微分环节: G ( s ) ? ? 2 s 2 ? 2?? s ? 1 ? 1 4.惯性环节G ( s ) ? , 含储能环节,对突变输 入不能立即复现,输出 无振荡。 Ts ? 1 5.纯延迟环节:c(t ) ? r (t ? ? ), G ( s ) ? e ??s , 式中?为延迟时间。 1 6.振荡环节:G ( s ) ? 2 ,特点:环节中有两个 储能环节,其输出出现 振荡。 2 s ? 2?? n s ? ?n

1.比例环节(放大环节)

?

比例环节的特点:输出量与输入量之间的关系是一种固定 的比例关系,也就是输出量能无失真、无滞后地按一定比 例复现输入量。 比例环节的微分方程:

?

?

比例环节的传递函数:

?

比例环节的单位阶跃响应:

比例环阶的单位阶响应跃

1.比例环节(放大环节)
?

比例环节是自动控制系统中使用最多的一种,例如电子放大器、 齿轮减速器、杠杆、弹簧、电阻、质量等,如图所示。

比例环节功能框图

1.比例环节(放大环节)

G( j? ) ? K , L(? ) ? 20lg G( j? ) ? 20lg K G( s) ? K G( j? ) ? K ?G( j? ) ? ?K ? 0 ? (? ) ? ?G( j? ) ? 0 ?
L(? )(dB)

20lgK j 0 K 0 0.1 1 10

? (? )(度)

?

0

0.1

1

10

?

2.积分环节
? ?

积分环节的特点:输出量与输入量的积分成正比例,即输出量取 决于输入量对时间的积累过程。 积分环节的微分方程:

?

积分环节的传递函数:

?

积分环节的单位阶跃响应:

2.积分环节
积分环节也是自动控制系统中最常见的环节之一,凡是输出量对输入量具有 贮存和积累特点的元件一般都含有积分环节,例如机械运动中位移与转速、 转速与转矩、速度与加速度、电容的电压与电流、水箱的水位与水流量等。 下面介绍几个常见的积分环节。 (1)电动机
? ?

电动机转速和转矩、角位移和转速都是积分关系。 当不考虑负载转矩时,电动机的转矩与转速的关系如下

?

对上式进行拉氏变换得

?

而电动机的角位移与转速关系如下

?

对上式进行拉氏变换可得

2.积分环节
(2)电容电路 ? 电容两端的电压和电流是积分关系。 ? 电容的电量
?

对上式进行拉氏变换可得

(3)积分电路
? 输出电压和输入电压是积分关系。 ? 由电子学知识可知

? 对上式进行拉氏变换得
? 式中,T 为积分时间常数,T=RC。

2.积分环节
G ( j? ) ?

1

?

,

L(? ) ? 20lg G ( j? ) ? 20lg 1 ? ?90? j?

1

?

? ?20lg?

?G ( j? ) ? ?
L(? )(dB)
40

? (? ) ? ?G ( j? ) ? ?90?

j
20

?20dB / dec

0

0 0.01

0.1

1

10

?

?

? (? )(?)

0 0.01 -30 -60 -90

0.1

1

10

?

3. 理想微分环节
? ?

微分环节的特点:输出量与输入量的微分成正比例,即输出量与输入 量无关而与输入量的变化率正比例。 微分环节的微分方程:

?

微分环节的传递函数

3. 理想微分环节
?微分环节输入量与输出量的关系与积分环节恰恰相反,将积分环节的 输入与输出相对换就是微分环节,例如速度与加速度、位移与速度等。 下面通过两个实例来加以说明。

(1)齿条齿轮传动
?

齿轮的角速度与齿条的位移是微分关系。以齿条的直线位移为输 入,齿轮的角速度为输出时有

?

对上式进行拉氏变换可得

3. 理想微分环节

(2)测速发电机

? 输出电压与转轴转角是微分关系。测速发电机的输出电压为 转轴角速度为 ,



? 对上式进行拉氏变换可得

3. 理想微分环节

G( s) ? s
G( j? ) ? ? ,

G( j? ) ? j?
L(? ) ? 20lg G( j? ) ? 20lg ?

?G( j? ) ? ?j? ? 90?
L(? )(dB)
0 0.01

? (? ) ? ?G( j? ) ? 90?
0.1 1 10

?
20

? 20dB / dec

j
40

?
? (? )(?)
0 90 60 30 0 0.01 0.1 1 10

?

4.惯性环节 (一阶积分环节,是一个相位滞后环节)
? ?

惯性环节的特点:当输入量突变时,输出量不会突变,只能按指数 规律逐渐变化,即具有惯性。 惯性环节的微分方程:

? ?

式中,T为惯性时间常数。 惯性环节的传递函数:

?

惯性环节的单位阶跃响应:

4.惯性环节 (一阶输出的微分环节,是一个相位滞后环节)
自动控制系统中经常含有这种环节,这种环节含有一个储能元件(如储存磁场能 的电感、储存电场能的电容、储存弹性势能的弹簧和储存动能的机械负载等)和 一个耗能元件(如电阻、阻尼器等)。下面通过两个实例来加以说明。

(1)电阻、电容电路

?

如图所示。由基尔霍夫定律有

将电容的电流 代入上式得
?

?

对上式进行拉氏变换,并整理得

4.惯性环节 (是一个相位滞后环节)
(2)弹簧-阻尼系统
? 弹簧力与弹簧的形变成正比,即弹簧力

,K 为弹簧的弹性系数。 ? 阻尼器的阻力与相对速度成正比,即阻尼力 ,B为粘性阻尼系数。 ? 由于两力相等,有
? 对上式进行拉氏变换,并整理得
弹簧-阻尼系统

4.惯性环节 (是相位滞后环节)
G( s ) ?
G( j?) ? 1 j?T ? 1

1 Ts ? 1

j
???
0
45
?

