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【经典例题剖析】一次函数


第十一章

一次函数复习课

知识点 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0) 的形式,则称 y 是 x 的一次函数(x 为自变量) ,特别地,当 b=0 时,称 y 是 x 的正比例函数.例如: y=2x+3, y=-x+2, y=

1 1 x

等都是一次函数, y= x, 2 2

y=-x 都是正比例函数. 【说明】 (1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问 题中要根据函数的实际意义来确定. (2)一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,b≠0)中的“一次”和一元一次 方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量 x 的次数为 1,一 次项系数 k 必须是不为零的常数,b 可为任意常数. (3)当 b=0,k≠0 时,y= kx 仍是一次函数. (4)当 b=0,k=0 时,它不是一次函数. 知识点 2 函数的图象 把一个函数的自变量 x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标 在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图 象.画函数图象一般分为三步:列表、描点、连线. 知识点 3 一次函数的图象 由于一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0)的图象是一条直线,所以 一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线 y=kx+b. 由于两点确定一条直线, 因此在今后作一次函数图象时, 只要描出适合 关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特殊点:直线与 y 轴的交点 (0,b) ,直线与 x 轴的交点(-

b ,0).但也不必一定选取这两个特殊点. k

画正比例函数 y=kx 的图象时,只要描出点(0,0)(1,k)即可. , 知识点 4 一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0)的性质 (1)k 的正负决定直线的倾斜方向; ①k>0 时,y 的值随 x 值的增大而增大; ②k﹤O 时,y 的值随 x 值的增大而减小. (2)|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与 x 轴相交的锐 角度数越大 (直线陡) |k|越小, , 直线与 x 轴相交的锐角度数越小 (直线缓) ; (3)b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置; ①当 b>0 时,直线与 y 轴交于正半轴上; ②当 b<0 时,直线与 y 轴交于负半轴上; ③当 b=0 时,直线经过原点,是正比例函数. (4)由于 k,b 的符号不同,直线所经过的象限也不同;

①如图 11-18(l)所示,当 k>0,b>0 时,直线经过第一、二、三 象限(直线不经过第四象限) ; ②如图 11-18(2)所示,当 k>0,b﹥O 时,直线经过第一、三、四 象限(直线不经过第二象限) ; ③如图 11-18(3)所示,当 k﹤O,b>0 时,直线经过第一、二、四 象限(直线不经过第三象限) ; ④如图 11-18(4)所示,当 k﹤O,b﹤O 时,直线经过第二、三、四 象限(直线不经过第一象限) . (5)由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小,k 相同,说明这两个 锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的.另外,从平移的 角度也可以分析,例如:直线 y=x+1 可以看作是正比例函数 y=x 向上平移 一个单位得到的. 知识点 3 正比例函数 y=kx(k≠0)的性质 (1)正比例函数 y=kx 的图象必经过原点; (2)当 k>0 时,图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大; (3)当 k<0 时,图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小. 知识点 4 点 P(x0,y0)与直线 y=kx+b 的图象的关系 (1)如果点 P(x0,y0)在直线 y=kx+b 的图象上,那么 x0,y0 的值必满 足解析式 y=kx+b; (2)如果 x0,y0 是满足函数解析式的一对对应值,那么以 x0,y0 为坐 标的点 P(1,2)必在函数的图象上. 例如:点 P(1,2)满足直线 y=x+1,即 x=1 时,y=2,则点 P(1,2) 在直线 y=x+l 的图象上;点 P′(2,1)不满足解析式 y=x+1,因为当 x=2 时,y=3,所以点 P′(2,1)不在直线 y=x+l 的图象上. 知识点 5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件 (1)由于正比例函数 y=kx(k≠0)中只有一个待定系数 k,故只需一 个条件(如一对 x,y 的值或一 个点)就可求得 k 的值. (2)由于一次函数 y=kx+b (k≠0)中有两个待定系数 k, b,需要两个独立的条件确定两 个关于 k,b 的方程,求得 k,b 的值, 这两个条件通常是两个点 或两对 x,y 的值. 知识点 6 待定系数法 先设待求函数关系式 (其中 含有未知常数系数) ,再根据条 件列出方程(或方程组) ,求出

未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.其中未知系数也叫 待定系数.例如:函数 y=kx+b 中,k,b 就是待定系数. 知识点 7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 (1)设函数表达式为 y=kx+b; (2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组) ; (3)求出 k 与 b 的值,得到函数表达式. 例如:已知一次函数的图象经过点(2,1)和(-1,-3)求此一次函数 的关系式. 解:设一次函数的关系式为 y=kx+b(k≠0) , 由题意可知,

