高三文科数学查缺补漏试题（2）
1. 已知函数 f ( x) ? sin x ? (2cos x ? sin x) ? cos2 x ． （1）讨论函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调性； （2）设
?
4
?? ?
?
2
，且 f (? ) ? ?
5 2 ，求 sin 2? 的值． 13
-1-
2．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔 1 小时抽一包产品， 称其重量（单位：克）是否合格，分别记录了 6 个抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图 4. （1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品 的重量相对较稳定； （2）若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过 2 克的 概率.
甲 2 4 3 1 1 7 12 11 10
乙 4 0 8 2 9 5
图4
-2-
3．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为边 AD 上的点，点 F 为边 CD 的中点，
AB ? A E ?
2 AD ? 4 ,现将 ?ABE 沿 BE 边折至 ?PBE 位置，且平面 PBE ? 平面 BCDE . 3
P
A
E
D
E F
D
B
C
B
C
（1）求证：平面 PBE ? 平面 PEF ； （2）求四棱锥 P ? BCFE 的体积．
-3-
4. 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，满足 an +12 =4Sn +4n ? 3 ，且 a2 , a5 , a14 恰 好是等比数列 ?bn ? 的前三项． （1）求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式； （2）记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ，若对任意的 n ? N * ， (Tn ? )k ? 3n ? 6 恒成立，求实 数 k 的取值范围．
3 2
-4-
1 解析： （1） f ( x) ? sin 2x ? sin 2 x ? cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ， 4 由 x ? [0, ? ] 得 2 x ? 当 2x ? 当 2x ? 当 2x ?
?
?
? 9? ?[ , ] ， 4 4 4
?
?
?[ , ] 即 x ?[0, ] 时， f ( x) 递增； 4 4 2 8
? ?
?
? 3? ? 5? ?[ , ] 即 x ?[ , ] 时， f ( x) 递减； 4 2 2 8 8
?[ 3? 9? 5? , ] 即 x ?[ , ? ] 时， f ( x) 递增． 2 4 8
?
4
综上，函数 f ( x) 在区间 [0, ] 、 [ （2）由 f (? ) ? ?
? 8
5? ? 5? , ? ] 上递增，在区间 [ , ] 上递减． 8 8 8
5 2 ? 5 2 ? 5 ，即 2 sin(2? ? ) ? ? ，得 sin(2? ? ) ? ? ， 13 4 13 4 13
2 解析：(1) x甲 ?
1 ?107 ? 111 ? 111 ? 113 ? 114 ? 122? ? 113 ， 6
x乙 ?
2
1 ?108 ? 109 ? 110 ? 112 ? 115 ? 124 ? ? 113 ， 6
1 2 2 2 2 2 2 2 S甲 ? ??107 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?113 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?122 ? 113 ? ? ? 6? =21 ， 1 2 2 2 2 2 2 2 S乙 ? ??108 ? 113? ? ?109 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113? ? ?115 ? 113? ? ?124 ? 113? ? ? ? 6 88 ? ， 3
2 2 ∵ x甲 ? x乙 ， S甲 ， ? S乙
∴甲车间的产品的重量相对较稳定
(2)从乙车间 6 件样品中随机抽取两件，共有 15 种不同的取法: ?108，109?， 110? ， ?108，
112?， 115?， 124?， 110?， 112?， 115?， ?108， ?108， ?108， ?109， ?109， ?109， 124?， 112?， ?109， ?110， 115?， 124?， 115?， 124? ， ?115， 124? ?110， ?110， ?112， ?112，
设 A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过 2 克”， 则 A 的基本事件有 4 种:
110? ， ?109， 110?， 112? ?108，109?， ?108， ?110，
故所求概率为 P ? A ? ?
4 15
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3 解析： （1）证明：在 RtΔDEF 中 Q ED ? DF , ??DEF ? 45o , 在 RtΔABE 中， Q AE ? AB, ??AEB ? 45o ,??BEF ? 90o ,? EF ? BE . 平面 PBE ? 平面 BCDE ，且平面 PBE 平面 BCDE ? BE
? EF ? 平面 PBE ,
Q EF ? 平面 PEF ，? 平面 PBE ? 平面 PEF .
（2）解：过 P 做 PO ? BE ,
P D E
PO ? 平面 PBE, 平面 PBE ? 平面 BCDE 且平面 PBE
平面 BCDE ? BE ，? PO ? 平面 BCDE , 四棱锥 P ? BCFE 的高 h ? PO ? 2 2 .
S四边形BCFE ? S矩形ABCD ? S?ABE ? S?DEF
1 1 ? 6 ? 4 ? ? 4 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 14， 2 2
则 VP ? BCFE
O C
F
1 1 28 2 . ? S四边形BCFE ? h ? ?14 ? 2 2 ? 3 3 3
B
4.解： （1）
2 an +12 =4Sn +4n ? 3 ，?当 n ? 2 时， an =4Sn?1 +4 ? n ? 1? ? 3 ，
?an+12 ? an 2 =4 ? Sn ? Sn?1 ? ? 4=4an ? 4
，
?an+12 ? an2 ? 4an ? 4 ? ? an ? 2?
2
，
an ? 0 恒成立，? an +1 ? an ? 2, n ? 2 ，
当 n ? 2 时，
?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2
2 a2 , a5 , a14 构成等比数列，?a5 ? a2 ? a14 ， ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ，
解得
a2 ? 3 ，
?当 n ? 2 时， an ? 3 ? 2 ? n ? 2? ? 2n ? 1 ，
2 由条件可知， a2 =4a1 +4 ? 3 ，? a1 ? 2
? 2, n ? 1 an ? ? ?2n ? 1, n ? 2 . ? 数列 ?an ? 的通项公式为
?b1 ? 3, b2 ? 9 ，?数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3
n
b1 (1 ? q n ) 3(1 ? 3n ) 3n?1 ? 3 3n?1 ? 3 3 Tn ? ? ? ?( ? )k ? 3n ? 6 * 1? q 1? 3 2 ， 2 2 （2） 对 n ? N 恒成
?k ?
立， 即
2n ? 4 3n 对 n ? N * 恒成立，
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11 分
令
cn ?
2n ? 4 2n ? 4 2n ? 6 ?2(2n ? 7) cn ? cn ?1 ? ? n ?1 ? n 3 ， 3n 3 3n ，
当 n ? 3 时，
cn ? cn?1 ，当 n ? 4 时， cn ? cn?1
2 2 k? 27 ， 27 ．
? (cn ) max ? c3 ?
-7-