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一轮复习统计概率分布列期望与方差教师版


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一轮复习(概率统计)

1.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,??,960,分组后在第 一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷 A, 编号落入 区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽

到的人中,做问卷 B 的人数为 (A)7 (B) 9 (C) 10 (D)15 解:采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人,将整体分成 32 组,每组 30 人,即 l ? 30 ,第 k 组的号码为

(k ? 1)30 ? 9 ,令 451? (k ? 1)30 ? 9 ? 750,而 k ? z ,解得16 ? k ? 25 ,则满足 16 ? k ? 25 的整数 k 有
10 个,故答案应选 C。 2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 15 名学生.

解:分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽 样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样 保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此,由 50?

3 =15知应从高二年级抽取 15 名学生。 3 ? 3? 4

3、某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解该单位职工 的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 B (A)7 (B)15 (C)25 (D)35

解:青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 7:5:3,所以样本容量为

7
7 15

? 15

4、从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米) 数据绘制成频率分布直方图(如图) 由图中数据可知 a= 。 0.030 。若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 ,

150]三组内的学生中, 用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动, 则从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数应为 3 。

5. 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机, 对其销售额进 行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所 示) ,设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m甲 ,

m乙 ,则( B

) B. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 D. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙

A. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 C. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙

解:经计算得: x 甲=21.5625, x 乙=28.5625, m 甲=20, m 乙=29,故选 B 6.样本( x1 , x2 ,?, xn )的平均数为 x ,样本( y1 , y2 ,? ym )的平均数为 y( x ? y) ,若样本( x1 , x2 ,?, xn ,

y1 , y2 ,? ym )的平均数 z ? ax ? (1 ? a) y ,其中 0 ? ? ?
A. n ? m B. n ? m C. n ? m

1 ,则 n,m 的大小关系为( A ) 2

D.不能确定
1

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由统计学知识,可得 x1 ? x2 ??? xn ? nx, y1 ? y2 ? ?? ym ? my ,

x1 ? x2 ? ? ? xn ? y1 ? y2 ? ? ? ym ? ? m ? n ? z ? ? m ? n ? ?? x ? ?1 ? ? ? y ? ? ? m ? n ? ? x ? ? m ? n ??1 ? ? ? y ? ?
,所以 nx ? my ? ? m ? n ? ? x ? ? m ? n ??1 ? ? ? y .所以 ?

?n ? ? m ? n ? ? , ? ?m ? ? m ? n ??1 ? ? ? . ?
1 ,所以 2? ? 1 ? 0 .所以 n ? m ? 0 .即 n ? m . 2

故 n ? m ? (m ? n)[? ? (1 ? ? )] ? (m ? n)(2? ? 1) .因为 0 ? ? ?

7.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量 U 与 V 相对应的一组 数据为(10,5),(11.3,4)(11.8,3)(12.5,2)(13,1). r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变 , , , 量 V 与 U 之间的线性相关系数,则 ( C A. r2 ? r ? 0 1
n

) C. r2 ? 0 ? r1 D. r2 ? r1

B. 0 ? r2 ? r1

解:由 r ?

? ?x ? x ??y ? y ?
i ?1 i i

? ?x ? x ? ? ?y ? y ?
n 2 n i ?1 i i ?1 i

知,第一组变量正相关,第二组变量负相关.

2

8.设 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) ,?, ( xn , yn ) 是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到 的线性回归方程(如图) ,以下结论中正确的是 A. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 ( D )

B. x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.直线 l 过点 ( x, y )

C.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同

9.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi) (i=1,2,?,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 ? =0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是 D y A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重比为 58.79kg 解:由回归方程为 ? =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大,所以 y 与 x 具有正的线性相关关系,由最小二乘 y

? 法建立的回归方程得过程知 y ? bx ? a ? bx ? y ? bx (a ? y ? bx ) ,所以回归直线过样本点的中心( x , y ) ,
利用回归方程可以预测估计总体,所以 D 不正确. 10.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该组数据的方差 s ? ___ .
2

16 5

解:可以先把这组数都减去 6 再求方差,可求得方差为

16 . 5

11.盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个.若从中随机取出 2 个球,则所

2

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取出的 2 个球颜色不同的概率等于_

3 ______. 5

【解】所取出的 2 个球颜色不同的概率 P ?