?1 ? 2k ? b, ? ?? 3 ? ?k ? b,
4 ? ?k ? 3 , ? 解? ?b ? ? 5 . ? 3 ?
∴此函数的关系式为 y=

4 5 x? . 3 3

【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式,具体步骤如下: 第一步,设(根据题中要求的函数“设”关系式 y=kx+b,其中 k,b 是未知 的常量,且 k≠0) ;第二步,代(根据题目中的已知条件,列出方程(或方 程组) ,解这个方程(或方程组) ,求出待定系数 k,b) ;第三步,求(把求 得的 k,b 的值代回到“设”的关系式 y=kx+b 中) ;第四步,写(写出函数 关系式). 思想方法小结 (1)函数方法. 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华 为函数的模型, 进而解决有关问题的方法. 函数的实质是研究两个变量之间 的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题. (2)数形结合法. 数形结合法是指将数与形结合, 分析、 研究、 解决问题的一种思想方法, 数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用. 知识规律小结 (1)常数 k,b 对直线 y=kx+b(k≠0)位置的影响. ①当 b>0 时,直线与 y 轴的正半轴相交; 当 b=0 时,直线经过原点; 当 b﹤0 时,直线与 y 轴的负半轴相交.

②当 k,b 异号时,即当 b=0 时,即-

b >0 时,直线与 x 轴正半轴相交; k

b =0 时,直线经过原点; k b 当 k,b 同号时,即- ﹤0 时,直线与 x 轴负半轴相交. k
③当 k>O,b>O 时,图象经过第一、二、三象限; 当 k>0,b=0 时,图象经过第一、三象限; 当 b>O,b<O 时,图象经过第一、三、四象限; 当 k﹤O,b>0 时,图象经过第一、二、四象限; 当 k﹤O,b=0 时,图象经过第二、四象限; 当 b<O,b<O 时,图象经过第二、三、四象限. (2)直线 y=kx+b(k≠0)与直线 y=kx(k≠0)的位置关系. 直线 y=kx+b(k≠0)平行于直线 y=kx(k≠0) 当 b>0 时,把直线 y=kx 向上平移 b 个单位,可得直线 y=kx+b; 当 b﹤O 时,把直线 y=kx 向下平移|b|个单位,可得直线 y=kx+b. (3)直线 b1=k1x+b1 与直线 y2=k2x+b2(k1≠0 ,k2≠0)的位置关系. ①k1≠k2 ? y1 与 y2 相交; ②?

?k1 ? k 2 ; ? y1 与 y2 相交于 y 轴上同一点(0,b1)或(0,b2) ?b1 ? b2 ? k1 ? k 2 , ? y1 与 y2 平行; ?b1 ? b2 ? k1 ? k 2 , ? y1 与 y2 重合. ?b1 ? b2
典例剖析

③?

④?

基本概念题 本节有关基本概念的题目主要是一次函数、 正比例函数的概念及它们之 间的关系,以及构成一次函数及正比例函数的条件. 例 1 下列函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数? (1)y=-

1 x; 2
2

(2)y=-

(4)y=-5x ;

2 ; x 1 (5)y=6x2

(3)y=-3-5x; (6)y=x(x-4)-x .
2

[分析] 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解.

解: (3) (6)是一次函数, (6)是正比例函数. (1) (5) (l) 例 2 当 m 为何值时,函数 y=-(m-2)x
m 2 ?3

+(m-4)是一次函数?

[分析] 某函数是一次函数,除应符合 y=kx+b 外,还要注意条件 k≠0. 解:∵函数 y=(m-2)x ∴?
m 2 ?3

+(m-4)是一次函数,

?m 2 ? 3 ? 1, ∴m=-2. ? (m ? 2) ? 0, ?
m 2 ?3

∴当 m=-2 时,函数 y=(m-2)x

+(m-4)是一次函数.

小结 某函数是一次函数应满足的条件是:一次项(或自变量)的指数 为 1,系数不为 0.而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:常数 项为 0. 基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括: 会确定函数关系式及求函数值; (1) (2) 会画一次函数(正比例函数)图象及根据图象收集相关的信息; (3)利用一 次函数的图象和性质解决实际问题; (4)利用待定系数法求函数的表达式. 例 3 一根弹簧长 15cm,它所挂物体的质量不能超过 18kg,并且每挂 1kg 的物体,弹簧就伸长 0.5cm,写出挂上物体后,弹簧的长度 y(cm)与 所挂物体的质量 x(kg)之间的函数关系式,写出自变量 x 的取值范围,并 判断 y 是否是 x 的一次函数. [分析] (1)弹簧每挂 1kg 的物体后,伸长 0.5cm,则挂 xkg 的物体 后,弹簧的长度 y 为(l5+0.5x)cm,即 y=15+0.5x. (2)自变量 x 的取值范围就是使函数关系式有意义的 x 的值,即 0≤x ≤18. (3)由 y=15+0.5x 可知,y 是 x 的一次函数. 解: (l)y=15+0.5x. (2)自变量 x 的取值范围是 0≤x≤18. (3)y 是 x 的一次函数. 学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约 600 千米,火车从乌鲁木齐 出发,其平均速度为 58 千米/时,则火车离库尔勒的距离 s(千米)与行 驶时间 t(时)之间的函数关系式是 . 老师评一评 研究本题可采用线段图示法,如图 11-19 所示.

