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2011年高考一轮课时训练(理)2.2直接证明与间接证明 (通用版)


第二节
题号 答案 一、选择题

直接证明与间接证明
1 2 3 4 5

1-x 1.(2009 年柳州阶段测试)已知函数 f(x)=lg ,若 f?a?=b ,则 f(-a)=( 1+x A.b B.-b C. 1 b


)

1 D.- b 则不等式 f(x)>2 的解集为( )

x 1 ? x<2, ?2e , 2.(2009 年惠州一中模拟)设 f(x)= ? 2 ?log3?x -1?,x≥2, ?

A.(1,2)∪(3,+∞) C.(1,2)∪ ( 10 ,+∞)

B.( 10,+∞) D.(1,2) )

a?2x+1?-2 3.已知 f(x)= 是奇函数,那么实数 a 的值等于( 2x+1 A.1 B.-1 C.0 D.± 1

4.(2009 年扬州期中) 在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则 Sn=( )


A.2n 1-2 C.2n

B.3n D.3n-1

5.已知直线 l、m,平面 α、β,且 l⊥m,m∈β,给出下列四个命题: ①若 α∥β,则 l⊥m;②若 l⊥m,则 a∥β; ③若 α⊥β,则 l⊥m;④若 l∥m,则 α⊥β. 其中正确命题的个数是( A.1 个 二、填空题 6.(2009 年南宁模拟)函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1 1 2 =0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________. m n 7.定义 a*b 是向量 a 和 b 的“向量积”,它的长度|a*b|=|a|· |b|· sin θ,其中 θ 为向量 a 和 b 的夹角, 若 u=(2,0),u-v=(1,- 3),则|u*(u+v)|=________. 8.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式: 22=1+3 23=3+5 32=1+3+5 33=7+9+11 42=1+3+5+7 43=13+15+17+19 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

根据上述分解规律,则 52=__________________; 若 m3(m∈N*)的分解中最小的数是 21,则 m 的值为________.

三、解答题 9.用反证法证明:如果 a>b>0,那么 a> b.

10.(2009 年温州模拟)在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*. (1)证明数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)证明不等式 Sn+1≤4Sn,对任意 n∈N*皆成立. 参考答案 1.B 2.解析:令 2ex 1>2(x<2),解得 1<x<2.令 log3(x2-1)>2,(x≥2),解得 x∈( 10,+∞),故选 C.


答案:C 3.A 4.解析:因数列{an}为等比数列,则 an=2qn 1,因数列{an+1}也是等比数列,则(an+1+1)2=(an+


1)(an+2+1) ?a2 n+1+2an+1=anan+2+an+an+2 ?an+an+2=2an+1 ?an(1+q2-2q)=0?q=1, 即 an=2,所以 Sn=2n,故选 C. 答案:C 5.B

6.解析:函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A(-2,-1),则(-2)· m+(-1)· n+1=0, 2m+n=1,m,n>0, 1 2? 1 2 + · 即 + =? m n? (2m+n) ? m n n 4m =4+ + ≥4+2 m n 答案:8 7.2 3 8.1+3+5+7+9 5 n 4m · =8. m n

9.证明:(1)假设 a不大于 b,则或者 a< b,或者 a= b. ∵a>0,b>0,∴ a< b? a· a< b· a, a· b< b· b?a< ab, ab<b?a<b; a= b?a=b.这些 都同已知条件 a>b>0 矛盾,即 a> b. 10.解析:(1)证明:由题设 an+1=4an-3n+1,得 an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N+. 又 a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为 1,且公比为 4 的等比数列. (2)由(1)可知 an-n=4n 1,于是数列{an}的通项公式为


an=4n 1+n.


4n-1 n?n+1? 所以数列{an}的前 n 项和 Sn= + . 3 2 (3)证明:对任意的 n∈N+, Sn+1-4Sn = 4n 1-1 ?n+1??n+2? ?4n-1 n?n+1?? + -4 3 2 ? 3 + 2 ?


1 =- (3n2+n-4)≤0. 2 所以不等式 Sn+1≤4Sn,对任意 n∈N+皆成立.


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