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高中数学必修1(R-B版)模块过关测试卷


必修 1 模块过关测试卷 (120 分,150 分钟) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. 〈2014,安阳一中月考〉 下列函数中,既是单调函数,又是奇函数 的是( A. y ? x 5 C. y ? log3 x ) B. y ? 3 x D. y ? x ?2
x

2.〈2014,青州一中月考〉已知集合 M={x|4x-3≥0},N={y|y= e },则 M,N 的关系是( A.N C.M=N M ) B.M N

D.以上都不正确

?log 1 x( x ? 0), ? 3 3.设 f ?x ? ? ? ,则 f(f(27))的值是( ? 1 x ? ?? ? ? ( x ? 0), ? ?? 2 ?



A.9

B.

1 8

C.8
x 1

D.

1 9

1? 4.〈2014,丹东二中月考〉已知函数 f ?x ? ? ? ? ? ? x 4 ,那么函数 f(x)的零 ?5?

点所在的区间是(
1? A. ? ? 0, ? ? 5?


?5 4? 1 2? C. ? ? , ? ?4 5? ? D. ? ? ,1? 2 ?5 ?

1 1? B. ? ? , ?

5. 〈2013,三门峡实验中学期中〉 函数 f ?x? ? x 7 ? 3x ? 6 , 若 f(a)=5,则 f ?? a ? 的值为( A.7 ) B.8 C.-5 D.-7

6.已知全集 U={x∈ Z|0<x<8},M={3,5},N={x| x 2 ? 8x +12=0},则集合 {1,4,7}为( A.M∪(?UN) ) B. ?U (M∩N) C. ?U (M∪N) D. (?U M)∩N

7.〈2014,威海一中检测〉已知 A=B=R,x∈ A,y∈ B, f : x ? y ? ax ? b 是从 A 到 B 的映射,若 B 中元素-1 和 5 在 A 中的原象分别为 1 和 3,则 A 中元素-6 在 f 下对应的 B 中的象为( A.11 B.22 C.-13
0 .2 1

) D. -22 )

?1? 8. 〈2014,抚顺二中高一月考〉 设 a ? log 1 6, b ? ? ? , c ? 3 5 , 则 ( 5 ? ? 4

A.a<b<c C.c<a<b

B.c<b<a D.b<a<c

9.〈2014,昌乐二中月考〉某人在甲、乙乡镇开了两家某品牌电动车销 售连锁店,其月利润(单位:元)分别为 L1=-5x2+900x-16 000, L2=300x2-2 000 (其中 x 为销售辆数) , 若某月两连锁店共销售了 110 辆电动车,则能获得的最大利润为( A.11 000 元 B.22 000 元 ) D.40 000 元

C.33 000 元

10. 〈2014,青岛二中模拟〉 已知函数 f(x)是偶函数, 且当 x<0 时, f(x)=ln(1 -x),则函数 f(x)的大致图象为图 1 中的( )

A

B

C 图1

D

11.〈2014,东北育才中学检测〉已知函数 f ?x? ? b ? loga x (a>0 且 a≠1) 的图象过点(27,-1),其反函数的图象过点(1,3),则 f(x)在[9,81]上的 最大值为( A.-1 ) B.0 C.1 D.3

12.〈2013,新乡卫辉一中月考〉在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐 标均为整数的点称为整点,如果函数 f(x)的图象恰好通过 n(n∈ N+)个 整点,则称函数 f(x)为 n 阶整点函数.有下列函数:
1 1? ① f(x)= x ? (x>0);②g(x)= x 3 ;③ h(x)= ? ? ? ;④? (x)=lnx, x ? 3?
x

其中是一阶整点函数的是( A.① ② ③ ④ C.④

) B.① ③ ④ D.① ④

二、填空题(每题 5 分, ,共 20 分) 13. 已 知 函 数 f ?2 x ? 的 定 义 域 为 [ 0,1 ] , 则 f(x) 的 定 义 域 为 __________, f ?log2 x? 的定义域为___________. 14.计算:lg5· lg8+lg1000+ lg 2

?

3

+lg0.06=________________. ? +lg 1 6
2

1? 15.〈2014,湖南师大附中月考〉具有性质 f ? ? ? ? ? f ?x ?的函数,我们称 ? x?