火车从乌鲁木齐出发,t 小时所走路程为 58t 千米,此时,距离库尔勒 的距离为 s 千米,故有 58t+s=600,所以,s=600-58t. 例 4 某物体从上午 7 时至下午 4 时的温度 M(℃)是时间 t(时)的函 2 数:M=t -5t+100(其中 t=0 表示中午 12 时,t=1 表示下午 1 时) ,则上午 10 时此物体的温度为 ℃. [分析] 本题给出了函数关系式,欲求函数值,但没有直接给出 t 的 具体值.从题中可以知道,t=0 表示中午 12 时,t=1 表示下午 1 时,则上午 3 10 时应表示成 t=-2,当 t=-2 时,M=(-2) -5×(-2)+100=102(℃) . 答案:102 例 5 已知 y-3 与 x 成正比例,且 x=2 时,y=7. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当 x=4 时,求 y 的值; (3)当 y=4 时,求 x 的值. [分析] 由 y-3 与 x 成正比例,则可设 y-3=kx,由 x=2,y=7,可求出 k, 则可以写出关系式. 解: (1)由于 y-3 与 x 成正比例,所以设 y-3=kx. 把 x=2,y=7 代入 y-3=kx 中,得 7-3=2k, ∴k=2. ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y-3=2x,即 y=2x+3. (2)当 x=4 时,y=2×4+3=11. (3)当 y=4 时,4=2x+3,∴x=

1 . 2

学生做一做 已知 y 与 x+1 成正比例,当 x=5 时,y=12,则 y 关于 x 的 函数关系式是 . 老师评一评 由 y 与 x+1 成正比例,可设 y 与 x 的函数关系式为 y=k (x+1). 再把 x=5,y=12 代入,求出 k 的值,即可得出 y 关于 x 的函数关系式. 设 y 关于 x 的函数关系式为 y=k(x+1). ∵当 x=5 时,y=12, ∴12=(5+1)k,∴k=2. ∴y 关于 x 的函数关系式为 y=2x+2. 【注意】 y 与 x+1 成正比例,表示 y=k(x+1),不要误认为 y=kx+1. 例 6 若正比例函数 y=(1-2m)x 的图象经过点 A(x1,y1)和点 B(x2, y2) ,当 x1﹤x2 时,y1>y2,则 m 的取值范围是( ) A.m﹤O B.m>0

C.m﹤

1 2

D.m>M

[分析] 本题考查正比例函数的图象和性质,因为当 x1<x2 时,y1>y2, 说明 y 随 x 的增大而减小,所以 1-2m﹤O,∴m>

1 ,故正确答案为 D 项. 2

学生做一做 某校办工厂现在的年产值是 15 万元,计划今后每年增加 2 万元. (1)写出年产值 y(万元)与年数 x(年)之间的函数关系式; (2)画出函数的图象; (3)求 5 年后的产值. 老师评一评 (1)年产值 y(万元)与年数 x(年)之间的函数关系式 为 y=15+2x. (2)画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为 x≥0,因 此,函数 y=15+2x 的图象应为一条射线. 画函数 y=12+5x 的 图象如图 11 -21 所示.

(3) 当 x=5 时,y=15+2×5=25(万元) ∴5 年后的产值是 25 万元. 例 7 已知一次函数 y=kx+b 的图象如图 11-22 所示,求函数表达式. [分析] 从图象上可以看出,它与 x 轴交于点(-1,0) ,与 y 轴交于 点(0,-3) ,代入关系式中,求出 k 为即可. 解:由图象可知,图象经过点(-1,0)和(0,-3)两点, 代入到 y=kx+b 中,得

?0 ? ?k ? b, ?k ? ?3, ∴? ? ?? 3 ? 0 ? b, ?b ? ?3.
∴此函数的表达式为 y=-3x-3. 例 8 求图象经过点(2,-1) ,且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表 达式. [分析] 图象与 y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为 2,则可 设此表达式为 y=2x+b,再将点(2,-1)代入,求出 b 即可. 解:由题意可设所求函数表达式为 y=2x+b,