C1 C1 2 ? 3 3 3 2 ? ? . 2 C5 10 5
D
)

12. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是(

( A)

4 9

(B)

1 3

(C )

? ?

( D)

? ?

①个位数为 1,3,5,7,9 时,十位数为 2, 4,6,8 ,个位数为 0, 2, 4,6,8 时,十位数为 1,3,5,7,9 ,共 45 个 ②个位数为 0 时,十位数为 1,3,5,7,9 ,共 5 个别个位数为 0 的概率是

5 1 ? 45 9 1 __. 3

13.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是___ 解:由古典概型的概率公式得 P ?

2 1 ? . 2 C4 3

14.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数, 则它小于 8 的概率是

3 5



解:∵以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列的 10 个数为 1,-3,9,-27,·其中有 5 个负数,1 个正数 1 计 6 · · 个数小于 8,∴从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于 8 的概率是

6 3 = 。 10 5

15.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目 完全相同的概率是

2 3

(结果用最简分数表示).

解一共有 27 种取法,其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种,所以根据古典概型得到此种情 况下的概率为

2 . 3

16.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上, 则同一科目的书都不相邻的概率是 B A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

2 2 3 2 2 2 A2 A2 A32 ? A3 A2 A2 2 解:由古典概型的概率公式得 P ? 1 ? ? . 5 5 A5

#练.某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节,则在课表上 的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为

____

3 5
2 2

(用数字作答).

解:概率为语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相 邻有 A4 A3 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有 C3 A2 C2C2 A3 种排法。 故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为
3
4 3 1 1 3

3 5

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17.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这 两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

18.甲乙两人一起去游“2011 西安世园会” ,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览, 每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( D ) A.

1 36

B.

1 9

C.

5 36

D.

1 6

4 4 【解】 甲乙两人各自独立任选 4 个景点的情形共有 A6 ? A6 (种) ;最后一小时他们同在一个景点的情形有
3 3 A5 ? A5 ? 6 1 ? . 4 4 A6 ? A6 6

3 3 ,所以 P ? A5 ? A5 ? 6 (种)

2 3 和 ,两个零件是否加工为一等品相互独 3 4 1 5 1 1 立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 B (A) (B) (C) (D) 2 4 6 12 2 1 1 3 5 解:记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A,则 P(A)=P(A1)+ P(A2)= ? + ? = 3 4 3 4 12 16 20、某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为 ,则该队员每 25 16 3 2 次罚球的命中率为____________ 解:由 1 ? p ? 得p? 25 5
19、两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 21、投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事 件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是 C A

5 12

B

1 2

C

7 12

D

3 4

22.如图, 矩形 ABCD 中, E 为边 CD 的中点, 点 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q , 则点 Q 取自 ΔABE 内部的概率等于 ( C ) . A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

D

E

C

【解】 因为 SΔABE ?

1 S 1 S ABCD , 则点 Q 取自 ΔABE 内部的概率 P ? ΔABE ? . 故选 C. 2 S ABCD 2 1 5 1 6 1 7

A

B

24.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为( C ) A.

1 4

B.

C.

D.

4

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解: S (?) ? 1 ? 1 ? 1 , S ( A) ?

S ( ?) 1 2 1 2 1 1 ?0 ( x ? x)dx ? ( 3 x 2 ? 2 x ) |0 ? 6 。 P( A) ? S ( A) ? 6 。
1
3

#练.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 A A. 1 ?

2 π

B.

1 1 ? 2 π

C.

2 π

D.

1 π

解:令 OA ? 1 ,扇形 OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为 S1 ,围成 OC 为 S2 ,作对称轴 OD, 则 过 C 点 。 S2 即 为 以 OA 为 直 径 的 半 圆 面 积 减 去 三 角 形 OAC 的 面 积 ,

S S 1 ?1? 1 1 1 ? ?2 。 在扇形 OAD 中 1 为扇形面积减去三角形 OAC 面积和 2 , S2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2? 2 2 2 8
2

? ?2 1 S1 1 1 S ? ?2 2 ? ? ?1? ? ? 2 ? , S1 ? S 2 ? ,扇形 OAB 面积 S ? ? ,选 A. 4 4 2 8 8 2 16
1.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:B 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

第 8 题图

? ? ? ? 根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为
A.63.6 万元 解:由表可计算 x ? B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元