为满足“倒负”变换的函数,下列函数:
? ? x(0 ? x ? 1), ? 1 1 ① y ? x ? ,② y ? x ? ,③ y ? ?0( x ? 1), 中 , 满足 “ 倒负 ” 变换的函数有 x x ? 1 ?? ( x ? 1) ? x

___________(把你认为正确的序号都填上). 16. 〈2013,上海〉 对区间 I 上有定义的函数 g(x), 记 g(I)={y|y=g(x),x∈ I}, 已知定义域为 [0,3] 的函数 y=f(x)有反函数 y ? f ?1 ?x ? , 且 f ?1 ( [0,1))= [1,2), f ?1 ((2,4] )= [0,1), 若方程 f(x)-x=0 有解 x0 , 则 x0 =__________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本题满分 10 分) 〈2013,平顶山市一中期中〉已知 A={2,5, x 2 - 6x+11},B={3, x 2 ? ax ? a ? 3 },C={4, x 2 ? ?a ? 1?x ? 3 }(a∈ R). 求: (1)使 5∈ B,B A 的 a、x 的值;

(2)使 B=C 的 a、x 的值.

18. (本题满分 12 分) 〈2013,日照一中月考〉 已知函数 f ?x ? ? log 1 ?3 ? x ?
4

1? 的定义域为 A,函数 g ?x ? ? ? ? ? (x≥-2)的值域为 B. ? 3?

x

(1)求(?RA)∩B;

(2)若 C={x|a≤x≤2a-2},且 A∩C=C,求实数 a 的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 已知函数 y=f(x)的定义域为 R, 且对任意 a,b∈ R, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b),且当 x>0 时,f(x)<0 恒成立. 证明: (1)函数 y=f(x)是 R 上的减函数;

(2)函数 y=f(x)是奇函数.

20.(本题满分 12 分)〈2014,漯河三中检测〉已知二次函数 y=f(x)在 y 轴上的截距为 3,且满足 f(x+2)-f(x)=4x+2. (1)求 f(x)的单调递增区间;

(2)在区间[-2,2]上,y=f(x)的图象恒在直线 y=-3x+m 上方,试 确定实数 m 的取值范围.

21.(本题满分 12 分) 〈2014,大连育明高中月考〉为了检验某种溶剂 的挥发性,在容积为 1 升的容器中注入溶液,然后在挥发的过程中测 量剩余溶液的体积.已知溶剂注入过程中, 其体积 y (升) 与时间 t (分
1 ? 30 钟) 成正比, 且恰在 2 分钟注满; 注入完成后, y 与 t 的关系为 y ? ? ? ? ?5?
t ?a

(a 为常数) ,图象如图 2. (1)求体积 y 与时间 t 之间的函数关系式;

图2

(2)当容器中的溶液不大于 8 毫升时,试验结束,则从注入溶液开 始,至少需要经过多少分钟,才能结束试验?

22. (本题满分 12 分) 〈2014,平顶山实验中学高一期末〉 已知 f ?x? ? 3 x , 并且 f(a+2)=18, g ?x? ? 3ax ? 4 x 的定义域为区间[-1,1]. (1)求函数 g(x)的表达式;

(2)判断 g(x)的单调性;

(3)若方程 g(x)=m 有实数解,求 m 的取值范围.

参考答案及点拨 一、1. A 点拨:由奇、偶函数的判断步骤(1)定义域关于原点对

称, (2)满足 f(x)=f(-x)的是偶函数,满足 f(x)=-f(-x)的是奇函数. 得到 B、C 不具有奇偶性,D 是偶函数,故选 A. 2. B 点拨:∵ M={x|4x-3≥0}= ? x x ? ? ,N={y|y= e }={y|y>0}.∴ M
? ? 3? 4?
x

N,故选 B. 3. C 4. B
1? 点拨:∵ f(27)=log 1 27=-3,∴ f(f(27))=f(-3)= ? ? ? =8,故选 C. ?2? 3
?3

点 拨 : ∵ f(0)=
1 1

1 ?1? ? 4 0 ? ? ?5?
1 1

0

=1>0 , f(1)=

1 - 1<0 , 5

? 1 ? ? 1 ?4 ? 1 ?4 f ? ? ? ? ? ? ? ? <0, ? 4? ?5? ? 4?