∴图象经过点(2,-1) , ∴-l=2×2+b. ∴b=-5, ∴所求一次函数的表达式为 y=2x-5. 综合应用题 本节知识的综合应用包括: (1)与方程知识的综合应用; (2)与不等式 知识的综合应用; 与实际生活相联系, (3) 通过函数解决生活中的实际问题. 例 8 已知 y+a 与 x+b(a,b 为是常数)成正比例. (1)y 是 x 的一次函数吗?请说明理由; (2)在什么条件下,y 是 x 的正比例函数? [分析] 判断某函数是一次函数,只要符合 y=kx+b(k,b 中为常数, 且 k≠0)即可;判断某函数是正比例函数,只要符合 y=kx(k 为常数,且 k ≠0)即可. 解: (1)y 是 x 的一次函数. ∵y+a 与 x+b 是正比例函数, ∴设 y+a=k(x+b)(k 为常数,且 k≠0) 整理得 y=kx+(kb-a) . ∵k≠0,k,a,b 为常数, ∴y=kx+(kb-a)是一次函数. (2)当 kb-a=0,即 a=kb 时, y 是 x 的正比例函数. 例 9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务: “全球通”使用者先交 50 元月租费,然后每通话 1 分,再付电话费 0.4 元; “神州行”使用者不交月 租费,每通话 1 分,付话费 0.6 元(均指市内通话)若 1 个月内通话 x 分, 两种通讯方式的费用分别为 y1 元和 y2 元. (1)写出 y1,y2 与 x 之间的关系; (2)一个月内通话多少分时,两种通讯方式的费用相同? (3) 某人预计一个月内使用话费 200 元, 则选择哪种通讯方式较合算? [分析] 这是一道实际生活中的应用题,解题时必须对两种不同的收 费方式仔细分析、比较、计算,方可得出正确结论. 解: (1)y1=50+0.4x(其中 x≥0,且 x 是整数) y2=0.6x(其中 x≥0,且 x 是整数) (2)∵两种通讯费用相同, ∴y1=y2, 即 50+0.4x=0.6x. ∴x=250. ∴一个月内通话 250 分时,两种通讯方式的费用相同. (3)当 y1=200 时,有 200=50+0.4x,

∴x=375(分) . ∴“全球通”可通话 375 分. 当 y2=200 时,有 200=0.6x, ∴x=333

1 (分) . 3 1 分. 3

∴“神州行”可通话 333 ∵375>333

1 , 3

∴选择“全球通”较合算. 例 10 已知 y+2 与 x 成正比例,且 x=-2 时,y=0. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)画出函数的图象; (3) 观察图象, x 取何值时, 当 y≥0? (4)若点(m,6)在该函数的图象上, 求 m 的值; (5)设点 P 在 y 轴负半轴上, (2)中 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,且 S△ABP=4,求 P 点的坐标. [分析] 由已知 y+2 与 x 成正比例, 可设 y+2=kx,把 x=-2,y=0 代入,可求出 k,这样即可得到 y 与 x 之间的函 数关系式,再根据函数图象及其性质进行分析,点(m,6)在该函数的图象 上,把 x=m,y=6 代入即可求出 m 的值. 解: (1)∵y+2 与 x 成正比例, ∴设 y+2=kx(k 是常数,且 k≠0) ∵当 x=-2 时,y=0. ∴0+2=k· (-2) ,∴k=-1. ∴函数关系式为 x+2=-x, 即 y=-x-2. (2)列表; x y 0 -2 -2 0

描点、连线,图象如图 11-23 所示. (3)由函数图象可知,当 x≤-2 时,y≥0. ∴当 x≤-2 时,y≥0. (4)∵点(m,6)在该函数的图象上, ∴6=-m-2,

∴m=-8. (5)函数 y=-x-2 分别交 x 轴、y 轴于 A,B 两点, ∴A(-2,0) ,B(0,-2) . ∵S△ABP=

1 ·|AP|·|OA|=4, 2

∴|BP|=

8 8 ? ? 4. | OA | 2

∴点 P 与点 B 的距离为 4. 又∵B 点坐标为(0,-2),且 P 在 y 轴负半轴上, ∴P 点坐标为(0,-6). 2 例 11 已知一次函数 y=(3-k)x-2k +18. (1)k 为何值时,它的图象经过原点? (2)k 为何值时,它的图象经过点(0,-2)? (3)k 为何值时,它的图象平行于直线 y=-x? (4)k 为何值时,y 随 x 的增大而减小? [分析] 函数图象经过某点,说明该点坐标适合方程;图象与 y 轴的交 点在 y 轴上方,说明常数项 b>O;两函数图象平行,说明一次项系数相等; y 随 x 的增大而减小,说明一次项系数小于 0. 解: (1)图象经过原点,则它是正比例函数. ∴?

?? 2k 2 ? 18 ? 0, ?3 ? k ? 0,

∴k=-2.

∴当 k=-3 时,它的图象经过原点. (2)该一次函数的图象经过点(0,-2). 2 ∴-2=-2k +18,且 3-k≠0, ∴k=± 10 ∴当 k=± 10 时,它的图象经过点(0,-2) (3)函数图象平行于直线 y=-x, ∴3-k=-1, ∴k=4. ∴当 k=4 时,它的图象平行于直线 x=-x. (4)∵随 x 的增大而减小, ∴3-k﹤O. ∴k>3. ∴当 k>3 时,y 随 x 的增大而减小.