4? 2?3?5 7 49 ? 26 ? 39 ? 54 7 ? ? ? ? ,y? ? 42 ,因为点 ( , 42) 在回归直线 y ? bx ? a 上, 4 2 4 2 7 ? ? ? ? ? 且 b 为 9.4,所以 42 ? 9.4 ? ? a , 解得 a ? 9.1 ,故回归方程为 y ? 9.4 x ? 9.1 , 令 x=6 得 y ? 65.5,选 B. 2
2.某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm、和 182cm.因儿子的身高与父亲 的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 185 cm. 解:根据信息,可知父亲与儿子的对应数据可列表如下: 父亲的身高(x) 儿子的身高(y)
3

173 170

170 176

176 182

x ? 173, y ? 176,? b ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

? ( x ? x)
i ?1 i

3

?

2

3? 6 ? 1, a ? y ? bx ? 176 ? 173 ? 1 (?3)2 ? 32

所以回归直线方程为 y ? x ? 3 ,从而可预测他孙子的身高为 182 ? 3 ? 185(cm) . 4.某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图 如图 4 所示,其中成绩分组区间是:[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望。 解(1) 0.006 ?10 ? 3 ? 0.01?10 ? 0.054 ?10 ? x ?10 ? 1 ? x ? 0.018
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(2)成绩不低于 80 分的学生有 (0.018 ? 0.006) ?10 ? 50 ? 12 人,其中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数 为 0.06 ?10 ? 50 ? 3 随机变量 ? 可取 0,1, 2

C92 6 C1C1 9 C2 1 ? , P(? ? 1) ? 9 2 3 ? , P(? ? 0) ? 3 ? 2 2 C12 11 C12 22 C12 22 1 答: (1) x ? 0.018 (2) ? 的数学期望为 2 P(? ? 0) ?

, E? ? 0 ?

6 9 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 11 22 22 2

5. 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机 抽取了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体 育节目时间的频率分布直方图: 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” (1)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育 迷“与性别有关? 非体育迷 体育迷 合计 男 10 55 女 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取 1 名观 众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷“人数为 X .若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分 布列,期望 E ? X ? 和方差 D ? X ?
2 附: ? =

n ? n11n22 -n12 n21 ? , n1+ n2+ n+1n+2
2

P??2 ? k?
k

0.05 3.841

0.01 6.635 在抽取的 100 人中, “体育迷” 有

解: (1) 由频率分布直方图可知, 25 人,从而 2 ? 2 列联表如下: 非体育迷 体育迷 30 15 男 45 10 女 75 25 合计 将 2 ? 2 列联表中的数据代入公式计算,得
2 2 2

合计 45 55 100

n ? n11n22 -n12 n21 ? 100 ? ? 30 ?10-45 ?15 ? 100 ? = = = ? 3.030 n1+ n2+ n+1n+2 75 ? 25 ? 45 ? 55 33 因为 3.030<3.841 ,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷” 的概率为

1 ? 1? .由题意 X ? B ? 3, ? ,从而 X 的分布列为 4 ? 3?
0 1 2 3

27 9 1 64 64 64 1 3 1 3 9 E ? X ? =np =3 ? = , D ? X ? =np ?1-p ? =3 ? ? = . 4 4 4 4 16

X P

27 64

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1.湖北 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9. 求: 降水量 X 工期延误天数 Y
X ? 300 300 ? X ? 700 700 ? X ? 900 X ? 900

0

2

6

10

(Ⅰ )工期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ )在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 解: )由已知条件和概率的加法公式有: (Ⅰ
P( X ? 300) ? 0.3, P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 ,

P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 .
P( X ? 900) ? 1 ? P( X ? 900) ? 1 ? 0.9 ? 0.1 .

所以 Y 的分布列

Y

0

2 0.4

6 0.2

10 0.1

为:

0.3 P 于是, E (Y ) ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ? 10 ? 0.1 ? 3 ;

D(Y ) ? (0 ? 3)2 ? 0.3 ? (2 ? 3)2 ? 0.4 ? (6 ? 3)2 ? 0.2 ? (10 ? 3)2 ? 0.1 ? 9.8 . 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8 . (Ⅱ )由概率的加法公式, P( X ? 300) ? 1 ? P( X ? 300) ? 0.7, 又 P(300 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 300) ? 0.9 ? 0.3 ? 0.6 . P(300 ? X ? 900) 0.6 6 ? ? . 由条件概率,得 P(Y ? 6 X ? 300) ? P( X ? 900 X ? 300) ? P( X ? 300) 0.7 7 6 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 . 7
2. (江苏)设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时, ? ? 0 ;当两条棱平 行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 . (1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

