当前位置:首页 >> 数学 >>

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 老师


2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、知识要点: 1.平面的基本性质: 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

公理 2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。

2.空间中直线与直线之间的位置关系:

空间两条直线的位置关系有且只有三种:

1

如图:AB 与 BC 相交于 B 点,AB 与 A′B′平行,AB 与 B′C′异面。

公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

3.空间中直线与平面之间的位置关系: (1)直线在平面内??有无数个公共点; (2)直线与平面相交??有且只有一个公共点; (3)直线与平面平行??没有公共点。 其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

注意,我们不提倡如下画法.

2

4.平面与平面之间的位置关系: (1)两个平面平行??没有公共点; (2)两个平面相交??有一条公共直线。

二、例题讲解: 例 1、根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系.

图 1 可以用几何符号表示为:___________________________________________. 图 2 可以用几何符号表示为:___________________________________________. 分析:本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与 平面、直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出. 解:图 1 可以用几何符号表示为: 即:平面 与平面 相交于直线 AB,直线 a 在平面 内,直线 b 在平面 内,直线 a

平行于直线 AB,直线 b 平行于直线 AB. 图 2 可以用几何符号表示为: , △ ABC 的 三 个 顶 点 满 足 条 件

3

即:平面

与平面

相交于直线 MN,△ABC 的顶点 A 在直线 MN 上,点 B 在 内但不在直线 MN 上.

内但不在

直线 MN 上,点 C 在平面

例 2、观察下面的三个图形,说出它们有何异同.

分析:图 1 既可能是平面图形,也可能是一个空间图形的直观图;图 2、图 3 均用了一 条直线衬托,它们都是空间图形的直观图. 解:图 1 可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图;图 2 是 MN 凸在外面的一个空 间图形的直观图;图 3 是 MN 凹在里面的一个空间图形的直观图. 点评:(1)本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的 画法. 而这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、 对空间图形的分析和对立体几何的 学习.

例 3、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)DD1 和 A1B1 的位置关系如何? D1B 和 AC 的位置关系如何? A1C 和 D1B 的位置关系如何? (2)和 AD 成异面直线的棱所在直线有几条? (3)和 BD1 成异面直线的棱所在直线有几条? (4)六个面的正方形对角线共 12 条,这些对角线所在直线中,异面直线共有多少对?

4

解析: 我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种, 判断的依据是看两条直线是共 面还是异面及是否有公共点。 (1)异面直线;异面直线;相交直线; (2)4 条.分别是 A1B1、B1B、C1D1、C1C; (3)6 条.分别是 AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD; (4)30 对。 例 4、已知:如图,立体图形 A—BCD 的四个面分别是△ABC、△ACD、△ABD 和△BCD , E、F、G 分别为线段 AB、AC、AD 上的点,EF∥BC,FG∥CD. 求证:△EFG∽△BCD.

证明:∵在平面 ABC 中,EF∥BC ,∴





又在平面 ACD 中,FG∥CD, ∴

=





=



∴ EG∥BD. ∴ ∠EFG =∠BCD. 同理∠FGE =∠CDB, ∴ △EFG∽△BCD. 与本例类似变形还有: 已知: 将一张长方形的纸片 ABCD 对折一次, EF 为折痕再打开竖直在桌面上, 如图所示, 连结 AD、BC. 求证:AD BC,∠ADE=∠BCF.

5

三、练习:

1.下列图形中,满足 ( ).

的图形是

(A)

(B)

(C)

(D)

2.已知 A、B 表示点,b 表示直线, 是( ).



表示平面,下列命题和表示方法都正确的

(A) (C)

(B) ( D)

3.用符号表示“若 A、B 是平面 即是________________.

内的两点,C 是直线 AB 上的点,则 C 必在

内”,

6

4.“a,b 为异面直线”是指: (1) (2) (3) (4) (5)不存在平面 且 a 不平行于 b; 且 且 ; ,使 且 ). (B)(1)(3)(4) (D)(1)(5) ). 成立. ; ;

上述结论中,正确的是( (A)(1)(4)(5) (C)(2)(4)

5.一条直线和两条异面直线的一条平行,则它和另一条的位置关系是( (A)平行或异面 (B)异面 (C)相交 (D)相交或异面

6.如图,空间四边形 ABCD 中,M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心,若 BD=m,则 MN = __________.