例 12 判断三点 A(3,1) ,B(0,-2) ,C(4,2)是否在同一条直线 上. [分析] 由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过这两点的函 数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中,若成立,说明在此直线上; 若不成立,说明不在此直线上. 解:设过 A,B 两点的直线的表达式为 y=kx+b. 由题意可知,

?1 ? 3k ? b, ?k ? 1, ∴? ? ?? 2 ? 0 ? b, ?b ? ?2.
∴过 A,B 两点的直线的表达式为 y=x-2. ∴当 x=4 时,y=4-2=2. ∴点 C(4,2)在直线 y=x-2 上. ∴三点 A(3,1) B(0,-2) , ,C(4,2)在同一条直线上. 学生做一做 判断三点 A(3,5) ,B(0,-1) ,C(1,3)是否在同一 条直线上. 探索与创新题 主要考查学生运用知识的灵活性和创新性, 体现分类讨论思想、 数形结 合思想在数学问题中的广泛应用. 例 13 老师讲完“一次函数”这节课后,让同学们讨论下列问题: (1)x 从 0 开始逐渐增大时,y=2x+8 和 y=6x 哪一个的函数值先达到 30?这说明了什么? (2)直线 y=-x 与 y=-x+6 的位置关系如何? 甲生说:y=6x 的函数值先达到 30, “ 说明 y=6x 比 y=2x+8 的值增长得快. ” 乙生说: “直线 y=-x 与 y=-x+6 是互相平行的. ” 你认为这两个同学的说法正确吗? [分析] (1)可先画出这两个函数的图象,从图象中发现,当 x>2 时,6x>2x+8,所以,y=6x 的函数值先达到 30. (2)直线 y=-x 与 y=-x+6 中的一次项系数相同,都是-1,故它们是平 行的,所以这两位同学的说法都是正确的. 解:这两位同学的说法都正确. 例 14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游,用旅行社说: “如 果老师买全票,其他人全部半价优惠. ”乙旅行社说: “所有人按全票价的 6 折优惠. ”已知全票价为 240 元. (1)设学生人数为 x,甲旅行社的收费为 y 甲元,乙旅行社的收费为 y 乙元,分别表示两家旅行社的收费; (2)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠. [分析] 先求出甲、 乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式,

再通过比较,探究结论. 解: (1)甲旅行社的收费 y 甲(元)与学生人数 x 之间的函数关系式为 y 甲=240+

1 ×240x=240+120x. 2

乙旅行社的收费 y 乙(元)与学生人数 x 之间的函数关系式为 y 乙=240×60%×(x+1)=144x+144. (2)①当 y 甲=y 乙时,有 240+120x=144x+144, ∴24x=96,∴x=4. ∴当 x=4 时,两家旅行社的收费相同,去哪家都可以. ②当 y 甲>y 乙时,240+120x>144x+144, ∴24x<96,∴x<4. ∴当 x﹤4 时,去乙旅行社更优惠. ③当 y 甲﹤y 乙时,有 240+120x﹤140x+144, ∴24x>96,∴x>4. ∴当 x>4 时,去甲旅行社更优惠. 小结 此题的创新之处在于先通过计算进行讨论,再作出决策,另外, 这两个函数都是一次函数,利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法. 学生做一做 某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者. 果园基地对购买量在 3000 千克以上(含 3000 千克)的有两种销售方案.甲 方案:每千克 9 元,由基地送货上门;乙方案:每千克 8 元,由顾客自己租 车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为 5000 元. (1)分别写出该公司两种购买方案的付款 y(元)与所购买的水果量 x (千克)之间的函数关系式,并写出自变量 X 的取值范围; (2) 当购买量在什么范围时, 选择哪种购买方案付款少?并说明理由. 老师评一评 先求出两种购买方案的付款 y(元)与所购买的水果量 x (千克)之间的函数关系式,再通过比较,探索出结论. (1)甲方案的付款 y 甲(元)与所购买的水果量 x(千克)之间的函数 关系式为 y 甲=9x(x≥3000) ; 乙方案的付款 y 乙(元)与所购买的水果量 x(千克)之间的函数关系 式为 y 乙=8x+500O(x≥3000) . (2)有两种解法: 解法 1:①当 y 甲=y 乙时,有 9x=8x+5000, ∴x=5000. ∴当 x=5000 时,两种方案付款一样,按哪种方案都可以. ②当 y 甲﹤y 乙时,有 9x﹤8x+5000, ∴x<5000.

又∵x≥3000, ∴当 3000≤x≤5000 时,甲方案付款少,故采用甲方案. ③当 y 甲>y 乙时,有 9x>8x+5000, ∴x>5000. ∴.当 x>500O 时,乙方案付款少,故采用乙方案. 解法 2:图象法,作出 y 甲=9x 和 y 乙=8x+5000 的函数图象,如图 11-24 所示,由图象可得:当购买量大于或等于 3000 千克且小于 5000 千克时,y 甲﹤y 乙,即选择甲方案付款少;当购买量为 5000 千克时,y 甲﹥y 乙即两种方 案付款一样; 当购买量大于 5000 千克时, 甲>y 乙, y 即选择乙方案付款最少. 【说明】 图象法是解决问 题的重要方法, 也是考查学生读 图能力的有效途径. 例 15 一次函数 y=kx+b 的 自变量 x 的取值范围是-3≤x≤ 6,相应函数值的取值范围是-5 ≤y≤-2,则这个函数的解析式 为 . [分析] 本题分两种情况讨论:①当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大,则 有 : 当 x=-3 , y=-5 ; 当 x=6 时 , y=-2 , 把 它 们 代 入 y=kx+b 中 可 得