解: (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰有 3 条棱, ∴共有 8C32 对相交棱。∴ P(? ? 0)=

8C32 8 ? 3 4 ? ? 。 2 C12 66 11

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2 ,其中距离为 2 的共有 6 对, ∴ P(? ? 2)=

6 6 1 4 1 6 ? ? , P(? ? 1)=1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 2)=1 ? ? = 。 2 C12 66 11 11 11 11

∴随机变量 ? 的分布列是: ∴ 其 数 学 期 望

?
P (? )

0

1

2

4 11

6 11

1 11

E (? )=1 ?

6 1 6? 2 ? 2? = 。 11 11 11
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3.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产 品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每 件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数

?90,94?
8

?94,98?
20

?98,102?
42

?102,106?
22

?106,110?
8

B 配方的频数分布表 指标值分组 频数

?90,94?
4

?94,98?
12

?98,102?
42

?102,106?
32

?106,110?
10

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望.(以试验结果中 质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率) 解: (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 质品率的估计值为 0.3。 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 质品率的估计值为 0.42 (Ⅱ)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间 ?90,94? , ?94,102? , ?102,110? 的频率分别 为 0.04,,054,0.42,因此 P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 X P -2 0.04 2 0.54 4 0.42 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配方生产的产品的优 100

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产品的优 100

X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 4.湖南 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾 客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/ 人) 1至4件 5 至 8 件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望;
8

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(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候 时间不超过 2.5 分钟的概率.(注:将频率视为概率) ... 解: (1)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 所以 x ? 15, y ? 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体 的一个容量随机样本,将频率视为概率得

15 3 30 3 p ( X ? 1 )? ? ,p (X ? 1 . 5? ) ? p , X( ? 100 20 100 10 20 1 10 1 p( X ? 2 . 5 ? ) ? p X ? 3? , ( ) ? . 100 5 100 10
X 的分布为
X P X 的数学期望为 1 1.5 2 2.5 3

25 1 2) ? ? , 100 4

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

E ( X )? 1 ?

3 3 1 ? 1 ?5 ? ? 2 ? . 20 10 4

1 ? .5 ? 2 ? 5

1 3? . 1.9 10

(Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟” X i (i ? 1, 2) 为该顾客前面第 i 位顾客的结算 , 时间,则

P( A)? P( X ? 且 X ? 1 ) P (1X ? 1 2X ? 1 . 5 ) P 1 X ? 1 . 2 X .? 1 2 ? 且 ? ( 且 5 1
由于顾客的结算相互独立,且 X1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以

1)

P( A)? P( X ? 1 ) (P 2X ? 1 ) P ( X ? 1? P 2 (X ? 1 . ? )P X ? ? ? 1 ) 5 1 ( 1
? 3 3 3 3 3 3 9 ? ? ? ? ? ? . 20 20 20 10 10 20 80 9 . 80

1? 5 2 X ? . P ) (

1)

故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为

练习:陕西 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对 以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频 率 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

从第 一个顾 客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. 解:设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,的 Y 的分布如下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

(1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务” ,则时间 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟;
9

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②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟。 所以 P( A) ? P(Y ? 1) P(Y ? 3) ? P(Y ? 3) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) P(Y ? 2)

? 0.1? 0.3 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.22
(2)解法一:X 所有可能的取值为:0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,所以 P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5 ; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过 1 分钟,或第一个顾 客办理业务所需的时间为 2 分钟,所以 P( X ? 1) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) , 0.1 ? 0.9 ? 0.4 ? 0.49 ; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以 P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01; 所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

EX ? 0 ? 0.5 ? 1 ? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51 .
解法二:X 所有可能的取值为 0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,所以 P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5 ; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以 P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01;

P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 2) ? 0.49 ;
所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

EX ? 0 ? 0.5 ? 1 ? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51 。
5. 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依 次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分。 设在甲、乙的比赛中, 每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6 , 各次发球的胜负结果相互独立, 。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。 (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (2) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望。 解:记 Ai 为事件“第 i 次发球,甲胜” ,i=1,2,3,则 P( A ) ? 0.6, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.4 。 1 (Ⅰ)事件“开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 ”为 A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ,由互斥事件有一 个发生的概率加法公式得
10

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P ( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.352 。
即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 0.352 (Ⅱ)由题意 ? ? 0,1, 2,3 。

P(? ? 0 )? P (A A A ) 0 .? 0? 6 0 . 4 ;0 . 1 4 4 6 . ? 1 2 3 ?