T 2? 2 ? 1 1 ?G ( j? ) ? ? ? ? arctan?T j?T L(? )(dB)
1 0 .1 T

G ( j? ) ?

1

转折频率
1 T

渐近线 1
10 T

??0

?

0 -20

?
实际幅相曲线
? (? )(?)
0 .1 1 T

? 20dB / dec

?
0.707

1 ?? T
0 -45

1 T

10

1 T

?

5 一阶微分环节
特点:此环节的输出量不仅与输入量本身有关,而且与输 入量的变化率有关。

方块图为:

R( s )

τs + 1

C (s)

运动方程:

c(t)?

τ

dr(t) ? r(t) dt

传递函数:

G( s ) =τs + 1

5 一阶微分环节

G ( s ) ? ?s ? 1

G ( j? ) ? j? ? ? 1

| G( j?) |? ? 2?2 ? 1
?G ( j? ) ? arctan??
L (? )

L(?) ? 20lg ? 2?2 ? 1

? (? ) ? arctan??

和惯性 比差一

dB

20

? 20 0

? (? )
90

1 10T

1 T

10 T

?

45 0

1 10T

1 T

10 T

?

6. 延迟环节
? ?

延迟环节的特点:输出量与输入量变化形式完全相同,但在时间上有一定的 滞后。 延迟环节的微分方程:

?
?

延迟环节的传递函数:

对于延迟时间很小的延迟环节,常常将它按泰勒 级数展开,并略去高次项,得如下简化的传递函数

上式表明,在延迟时间很小的情况下, 延迟环节可近似为一个小惯性环节。
? ?

延迟环节的单位阶跃响应如图所示。

6. 延迟环节
?

?

延迟环节在工作中是经常遇到的,例如晶闸管整流电路中,控制 电压与整流输出有时间上的延迟;工件传送过程会造成时间上的 延迟;在加工中,加工点和检测点不在一处也会产生时间上的延 迟。下面以轧钢机的厚度检测环节为例来说明延迟时间的产生。 下图所示为轧钢机厚度检测环节,带钢在A点轧出时,厚度偏差 为 ,这一厚度偏差在到达B点后才为测厚仪检测到。若A点和 B点距离为l,带钢运动速度为v,则延迟时间为

?

而测厚信号

与厚差信号

之间关系为

6. 延迟环节

G( s) ? e??s

G( j?) ? 1 L(?) ? 20lg G( j?) ? 0dB
L(? )(dB)
20

G( j?) ? e ? j?? ?G( j?) ? ??(rad) ? ?57.3??(度)

? (? ) ? ?57.3??(度)

j
0 0.1 1 0
? (? )(?)

1

10

?

0.1 0 -90

1

10

?

-180

6.振荡环节
?

二阶输出的微分方程描述的系统,包含两个独立的储能元件。

振荡环节的微分方程

?

振荡环节的传递函数

?

振荡环节的单位阶跃响应:

6.振荡环节
?

?

在自动控制系统中,若系统中具有两个不同形式的储能 元件,而两种元件中的能量又能相互交换,就可能在交 换和储存过程中出现振荡,形成振荡环节。 例如,前面介绍的机械平移系统中含有储存弹性势能的 弹簧和储存动能的机械负载,而这两种能量能相互交换, 所以在 时,就会产生振荡。同样,RLC串联 网络,由于含有储存磁场能的电感和储存电场能的电容, 而这两种能量也能相互换,所以在 时,就会产生振荡。

6.振荡环节
G? jω? ? 1 2 2 ? ? L ω ? ? 20lg 1 ? T ω 2 2 T ? jω? ? 2ζ T jω ? 1

?

? ? ?2ζ Tω?
2

2

? ?ω? ? ?t g?1 ?

? 2ζ Tω ? 2 2? ?1 ? T ω ?

低频段,即ω T<<1时

10

L?ω? ? ?20lg1 =0 dB
高频段,即ω T>>1时

? ? 0.1
0.2 0.3

L(? )
dB

0
0.7 1

L (? ) ? ?20 lg( ? 2T 2 ) ? ?40 lg( ?T )
渐近线:斜率为-40dB/dec的直线。 当ω
? ωn 1 ? T

?10

0?

? ? 0.1
0.2 0.3 0.7



? (? ) ? 90?

1

L(? ) ? ?40 lg ? T ? ?40 lg 1 ? 0(dB )
说明 ω ? ω n ?

? 180? 0.1

0.2

0.4

0.6 0.8

1

2

4

6

8

10

产生谐振峰值,阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。

1 为二阶系统(振荡环节)的转折频率。 T

? / ?n

7. 二阶微分环节

二阶微分环节的传递函数是振荡环节的倒数。

特点:输出与输入及输入一阶、二阶导数都有关。

方块图为:

R (s)

τ 2s 2 + 2 ζ τs + 1

C (s)

运动方程:

c(t) = τ 2

d 2 r(t) dt 2 C(s) R(s)

+ 2 τζ

dr(t) dt

+ r(t)

传递函数:

G(s)

=

= τ 2s 2 + 2 ζ τs + 1

7. 二阶微分环节
L?ω? ? 20lg 1 ? T ω
2

G? jω? ? 1 ? 2ζ T? jω? ? T 2 ? jω?2
2 2

?

? ? ?2ζ
40 20
0



?

2

? ?ω? ? tg ?1

2ζ T ω 1 ? T 2ω2

L(? )

dB ?40

二阶微分 环节的幅 频和相频 特性分别 与振荡环 节的相应 特性是关 于横轴对 称。

? ? 0.7
0.3 0.2

? (? )
180? 90 0

?

? ? 0.7
0.3 0.2

1 10T

1 T

10 T

?


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