?? 5 ? ?3k ? b, ? ?? 2 ? 6k ? b,
1 ? 1 ?k ? , ∴? 3 ∴函数解析式为 y=- x-4. 3 ?b ? ?4, ?
②当 k﹤O 时则随 x 的增大而减小,则有:当 x=-3 时,y=-2;当 x=6 时,y=-5,把它们代入 y=kx+b 中可得

1 ? ?? 2 ? ?3b ? b, ?k ? ? , 1 ∴? 3 ∴函数解析式为 y=- x-3. ? 3 ?? 5 ? 6k ? b, ?b ? ?3, ?
1 1 x-4,或 y=- x-3. 3 3 1 1 答案:y= x-4 或 y=- x-3. 3 3
∴函数解析式为 y= 【注意】 本题充分体现了分类讨论思想,方程思想在一次函数中的应

用,切忌考虑问题不全面. 中考试题预测 例 1 某地举办乒乓球比赛的费用 y(元)包括两部分:一部分是租用比 赛场地等固定不变的费用 b(元) ,另一部分与参加比赛的人数 x(人)成正 比例,当 x=20 时 y=160O;当 x=3O 时,y=200O. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)动果有 50 名运动员参加比赛,且全部费用由运动员分摊,那么每 名运动员需要支付多少元? [分析] 设举办乒乓球比赛的费用 y(元)与租用比赛场地等固定不变 的费用 b(元)和参加比赛的人数 x(人)的函数关系式为 y=kx+b(k≠0). 把 x=20,y=1600;x=30,y=2000 代入函数关系式,求出 k,b 的值,进 而求出 y 与 x 之间的函数关系式,当 x=50 时,求出 y 的值,再求得 y÷50 的值即可. 解: (1)设 y1=b,y2=kx(k≠0,x>0) , ∴y=kx+b. 又∵当 x=20 时,y=1600;当 x=30 时,y=2000, ∴?

?1600? 20k ? b, ?k ? 40, ∴? ?2000? 30k ? b, ?b ? 800.

∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=40x+800(x>0). (2)当 x=50 时,y=40×50+800=2800(元) . ∴每名运动员需支付 2800÷50=56(元〕 答:每名运动员需支付 56 元. 例 2 已知一次函数 y=kx+b,当 x=-4 时,y 的值为 9;当 x=2 时,y 的值为-3. (1)求这个函数的解析式。 (2)在直角坐标系内画出这个函数的图象. [分析] 求函数的解析式,需要两个点或两对 x,y 的值,把它们代入 y=kx+b 中,即可求出 k 在的值,也就求出这个函数的解析式,进而画出这 个函数的图象. 解: (1)由题意可知

?9 ? ?4k ? b, ?k ? ?2 ∴? ? ?? 3 ? 2k ? b, ?b ? 1.
∴这个函数的解析式为 x=-2x+1. (2)列表如下: x 0

1 2

y

1

0

描点、 连线, 如图 11-26 所示即为 y=-2x+1 的图象. 例 3 如图 11-27 所示,大拇指与小拇指 尽量张开时, 两指尖的距离称为指距. 某项研究 表明, 一般情况下人的身高 h 是指距 d 的一次函 数,下表是测得的指距与身高的一组数据.

指距 d/cm 身高 h/cm

20 160

21 169

22 178

23 187

(1) 求出 h 与 d 之间的函数关系式;不要求写出自变量 d 的取值范围) ( (2)某人身高为 196cm,一般情况下他的指距应是多少? [分析] 设 h 与 d 之间的函数关系式是 h=kd+b(k≠0) 当 d=20 时,h=160;当 d=21 时,h=169. 把这两对 d,h 值代人 h=kd+b 得

?160 ? 20k ? b, ?k ? 9, ∴? ? ?169 ? 21k ? b, ?b ? ?20.
所以得出 h 与 d 之间的函数关系式,当 h=196 时,即可求出 d. 解: (1)设 h 与 d 之间的函数关系式为 h=kd+b(k≠0) 由题中图表可知当 d=2O 时,h=16O;当 d=21 时,h=169. 把它们代入函数关系式,得

?160 ? 20k ? b, ?k ? 9, ∴? ? ?169 ? 21k ? b, ?b ? ?20.
∴h 与 d 之间的函数关系式是 h=9d-20. (2)当 h=196 时,有 196=9d-20. ∴d=24. ∴当某人的身高为 196cm 时,一般情况下他的指距是 24cm.

