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江苏省响水中学2013-2014学年高一上学期数学学案:《第34课时 函数与方程小结与复习》


教学目标: 知识与技能: 1.了解函数的零点与方程根的关系; 2.根据具体的函数图象,能够用二分法求相应方程的近似解; 3.体会函数与方程的内在联系,初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式. 过程与方法:由实际问题引入,运用类比的数学思想方法 情感态度价值观:进一步体会数形结合的思想 教学重点:函数的零点与方程根的关系 教学难点:用二分法求相应方程的近似解 教学过程: 一、激趣

导学 二、重点讲解 1.一元二次函数与一元二次方程 一元二次函数与一元二次方程(以后还将学习一元二次不等式)的关系一直是高中数学函数这部分内 容中的重点,也是高考必考的知识点.我们要弄清楚它们之间的对应关系:一元二次函数的图象与 x 轴的 交点的横坐标是对应一元二次方程的解;反之,一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与 x 轴 的交点的横坐标. 2.函数与方程 两个函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标就是方程 f ( x) ? g ( x) 的解;反之,要求方程

f ( x) ? g ( x)的解,也只要求函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标.
3.二分法求方程的近似解 二分法求方程的近似解,首先要找到方程的根所在的区间 (m, n) ,则必有 f (m) ? f (n) ? 0 ,再取区间 的中点 p ?

m?n , 再 判 断 f ( p) ? f (m) 的 正 负 号 , 若 f ( p) ? f (m) ? 0 , 则 根 在 区 间 (m, p) 中 ; 若 2

f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在 ( p, n) 中;若 f ( p) ? 0 ,则 p 即为方程的根.按照以上方法重复进行下去,直
到区间的两个端点的近似值相同(且都符合精确度要求) ,即可得一个近似值. 三、设疑讨论 四、典型拓展 例 1:已知二次函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (0, ?8), (1, ?5), (3, 7) 三点, (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)求 f ( x ) 的零点 (3)比较 f (2) f (4) , f (1) f (3) , f (?5) f (1) , f (3) f (?6) 与 0 的大小关系. 分析:可设函数解析式为 y ? ax ? bx ? c ,将已知点的坐标代入方程解方程组求 a 、 b 、 c .
2

点评: 当二次函数 y ? f ( x) 的两个零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 都在 (或都不在) 区间 (m, n) 中时,f (m) f (n) ? 0 ;

有且只有一个零点在区间 (m, n) 中时, f (m) f (n) ? 0 . 例 2:利用计算器,求方程 x ? 6 x ? 7 ? 0 的近似解(精确到 0.1 ) .
2

分析一:可先找出方程的根所在的一个区间,再用二分法求解. 点评:解题过程中要始终抓住重点:区间两端点的函数值必须异号. 分析二:还可以用方程近似解的另一种方法——“迭代法”来求解. 点评: “迭代法”也是一种常用的求近似解的方法 例 3:已知函数 f ( x) ? kx2 ? (k ? 3) x ? 1 的图象与 x 轴在原点的右侧有交点,试确定实数 k 的取值范围. 五、要点小结 六、巩固训练 1.函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? 4 x ? 5) 的图象与 x 轴交点横坐标为 A. 1 B. 0 C. 2 或 0 D. 2 2.已知 0 ? a ? 1 则方程 a x ? loga x ? 0 的解的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定 3.直线 y ? kx ? ( D )

A )

3 与曲线 y 2 ? 2 y ? x ? 3 ? 0 只有一个公共点,则 k 的值为(A ) 2 1 1 1 1 1 1 1 A. 0, ? , B. 0, ? C. ? , D. 0, ,? 2 4 2 4 4 2 4 2 2 4.函数 y ? x ? 6x ? 5 与 x 轴交点坐标是 ,方程 x ? 6 x ? 5 ? 0 的根为 2 5.已知方程 x ? kx ? 2 ? 0 在区间 (0,3) 中有且只有一解,则实数 k 的取值范围为
6.已知函数 f ( x) ? a ? 2 过点 (1, 0) ,则方程 f ( x) ? x 的解为
x

[



7.求方程 2 x ? 8 x ? 5 ? 0 的近似解(精确到 0.1 ) .
2

2 8.判断方程 x ? (2a ? 2) x ? 2a ? 5 ? 0 (其中 a ? 2 )在区间 (1,3) 内是否有解. 2 9.已知函数 f ( x) ? x ? 2bx ? c (c ? b ? 1) , f (1) ? 0 ,且方程 f ( x) ? 1 ? 0 有实根,

(1)证明: ?3 ? c ? ?1 且 b ? 0 ; (2)若 m 是方程 f ( x) ? 1 ? 0 的一个实根,判断 f (m ? 4) 的正负,并说明理由. 10.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ( a , b , c ? R ),
2

f (?1) ? 0 ,对于任意 x ? R ,都有 f ( x) ? x ,

? x ?1 ? ? . ? 2 ? (1)求 f (1) 的值; (2) 求证 a ? 0 , c ? 0 ; (3) 当 x ?[?1,1] 时,函数 g ( x) ? f ( x) ?mx (m ? R) 是单调的,求证 m ? 0 或 m ? 1 .
且当 x ? (0, 2) 时,有 f ? x ? ? ?

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