? 1 ? ? 1 ?5 ? 1 ?4 ?1? ?1? f ? ? ? ? ? ? ? ? >0,∴ f ? ? ? f ? ? <0,故选 B. ?5? ?5? ?5? ? 4? ?5?

5. A

点拨:令 g(x)=

x

7

+3x, 则 g(x) 为奇函数,且 f(x)=g(x)+6 ,

∵ f(a)=5,∴ g(a)=-1,∴ f(-a)=g(-a)+6=-g(a)+6=1+6=7,故选 A. 6. C 点 拨 : 易 知 U={1,2,3,4,5,6,7} , N={2,6} ,

∵ M={3,5},∴ M∪ N={2,3,5,6},∴ ?U (M∪ N)={1,4,7}.故选 C. 7. D 解得 ? 点拨:由题意得 ?
?a ? b ? ?1, ?3a ? b ? 5,

?a ? 3, ∴ f:x→y=3x-4,∴ -6 在 B 中的象为 3× (-6)-4=-22, ?b ? 4.

故选 D. 8. A 故选 A.
1 1? 0 点拨:∵ a= log 1 6 ? log 11 =0,0<b= ? a<b<c, ? ? <1, c= 3 5 > 3 =1,∴

0.2

4

4

?5?

9. C

点拨: 设在甲乡镇的连锁店销售了 x 辆, 则在乙乡镇的连锁店
2

销售了(110-x)辆,故利润 L=-5 x +900x-16 000+300(110-x)-2 000=-5 x +600x+15 000=-5 ? x ? 60 ? +33 000,∴ 当 x=60 时,有最大
2
2

利润 33 000 元,故选 C. 10. B 11. B 点拨:∵ f(x)的反函数的图象过点(1,3),∴ f(x)的图象过点(3,1),

?b ? 2, ? f (27) ? ?1, ?b ? log a 27 ? ?1, 由? 得? 解得 ? 1 ? a? , ?b ? log a3 ? 1, ? f (3) ? 1, ? 3 ?

故 f(x)=2+ log 1 x ,∴ f(x) 是单调递减函数,∴在[ 9,81 ]上的最大值为
3

f(9)=2+ log 1 9 =0,故选 B.
3

12. D

点拨:f(x)=x+ (x>0)的图象只过整点(1,2),是一阶整点
x

1 x

1? 函数,h(x)= ? ? ? 的图象过整点(0,1),(-1,3),(-2,9)等,不是一阶整点 3 ? ?

函数,故选 D. 二、13.[1,2];[2,4] 14. 1 点拨: 原式=lg5· 3lg2+3+ ? 3 lg 2? +lg0.01=3lg2· lg5+3+3 ? lg 2 ? -
2

2

2=3lg2(lg5+lg2)+3-2=3-2=1. 15. ① ③ 立. 16. 2 点拨:根据反函数定义知,当 x∈ [0,1)时,f(x)∈ (2,4] ;当 x∈
1? 点拨:逐一验证 f ? ③ 成立,② 不成 ? ? +f(x)=0 是否成立,可知① ? x?

[1,2)时,f(x)∈ [0,1),而 y=f(x)的定义域为[0,3] ,故当 x∈ [2,3] 时,f(x)的取值应在集合(-∞,0)∪ [1,2]∪ (4,+∞),故若 f ?x0? ? x0 ,只

有 x0 =2. 三、17. 解: (1)∵ 5∈ B,B
? x ? 2, ? x ? 4, ? ? 解得 ? 2 或? 14 a ? ? , ?a ? ? . ? 3 ? 5 ?
?5 ? x 2 ? ax ? a ? 3, A,∴? 2 ?3 ? x ? 6 x ? 11,

(2)∵ B=C,∴? ? 解得 ?

? x 2 ? ? a ? 1? x ? 3 ? 3,
2 ? ? x ? ax ? a ? 3 ? 4,

? x ? ?1, ? x ? 3, 或? ?a ? ?6, ?a ? ?2.