例 4 汽车由重庆驶往相距 400 千米的成都,如果汽车的平均速度是 100 千米/时,那么汽车距成 都的路程 s(千米)与行驶时 间 t(时)的函数关系用图象 (如图 11-28 所示)表示应 为( ) [分析] 本题主要考查函 数关系式的表达及函数图象 的知识,由题意可知,汽车距 成都的路程 s(千米)与行驶 时间 t(时)的函数关系式是 s=400-100t,其中自变量 t 的 取值范围是 0≤t≤4, 所以有 0≤s≤400, 因此这个函数图象应为一条线段, 故淘汰掉 D. 又因为在 S=400-100t 中的 k=-100<0, 随 t 的增大而减小, ∴s 所以正确答案应该是 C. 答案:C 小结 画函数图象时,要注意自变量的取值范围,尤其是对实际问题. 例 5 已知函数: (1) 图象不经过第二象限; (2) 图象经过点 (2, . -5) 请你写出一个同时满足(1)和(2)的函数关系式: . [分析] 这是一个开放性试题,答案是不惟一的,因为点(2,-5)在第 四象限,而图象又不经过第二象限,所以这个函数图象经过第一、三、四象 限,只需在第一象限另外任意找到一点,就可以确定出函数的解析式.设经 过第一、 二、 四象限的直线解析式为 y=kx+b(k≠O) 另外的一点为 , (4,3) , 把这两个点代入解析式中即可求出 k,b.

?3 ? 4k ? b, ?k ? 4, ∴? ∴y=4x-13. ? ? 5 ? 2k ? b, b ? ?13. ? ?
答案:y=4x-13 【注意】 后面学习了反比例函数二次函数后可另行分析. 例 6 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用 a 表示一个 人的年龄, b 表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次 用 数,另么 b=0.8(220-a) . (1) 正常情况下, 在运动时一个 16 岁的学生所能承受的每分心跳的最 高次数是多少? (2)一个 50 岁的人运动 10 秒时心跳的次数为 20 次,他有危险吗? [分析] (1)只需求出当 a=16 时 b 的值即可.

(2) 求出当 a=50 时 b 的值, 再用 b 和 20×

60 =120 (次) 相比较即可. 10

解: (1)当 a=16 时, b=0.8(220-16)=163.2(次) . ∴正常情况下,在运动时一个 16 岁的学生所能承受的每分心跳的最高 次数是 163.2 次. (2)当 a=50 时, b=0.8(220-50)=0.8×170=136(次) ,表示他最大能承受每分 136 次. 而 20×

60 =120﹤136,所以他没有危险. 10

∴一个 50 岁的人运动 10 秒时心跳的次数为 20 次,他没有危险. 例 7 某市的 A 县和 B 县春季育苗,急需化肥分别为 90 吨和 60 吨,该 市的 C 县和 D 县分别储存化肥 100 吨和 50 吨,全部调配给 A 县和 B 县.已 知 C,D 两县运化肥到 A,B 两县的运费(元/吨)如下表所示.

(1)设 C 县运到 A 县的化肥为 x 吨,求总运费 W(元)与 x(吨)的函 数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案. [分析] 利用表格来分析 C,D 两县运到 A,B 两县的化肥情况如下表.

则总运费 W(元)与 x(吨)的函数关系式为 W=35x+40(90-x)+30(100-x)+45[60-(100-x)]=10x+4800. 自变量 x 的取值范围是 40≤x≤90. 解:1) C 县运往 A 县的化肥为 x 吨, C 县运往 B 县的化肥为 ( 由 则 (100-x)

吨. D 县运往 A 县的化肥为(90-x)吨,D 县运往 B 县的化肥为(x-40)吨. 由题意可知 W=35x+40(90-x)+30(100-x)+45(x-40)=10x+4800. 自变量 x 的取值范围为 40≤x≤90. ∴总运费 W(元)与 x(吨)之间的函数关系式为 w=1Ox+480O(40≤x≤9O) . (2)∵10>0, ∴W 随 x 的增大而增大. ∴当 x=40 时, W 最小值=10×40+4800=5200(元) . 运费最低时,x=40,90-x=50(吨) ,x-40=0(吨) . ∴当总运费最低时,运送方案是:C 县的 100 吨化肥 40 吨运往 A 县, 60 吨运往 B 县,D 县的 50 吨化肥全部运往 A 县. 例 8 2006 年夏天, 某省由于持续高温和连日无雨, 水库蓄水量普遍下 2 降,图 11-29 是某水库的蓄水量 V(万米 )与干旱持续时间 t(天)之问 的关系图,请根据此图回答下列问题. 2 (1) 该水库原蓄水量为多少万米 ?持续干 3 旱 10 天后.水库蓄水量为多少万米 ? 3 (2)若水库存的蓄水量小于 400 万米 时, 将发出严重干旱警报, 请问: 持续干旱多少天后, 将发生严重干旱警报? (3)按此规律,持续干旱多少天时,水库 将干涸? 2 [分析] 由函数图象可知,水库的蓄水量 V(万米 )与干旱时间 t(天) 之间的函数关系为一次函数,设一次函数的解析式是 V=kt+b(k,b 是常数, 且 k≠0).由图象求得这个函数解析式,进而求出本题(1) (3)问即 (2) 可. 3 解:设水库的蓄水量 V(万米 )与干旱时间 t(天)之间的函数关系式 是 V=kt+b(k,b 是常数,且 k=0) . 由图象可知,当 t=10 时,V=800;当 t=30 时,V=400. 把它们代入 V=kt+b 中,得