P (? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 =0.408;

P(? ? 2) ? 0.352 ; P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.096
所以 E? ? 0.408 ? 2 ? 0.352 ? 3? 0.096 ? 1.4 练习:.山东 现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 3 ,命中得 1 分,没有命中得

4

0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 2 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结

3

果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX . 解: (Ⅰ)记“该射手恰好命中一次”为事件 A ; “该射手设计甲靶命中”为事件 B ; “该射 手第一次射击乙靶命中”为事件 C ; “该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D . 由题意知, P(B) ? 3 ,

4

P(C) ? P(D) ? 2 , 由 于 A ? B C D B C D , 根 据 事 件 的 独 立 性 与 互 斥 性 得 ? ? B C D 3 P( A) ? P(BCD ? BCD ? BCD) ? P(BCD) ? P(BCD) ? P(BCD)
? 3 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) ? 2 ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ? 2 ? 7 4 3 3 4 3 3 4 3 3 36 ( Ⅱ ) 根 据 题 意 , X 的 所 以 可 能 取 值 为 0,1, 2,3, 4,5 . 根 据 事 件 的 独 立 性 和 互 斥 性 得 P( X ? 0) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? 1 , 4 3 3 36 3 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? 1 P( X ? 1) ? P(BCD) ? , 4 3 3 12 P( X ? 2) ? P(BCD) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? 2 ? (1 ? 2) ? 2 ? 1 , 4 3 3 9 3 ? 2 ? (1 ? 2) ? 2 ? 1 P( X ? 3) ? P(BCD) ? P(BCD) ? 4 3 3 3 2 2 1 P( X ? 4) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? 2 ? 2 ? 1 P( X ? 5 ) ? P (B C D)?3 ? ? ? 4 3 3 9 4 3 3 3 故 X 的分布列为
X
0 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 9 9 12 3 3 所以 EX ? 0 ? 1 ? 1? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 ? 1 ? 5 ? 1 ? 41 . 36 12 9 3 9 3 12 3 个白球,2 个黑球, 6.学校游园活动有这样一个游戏项目: 甲箱子里装有 乙箱子里装有 1 个白球,2 个黑球, 这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个.则获
P
奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中,(ⅰ) 摸出 3 个白球的概率;(ⅱ) 获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中,获奖次数 X 的分布列及数学期望 EX .

1 36

11

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2 C3 C1 1 ? 2? . 2 2 C5 C3 5

【解】(Ⅰ) (ⅰ)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai ? i ? 0,1, 2,3? ,则 P ? A3 ? ?

(ⅱ)设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B ,则 B ? A2 ? A3 , P ? A2 ? ? 因为 A2 和 A3 互斥,所以 P ? B ? ? P ? A2 ? ? P ? A3 ? ? (Ⅱ) X 的所有可能值为 X ? 0,1, 2

2 C3 C2 C1 C1 C1 1 2 2 ? 2 ? 322 ? 2 ? , 2 C5 C3 C5 C3 2

1 1 7 ? ? . 2 5 10

7 ? 21 7? 9 ? 1 7 ? , P ? X ? 1? ? C2 , ? ?1 ? ? ? P ? X ? 0 ? ? ?1 ? ? ? 10 ? 10 ? 50 ? 10 ? 100

2

49 ?7? , P ? X ? 2? ? ? ? ? ? 10 ? 100
所以 X 的分布列是

2

X

0

1

2

P

9 21 49 7 ? 1? ? 2 ? ? 数学期望 EX ? 0 ? 100 50 100 5
故障的概率分别为

9 100

21 50

49 100

练习:四川 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和 B 在任意时刻发生

1 和p。 10
49 ,求 p 的值; 50

(Ⅰ )若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(Ⅱ )设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? 。 解: (1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1-P(C)=1-

1 3 1 )? 10 1000 1 2 243 2 1 ( P( ? =2)= C( ) 1 ? ) ? 3 10 10 1000
(2)由题意,P( ? =0)= C( 3
0

1 49 1 P= ,解得 P= 10 50 5 1 27 1 1 2 ( ? P( ? =1)= C( ) 1 ? ) 3 10 10 1000 1 3 729 3 1 0 ( P( ? =3)= C( ) 1 ? ) ? 3 10 10 1000

所以,随机变量 ? 的概率分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 1000

27 1000

243 1000

729 1000

故随机变量 X 的数学期望为:E ? =0 0 ?