当 x=3 时,集合 A={2,5,2},不符合集合中元素的互异性,舍去. ∴ x=-1,a=-6. 18. 解: (1)要使函数 f(x)= 0,且 3-x>0, ∴ 0<3-x≤1,即 2≤x<3,∴ A={x|2≤x<3}.
?1? ∵ 函数 g(x)= ? ? ?3?
x

log 1 ? 3 ? x ? 有意义,必须满足 log 1 (3 ? x) ≥
4
4

(x≥-2)的值域为 B,

∴ B={x|0<x≤9}. ∴ (?RA)∩B={x|0<x<2 或 3≤x≤9}. (2)∵ A∩C=C,∴ C ? A. 当 2a-2<a,即 a<2 时,C= ?,满足题意; 当 2a-2≥a,即 a≥2 时,要使 C ? A,必须满足 ? 即 2≤a <
5 . 2

?a ? 2, ?2a ? 2 ? 3,

综上,a 的取值范围是 ?a a ? ? .
?

?

5? 2?

19.证明: (1)任取 x1, x2∈ R,且 x1> x2, 则 x1-x2>0, 由 f(a+b)=f(a)+f(b), 知 f( x1 )=f( x1 - x 2 + x2 )=f( x1 - x2 )+f( x2 )<f( x2 ). ∴ 函数 y=f(x)是 R 上的减函数; (2)由 f(a+b)=f(a)+f(b)知 f(x-x)=f(x)+f(-x), 即 f(x)+f(-x)=f(0).由 f(0+0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0,∴ f(-x)=-f(x), 即函数 y=f(x)是奇函数. 20. 解: (1)设 f(x)= a x2 +bx+3(a≠0),则 f(x+2)= a (x+2)2+b(x+2)+3, ∴ f(x+2)-f(x)=4ax +4a +2b=4x +2. ∴?
?4a ? 4, ?a ? 1, 解得 ? ?4a ? 2b ? 2, ?b ? ?1,

∴ f ( x) ? x 2 ? x ? 3,
? ∴ f(x)的单调递增区间为 ? ? ,?? ? . 1 ?2 ?

(2)由题意得, x 2 -x+3>-3x+ m, 即 x 2 +2x+3> m 对 x∈ [-2,2] 恒成立. 设 g(x)= x 2 +2x+3= ? x ? 1? +2(x∈ [-2,2] ),
2

∴g ( x)min =2,∴ m <2. ∴ 实数 m 的取值范围是(-∞,2). 21. 解: (1)当 0≤t≤2 时,设 y 与 t 之间的函数关系为 y=kt,将(2,1) 代入得 k= ,∴ y= t ;
? 1 ? 30 ? 1 ? 30 1 当 t>2 时, 函数关系式为 y= ? ? , 将 (2, 1) 代入得 a= , ∴ y= ? ? 15 ?5? ?5?
t ?a
t ? 1 15

1 2

1 2

.

?1 t 0 ? t ? 2) , ? 2( ? t 1 综上 y 与 t 之间的函数关系式是 y ? ? ? 30 15 1 ? ? ? (t ? 2). ? ?? ?? 5 ?
1 1 t? ? 30 15 1 1 ? ? ?? ? ? , (2)由题意可得 ?? 5 ? 125 ? ?t ? 2,

∴ t≥2,∴ 至少需要经过 92 分钟,才能结束试验. 22. 解: (1)∵ f(a+2)=18,f(x)= 3x ,∴3a ? 2 =18 ? 3a ? 2, ∴ g (x)= ? 3a ? ? 4 x ? 2 x ? 4 x , x∈ [-1,1].
x

(2)g(x)=-

? ?

2 1? 1 ? x 2 x ? 2 ? ?? 2 x ? ? ? . 2? 4 ?

2

1 ? ? 1? 1 当 x∈ [-1,1] 时,2 ? ? 令 t= 2 x , 则 g(t)= ?t 2 ? t ? ?? t ? ? ? . , 2? , ? ?2 ? ? 2? 4
x

2

? ? ? 当t ?? ? 2 ,2? 时,函数 g(t)= ?? t ? 2 ? ? 4 是减函数. ? ? ? ? 1

1

2

1

又 t= 2 x 在[-1,1]上是增函数,∴ g(x)在[-1,1]上是减函数. (3)∵ 方程 g(x)=m 有实数解,∴ m= 2 x ? 4 x 在[-1,1] 内有实数解, 又由(2)知 g(x)= 2 x ? 4 x 在[-1,1]上是减函数, ∴ -2≤m≤ . 故 m 的取值范围是[-2,
1 ]. 4 1 4

点拨:本题(1)的求解运用了方程思想, (2)运用了复合函数的单 调性法则; (3)将方程有解问题转化为求函数值域问题.



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