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高中数学《函数的奇偶性》ppt课件4


2 y=x
当x1=1, x2=--1时, f(-1)=f(1) 当x1=2, x2=-2时, f(-2)=f(2) 对任意x,f(-x)=f(x)
-x x

观察下图,思考并讨论以下问题:
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗? (2) 相应的两个函数值对应x的值是如何体现这些特征 的?

f(x)=

x2
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)

f(x)=|x|
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)

实际上,对于定义域内任意的一个x,都有f(-x)=f(x),这 时我们称函数为——

1.偶函数 (even function)
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
2 例如,函数 f ( x) ? x ? 1, f ( x) ? x 2 ? 1 都是偶函数,
2

它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.

观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图),你能发
现两个函数图象有什么共同特征吗?

f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

实际上,对于定义域内任意的一个x,都有f(-x)=-f(x),这 时我们称函数y= f(x)为——.

2.奇函数(odd function)
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)= - f(x),那么f(x)就叫做奇函数. 注意: 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质; 2、定义域关于原点对称.

3、奇、偶函数定义的下列关系也成立,即 若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x) 成立. 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x) 成立. 4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我 们就说函数f(x)具有奇偶性.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1)、先求定义域,看是否关于原点对称; (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.

例5、判断下列函数的奇偶性:
(1) f ( x) ? x 4 1 (3) f ( x ) ? x ? x

( 2) f ( x) ? x 5 1 ( 4) f ( x ) ? 2 x

课堂练习
判断下列函数的奇偶性:

1 (1) f ( x) ? x ? x (3) f ( x) ? 5 (5) f ( x) ? x ? 1

(2) f ( x) ? ? x ? 1
2

(4) f ( x) ? 0 (6) f ( x) ? x , x ? [?1,3]
2

3.奇偶函数图象的性质
1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原 点对称,那么这个函数为奇函数.
2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数为偶函数.
说明:奇偶函数图象的性质可用于: a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性

本课小结
1、两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,
f(x)为奇函数 ? 如果都有f(-x)=f(x) ? f(x)为偶函数 如果都有f(-x)=-f(x) 2、两个性质:

它的图象关于原点对称 ? 一个函数为偶函数 ? 它的图象关于y轴对称 一个函数为奇函数
3、判断函数的奇偶性:先看定义域,后验关系式。


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