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1.4.3 命题的形式及等价关系 【杨高】


第一章 集合和命题

1.4.2 命题的形式及等价关系

1.4.3 命题的形式及等价关系
等价命题与命题的证明

一、等价命题 如果 A , B 是两个命题,且满足 A ? B 和 B ? A

那么 A , B 叫做等价命题,记作 A ? B .
例 A :“正三角形是三边等

长的三角形”
B :“正三角形是三内角都为 0 6
?

的三角形”

例 A :“5是奇数”
B :“5被2除余1”

例1.判断下列命题是否等价: (1) 命题A:“4是偶数” 命题B:“4是2的整数倍” 是

(2) 命题A: “两组对边分别平行的四边形是平行 四边形” 命题B: “有一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形” 是
(3)命题A: “如果 a ? b ,那么 ac ? bc ” 命题B: “如果 a ? b ,那么 ac ? bc ” 否 (4)命题A: “如果 a ? b ,那么 ac ? bc ” 命题B: “如果 ac ? bc ,那么 a ? b ”否

一、等价命题 如果 A , B 是两个命题,且满足 A ? B 和 B ? A

那么 A , B 叫做等价命题. 一般地,原命题与逆否命题是等价命题.
原命题与逆否命题同真同假. 例 “如果 a ? b ,那么ac ? bc ”与命题

“如果 ac ? bc ,那么 a ? b ”等价

思考 否命题与什么命题是等价命题?

例2. 利用等价命题,判断下列命题的真假: 2 (1)如果 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,那么 x ? ? 1 且 x ? 3 ; 如果 x ? ? 1 或 x ? 3 ,那么 x ? 2 x ? 3 ? 0 . 真
2

(2)如果 a ? b 不是偶数,那么 a , b 不都是偶数; 如果 a , b 都是偶数,那么 a ? b 是偶数. 真 (3)如果 x ? y ? 0 或 xy ? 0 ,那么 x ? 0 或 y ? 0 ; 如果 x ? 0 且 y ? 0 ,那么 x ? y ? 0 且 xy ? 0 . 真 (4)如果 x ? A ? B ,那么 x ? A 且 x ? B ;

如果 x ? A 或 x ? B ,那么 x ? A ? B . 假

例3.若 x ? 3 xy ? 2 y ? 3 x ? 4 y ? 2 ? 0, 求证: ? y ? 1 ? 0 x 2 2 证:x ? 3 xy ? 2 y ? 3 x ? 4 y ? 2 ? 0
2 2

? ( x ? y ? 1)( x ? 2 y ? 2 ) ? 0
? ( x ? y ? 1) ? 0 且 ( x ? 2 y ? 2 ) ? 0
? x ? y ? 1 ? 0 证毕

证法二:试证原命题的逆否命题 x ? y ? 1 ? 0 ? y ? ? x ? 1 代入原表达式中
x ? 3 x ( ? x ? 1) ? 2( ? x ? 1) ? 3 x ? 4( ? x ? 1) ? 2
2 2

? ( x ? 3 x ? 2 x ) ? (?3 x ? 4 x ? 3x ? 4 x ) ? ( 2 ? 4 ? 2 ) ? 0 因此原命题也成立. 证毕
2 2 2

二、反证法 反证法是一种间接证明的方法,一般步骤如下: (1)假设要证的结论不成立,即结论的否定成立; (2)经过正确的推导发现推出的结论与已知条件、 定理、公理等矛盾; (3) 假设不成立,即结论的否定不成立,故原结论 成立. 例 求证: 3 ? 2 证:假设 3 ? 2 , 2 2 3 ? 2 ? ( 3 ) ? 2 ? 3 ? 4 与已知矛盾 因此假设不成立,即 3 ? 2 证毕

例4.(1)已知实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 1 ,
a 求证: , b , c 中至少有一个不小于 ;
1

(2)求证: 2 是无理数. (1)证:假设 a ?
? a?b?c? 1 3 1 3 ? 1 3 ? ,b ? 1 3 1 3
1 3

3

,c ?

1 3

? 1 与已知条件矛盾.

因此假设不成立,即
a , b , c 中至少有一个不小于

. 证毕

例4.(2)求证: 2 是无理数.

(2)证:假设 2 是有理数,那么 2 可以用两个整 数的商表示,且这两个整数不可再约分. 设 2?
m n

,其中 m , n 互质.

平方得 m 2 ? 2 n 2 ,
2 2 m ? 2n ? m

是偶数 ? m 2 能被4整除
m ? 2n
2 2

? n

2

是偶数 ? n 是偶数 与所设矛盾

因此假设不成立,即 2 是无理数. 证毕

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