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高三文科数学查缺补漏试2


高三文科数学查缺补漏试题(2)
1. 已知函数 f ( x) ? sin x ? (2cos x ? sin x) ? cos2 x . (1)讨论函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调性; (2)设

?
4

?? ?

?
2

,且 f (? ) ? ?

5 2 ,求 sin 2? 的值. 13

-1-

2.某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔 1 小时抽一包产品, 称其重量(单位:克)是否合格,分别记录了 6 个抽查数据,获得重量数据的茎叶图如图 4. (1)根据样品数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间的产品 的重量相对较稳定; (2)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取的两件样品的重量之差不超过 2 克的 概率.

甲 2 4 3 1 1 7 12 11 10

乙 4 0 8 2 9 5

图4

-2-

3.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 AD 上的点,点 F 为边 CD 的中点,

AB ? A E ?

2 AD ? 4 ,现将 ?ABE 沿 BE 边折至 ?PBE 位置,且平面 PBE ? 平面 BCDE . 3
P

A

E

D

E F

D

B

C

B

C

(1)求证:平面 PBE ? 平面 PEF ; (2)求四棱锥 P ? BCFE 的体积.

-3-

4. 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 an +12 =4Sn +4n ? 3 ,且 a2 , a5 , a14 恰 好是等比数列 ?bn ? 的前三项. (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若对任意的 n ? N * , (Tn ? )k ? 3n ? 6 恒成立,求实 数 k 的取值范围.

3 2

-4-

1 解析: (1) f ( x) ? sin 2x ? sin 2 x ? cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) , 4 由 x ? [0, ? ] 得 2 x ? 当 2x ? 当 2x ? 当 2x ?

?

?

? 9? ?[ , ] , 4 4 4
?

?

?[ , ] 即 x ?[0, ] 时, f ( x) 递增; 4 4 2 8

? ?

?

? 3? ? 5? ?[ , ] 即 x ?[ , ] 时, f ( x) 递减; 4 2 2 8 8
?[ 3? 9? 5? , ] 即 x ?[ , ? ] 时, f ( x) 递增. 2 4 8

?
4

综上,函数 f ( x) 在区间 [0, ] 、 [ (2)由 f (? ) ? ?

? 8

5? ? 5? , ? ] 上递增,在区间 [ , ] 上递减. 8 8 8

5 2 ? 5 2 ? 5 ,即 2 sin(2? ? ) ? ? ,得 sin(2? ? ) ? ? , 13 4 13 4 13

2 解析:(1) x甲 ?

1 ?107 ? 111 ? 111 ? 113 ? 114 ? 122? ? 113 , 6

x乙 ?
2

1 ?108 ? 109 ? 110 ? 112 ? 115 ? 124 ? ? 113 , 6

1 2 2 2 2 2 2 2 S甲 ? ??107 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?113 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?122 ? 113 ? ? ? 6? =21 , 1 2 2 2 2 2 2 2 S乙 ? ??108 ? 113? ? ?109 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113? ? ?115 ? 113? ? ?124 ? 113? ? ? ? 6 88 ? , 3
2 2 ∵ x甲 ? x乙 , S甲 , ? S乙

∴甲车间的产品的重量相对较稳定

(2)从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,共有 15 种不同的取法: ?108,109?, 110? , ?108,

112?, 115?, 124?, 110?, 112?, 115?, ?108, ?108, ?108, ?109, ?109, ?109, 124?, 112?, ?109, ?110, 115?, 124?, 115?, 124? , ?115, 124? ?110, ?110, ?112, ?112,
设 A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过 2 克”, 则 A 的基本事件有 4 种:

110? , ?109, 110?, 112? ?108,109?, ?108, ?110,
故所求概率为 P ? A ? ?

4 15

-5-

3 解析: (1)证明:在 RtΔDEF 中 Q ED ? DF , ??DEF ? 45o , 在 RtΔABE 中, Q AE ? AB, ??AEB ? 45o ,??BEF ? 90o ,? EF ? BE . 平面 PBE ? 平面 BCDE ,且平面 PBE 平面 BCDE ? BE

? EF ? 平面 PBE ,
Q EF ? 平面 PEF ,? 平面 PBE ? 平面 PEF .
(2)解:过 P 做 PO ? BE ,

P D E

PO ? 平面 PBE, 平面 PBE ? 平面 BCDE 且平面 PBE
平面 BCDE ? BE ,? PO ? 平面 BCDE , 四棱锥 P ? BCFE 的高 h ? PO ? 2 2 .

S四边形BCFE ? S矩形ABCD ? S?ABE ? S?DEF
1 1 ? 6 ? 4 ? ? 4 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 14, 2 2
则 VP ? BCFE

O C

F

1 1 28 2 . ? S四边形BCFE ? h ? ?14 ? 2 2 ? 3 3 3

B

4.解: (1)

2 an +12 =4Sn +4n ? 3 ,?当 n ? 2 时, an =4Sn?1 +4 ? n ? 1? ? 3 ,

?an+12 ? an 2 =4 ? Sn ? Sn?1 ? ? 4=4an ? 4



?an+12 ? an2 ? 4an ? 4 ? ? an ? 2?

2



an ? 0 恒成立,? an +1 ? an ? 2, n ? 2 ,
当 n ? 2 时,

?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2

2 a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,

解得

a2 ? 3 ,

?当 n ? 2 时, an ? 3 ? 2 ? n ? 2? ? 2n ? 1 ,
2 由条件可知, a2 =4a1 +4 ? 3 ,? a1 ? 2

? 2, n ? 1 an ? ? ?2n ? 1, n ? 2 . ? 数列 ?an ? 的通项公式为
?b1 ? 3, b2 ? 9 ,?数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3
n

b1 (1 ? q n ) 3(1 ? 3n ) 3n?1 ? 3 3n?1 ? 3 3 Tn ? ? ? ?( ? )k ? 3n ? 6 * 1? q 1? 3 2 , 2 2 (2) 对 n ? N 恒成
?k ?
立, 即

2n ? 4 3n 对 n ? N * 恒成立,
-6-

11 分



cn ?

2n ? 4 2n ? 4 2n ? 6 ?2(2n ? 7) cn ? cn ?1 ? ? n ?1 ? n 3 , 3n 3 3n ,

当 n ? 3 时,

cn ? cn?1 ,当 n ? 4 时, cn ? cn?1
2 2 k? 27 , 27 .

? (cn ) max ? c3 ?

-7-


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