7.如图,是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么 AF、BC、DE 这三条线 段所在直线是异面直线的是__________,它们所成的角为________度。

7

四、练习答案: 1. 提示: 根据平面的无限延展性及平面画法来判断. 答案:(C). 2. 提示:根据点与平面应用“ ”“ ”连接排除 A;根据公理两个平面相交为一条 直线,排除 B;再跟据图形可排除 D,因为 A 有可能在平面上. 答案:(C). 3. 提示: 熟悉点与线,点与平面的关系,正确使用“ ”、“ 答案: . ”等符号.

4. 提示:根据异面直线定义“不同在任何一个平面内,没有公共点的两条直线叫异面 直线”,结合图形可排除(2)、(3)、(4).(∵(2)中可能有 a∥b,(3)中可能有 a∥b,(4)可能有 a 与 b 相交或平行.)(5)是正确的,再由直线位置关系可得(1)也 是正确的. 答案:(D). 5. 提示:由公理可排除(A),再结合图形可利用平移方法验证.

答案:(D). 6. 提示:重心是三条中线的交点,并分每条中线的比为 2∶3.连结 AM 并延长交 BC 于 E,连结 AN 并延长交 CD 于 F,再连结 MN、EF,根据三角形重心性质得 BE =EC,CF=FD.

∴ MN

EF,EF

BD.

∴ MN

BD ∴ MN =

m.

答案:

m.
8

7.解析:展开图还原成正方体如图所示(C 点与 D 点重合),成异面直线的是 AF 与 BC (或 BD),AF 与 BC 所成角即为 CE 与 BC 所成角,为 60 度。

9


相关文章:
2.1.1空间中点、直线、平面之间的位置关系教案
2.1.1空间中点、直线平面之间的位置关系教案_数学_高中教育_教育专区。2.1...(3)点与平面的关系 平面内有无 数个点,平面可看成 点的集合. 点 A 在...
2.1《空间点、直线、平面之间的位置关系》练习题
2.1空间点直线平面之间的位置关系》练习题_数学_高中教育_教育专区。出题:郝 审核:郝 2.1 空间点直线平面之间的位置关系练习题 一、 选择题: 1....
空间点、直线、平面之间的位置关系随堂练习(含答案)
空间点直线平面之间的位置关系随堂练习(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育...1 D. 3 ) B. 异面 D. 平行、异面或相交 B. 2 D. 4 ) 4. [2013...
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点直线平面之间的位置关系_数学_高中教育_教育专区。2016立体几何,高一新课系列教案 第二章 点、直线平面之间的位置关系 2.1 空间点直线、平面...
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 教学设计 教案
教学目标 1、知识与技能 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等...
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系教材解读
2.1空间点直线平面之间的位置关系教材解读_数学_高中教育_教育专区。空间点直线平面之间的位置关系教材解读●教材解读 2.1 空间点直线、平面之间的位置...
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系(复习卷)
2.1空间点直线平面之间的位置关系(复习卷)_数学_高中教育_教育专区。………○………外………○………装………○………订………○………线………○…...
空间点、直线、平面之间的位置关系 教案
个性化学案 空间点直线平面之间的位置关系适用学科 适用区域 知识点数学 人教版 适用年级 高二 课时时长 (分钟) 60 1、空间中直线直线之间的位置关系 2、...
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
新课标高中数学-必修二导学案§2.1 空间点直线平面之间的位置关系 1.四个公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 作用...
更多相关标签:
直线与平面的位置关系 | 空间直线与平面的交点 | 直线和平面的位置关系 | 直线与平面位置关系 | 空间直线与平面的夹角 | 点直线平面的位置关系 | 空间直线与平面 | 直线与平面的相对位置 |