1 27 243 729 27 ? 1? ? 2? ? 3? ? 1000 1000 1000 1000 10

练习. 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个 人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大 于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用 X ,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? =|X ? Y | ,求随机变量 ? 的分布列与
12

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数学期望 E? . 解(1)每个人参加甲游戏的概率为 p ?

1 2 ,参加乙游戏的概率为 1 ? p ? 3 3 8 2 2 2 这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 C4 p (1 ? p ) ? 27

k (2) X ? B(4, p) ? P( X ? k ) ? C4 pk (1 ? p)4?k (k ? 0,1, 2,3, 4) ,

这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? (3) ? 可取 0, 2, 4

1 9

P(? ? 0) ? P( X ? 2) ?

8 27

随机变量 ? 的分布列为

40 81 17 P(? ? 4) ? P( X ? 0) ? P( X ? 4) ? 81 P(? ? 2) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?

?
P

0

2

4

E? ? 0 ?

8 40 17 148 ? 2? ? 4? ? 27 81 81 81

8 27

40 81

17 81

7.某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验.选 取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种 植品种乙. (I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和数学期望; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块 2 地上的每公顷产量(单位:kg/hm )如下表: 品种甲 品种乙 403 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?

1 附:样本数据 x1 , x2 ,? ? ?, xn 的的样本方差 s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为样本平均数. n 解: (I)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且
1 3 2 2 C4C4 C4 C4 18 1 1 8 P( X ? 0) ? 4 ? , P( X ? 1) ? 4 ? , P( X ? 2) ? ? , C8 70 C8 35 C84 35

P( X ? 3) ?

3 1 C4 C4 8 1 1 ? , P( X ? 4) ? 4 ? . 4 C8 35 C8 70

即 X 的分布列为

X 的数学期望为

E( X ) ? 0 ?

1 8 18 8 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2. 70 35 35 35 70

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

13

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1 x甲 ? (403 ? 397 ? 390 ? 404 ? 388 ? 400 ? 412 ? 406) ? 400, 8 1 S甲 ? (32 ? (?3) 2 ? (?10) 2 ? 42 ? (?12) 2 ? 02 ? 122 ? 62 ) ? 57.25. 8
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 ? (419 ? 403 ? 412 ? 418 ? 408 ? 423 ? 400 ? 413) ? 412, 8 1 2 S乙 ? (7 2 ? (?9) 2 ? 02 ? 62 ? (?4) 2 ? 112 ? (?12) 2 ? 12 ) ? 56. 8
由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应 该选择种植品种乙. 练习:为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件, 测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75时,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生产的优 等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随即抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列及其均值(即 数学期望). 解: (1)乙厂生产的产品数量为:

98 ? 5 ? 35 ; 14 2 5

(2) 从乙厂抽取的 5 件产品中号为 2,5 的产品是优等品, 故可估计乙厂生产的优等品的数量为: ? 35 ? 14 ; (3) ? 可取的值为 0,1,2 故 ? 的分布列为: 所 以 ? 的 数 学 期 望 为

P(? ? 0) ?

C32 3 C1C1 6 C2 1 ? , P(? ? 1) ? 2 2 3 ? , P(? ? 2) ? 2 ? , C52 10 C5 10 C52 10

?
P

0

1

2

E? ? 0 ?

3 6 1 4 ? 1? ? 2 ? ? . 10 10 10 5

3 10

6 10

1 10

32 新课标 (15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作, 则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N (1000,50 ) ,且各个元件能 否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为
2

3 8

14

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解:三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,502 ) 得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的

1 3 2 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P ? 1 ? (1 ? p ) ? 那么该部件的使用寿命 1 2 4 3 超过 1000 小时的概率为 p2 ? p1 ? p ? 8 33 新课标 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如果当天
概率为 p ? 卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的 函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列,数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由。 解: (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 得: y ? ? 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80

?10n ? 80(n ? 15) (n ? N ) (n ? 16) ?80

(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80 P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7 X 的分布列为

X
P

60
0.1

70
0.2

80
0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
76.4 ? 76 得:应购进 17 枝

15


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