?800 ? 10k ? b, ?k ? ?20, ∴? ? . ?400 ? 30k ? b, ?b ? 1000
∴V=-20t+1000(0≤t≤50) . 2 (1)当 t=0 时,V=-20×0+1000=1000(万米 ) ;

当 t=10 时,V=-20×10+1000=800(万米 ) . 3 ∴该水库原蓄水量为 1000 万米 , 持续干旱 10 天后, 水库蓄水量为 800 3 万米 . (2)当 V<400 时,有-20t+1000<400, ∴t>30, ∴当持续干旱 30 天后,将发生严重干旱警报. (3)当 V=0 时,有-20t+1000=0, ∴t=50, ∴按此规律,持续干旱 50 天时,水库将干涸. 【说明】解决本题的关键是求出 V 与 t 之间的函数关系式. 例 9 图 11-30 表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中,路程 y (千米)随时间 x(分)变化的图象(全程) ,根据图象回答下列问题. (1)当比赛开始多少分时,两人第一次相遇? (2)这次比赛全程是多少千米? (3)当比赛开始多少分时,两人第二次相遇? [分析] 本题主要考查读图能力和运用函数图象 解决实际问题的能力.解决本题的关键是写出甲、乙 两人在行驶中,路程 y(千米)随时间 x(分)变化的 函数关系式,其中:乙的函数图象为正比例函数,而 甲的函数图象则是三段线段,第一段是正比例函数, 第二段和第三段是一次函数,需分别求出. 解: (1)当 15≤x<33 时,设 yAB=k1x+b1,把(15,5)和(33,7)代 入,解得 k1=

3

1 10 ,b1= , 9 3 1 10 1 10 ∴yAB= x+ .∴yAB= x+ . 9 3 9 3 1 10 当 y=6 时,有 6= x+ , 9 3
∴x=24。 ∴比赛开始 24 分时,两人第一次相遇. (2)设 yOD=mx,把(4,6)代入,得 m= 当 X=48 时,yOD=

1 , 4

1 ×48=12(千米) 4

∴这次比赛全程是 12 千米. (3)当 33≤x≤43 时,设 yBC=k2x+b2,把(33,7)和(43,12)代入, 解得 k2=

1 19 1 19 ,b2=- .∴yBC= x- . 2 2 2 2

? ?y ? ? 解方程组得 ? ?y ? ? ?

1 19 x ? , ? x ? 38, ? 2 2 得? 19 1 ?y ? 2 . x. ? 4

∴x=38. ∴当比赛开始 38 分时,两人第二次相遇. 例 10 如图 11-31 所示, 已知直线 y=x+3 的图象与 x 轴、 轴交于 A, y B 两点,直线 l 经过原点,与线段 AB 交于点 C,把△AOB 的面积分为 2:1 的两部分,求直线 l 的解析式. [分析] 设直线 l 的解析式为 y=kx(k≠0), 因为 l 分△AOB 面积比为 2:1,故分两种情况: ①S△AOC:S△BOC=2:1;②S△AOC:S△BOC=1:2.求出 C 点坐标,就可以求出直线 l 的解析式. 解:∵直线 y=x+3 的图象与 x,y 轴交于 A, B 两点. ∴A 点坐标为(-3,0),B 点坐标为(0,3). ∴|OA|=3,|OB|=3. ∴S△AOB=

1 1 9 |OA|·|OB|= ×3×3= . 2 2 2

设直线 l 的解析式为 y=kx(k≠0). ∵直线 l 把△AOB 的面积分为 2:1,直线 l 与线段 AB 交于点 C ∴分两种情况来讨论: ①当 S△AOC:S△BOC=2:1 时,设 C 点坐标为(x1,y1). 又∵S△AOB=S△AOC+S△BOC= ∴S△AOB=

9 , 2

9 2 ? =3. 2 3 1 1 即 S△AOC= ·|OA|·|y1|= ×3×|y1|=3. 2 2
∴y1=±2,由图示可知取 y1=2. 又∵点 C 在直线 AB 上, ∴2=x1+3,∴x1=-1. ∴C 点坐标为(-1,2) . 把 C 点坐标(-1,2)代人 y=kx 中,得 2=-1·k,∴k=-2. ∴直线 l 的解析式为 y=-2x. ②当 S△AOC:S△BOC=1:2 时,设 C 点坐标为(x2,y2).

又∵S△AOC=S△AOC+S△BOC= ∴S△AOB=

9 , 2

9 1 3 ? ? , 2 3 2 1 1 3 即 S△AOC= ·|OA|·|y2|= ·3·|y2|= . 2 2 2
∴y2=±1,由图示可知取 y2=1. 又∵点 C 在直线 AB 上, ∴1=x2+3,∴x2=-2. 把 C 点坐标(-2,1)代入 y=kx 中,得 1=-2k,∴k=-y2. ∴直线 l 的解析式为 y=-

1 x. 2 1 x. 2

∴直线 l 的解析式为 y=-2x 或 y=-


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