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2011年高考一轮课时训练(理)2.3数学归纳法 (通用版)


第三节 数学归纳法
一、选择题 1.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”,从“k 到 k+1”左端需增乘的代 数式为( ) B.2(2k+1) 2k+3 D. k+1

A.2k+1 2k+1 C. k+1

解析:当 n=1 时,式子显然成立. 当 n=k(k∈N*,且 k≥1

)时, 左边=(k+1)(k+2)·…·(k+k), 当 n=k+1 时, 左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)·…·(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1) (2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)·…·(k+k) k+1 =(k+1)(k+2)·…·(k+k)2(2k+1). 答案:B 2.记凸 k 边形的内角和为 f(k),则 f(k+1)-f(k)= ( π A. 2 3 C. π 2 答案:B 3.如果命题 P(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+1 也成立,现已知 P(n)对 n=4 不成立,则下列结论正 确的是( ) B.π D.2π )

A.P(n)对 n∈N*成立 B.P(n)对 n>4 且 n∈N*成立 C.P(n)对 n<4 且 n∈N*成立 D.P(n)对 n≤4 且 n∈N*不成立 解析:由题意可知,P(n)对 n=3 不成立(否则 n=4 也成立),同理可推得 P(n)对 n=2,n=1 也不成立. 答案:D 1 1 1 4.用数学归纳法证明“1+ + +…+ n <n(n∈N*, n>1 )”时,由 n=k(k>1)不等式成立,推 2 3 2 -1 证 n=k+1 时,左边应增加的项数是( A.2k
-1

)

B.2k-1

C.2k

D.2k+1

1 解析:左边的特点:分母逐渐增加 1,末项为 n ; 2 -1 1 由 n=k,末项为 k ,而 n=k+1, 2 -1 末项为 1 1 = ,故应增加的项数为 2k. + 2k 1-1 2k-1+2k

答案:C 5.若把正整数按下图所示的规律排序,则从 2002 到 2004 的箭头方向依次为( )

答案:D 二、填空题 6. 用数学归纳法证明-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)nn,当 n=1 时,左边应为________. 答案:-1 1 3an ,则 a2,a3,a4,a5 的值分别为________,由此猜想 an=________. 7. 已知 a1= ,an+1= 2 an+3 1 3× 2 3 3a1 3 解析:a2= = = = ,同理 7 2+5 a1+3 1 +3 2 3a2 3 3 3 3 3 3 a 3= = = ,a = = ,a = = , a2+3 8 3+5 4 9 4+5 5 10 5+5 3 猜想 an= . n+5 3 3 3 3 答案: 、 、 、 7 8 9 10 3 n+5

8.(2009 年广东执信中学月考)观察下列式子: 1 3 1 1 5 1 1 1 7 1+ 2< ,1+ 2+ 2< ,1+ 2+ 2+ 2< ,…,则可归纳出____________________. 2 2 2 3 3 2 3 4 4 2×1+1 1 3 1 解析:1+ 2< ,即 1+ , 2< 2 2 (1+1) 1+1 2×2+1 1 1 5 1 1 1+ 2+ 2< ,即 1+ + < , 2 3 3 (1+1)2 (2+1)2 2+1 2n+1 1 1 1 归纳为:1+ 2+ 2+…+ < (n∈N+). 2 3 (n+1)2 n+1 2n+1 1 1 1 (n∈N+) 答案:1+ 2+ 2+…+ 2< 2 3 (n+1) n+1

三、解答题 9.已知 y=f(x)满足 f(n-1)=f(n)-lg an 1(n≥2,n∈N)且 f(1)=-lg a,是否存在实数 α,β,使 f(n)= (αn2+βn-1)·lg a 对任何 n∈N*都成立,证明你的结论. 解析:∵f(n)=f(n-1)+lg an 1, 令 n=2,则 f(2)=f(1)+lg a=-lg a+lg a=0. 又 f(1)=-lg a,
? ?α+β=0 ∴? ? ?4α+2β=1
- -

?α=2 ,∴? 1 ?β=-2

1

.

1 2 1 ∴f(n)=?2n -2n-1?lg a. ? ? 现证明如下:(1)当 n=1 时,显然成立. (2)假设 n=k(k∈N*,且 k≥1)时成立, 1 2 1 即 f(k)=?2k -2k-1?lg a, ? ? 则 n=k+1 时, f(k+1)=f(k)+lg ak=f(k)+klg a 1 2 1 =?2k -2k-1+k?lg a ? ? 1 1 2 =?2(k+1) -2(k+1)-1?lg a. ? ? 则当 n=k+1 时,等式成立. 1 1 综合(1)(2)可知,存在实数 α、β 且 α= ,β=- ,使 2 2 f(n)=(αn2+βn-1)lg a 对任意 n∈N+都成立. ax3 1 10.(2009 年南昌月考)设曲线 y= + bx2+cx 在点 A(x,y) 处的切线斜率为 k(x),且 k(-1)=0.对一 3 2 1 切实数 x,不等式 x≤k(x)≤ (x2+1)恒成立(a≠0). 2 (1) 求 k(1)的值; (2) 求函数 k(x)的表达式; 1 1 1 2n + +…+ > . (3) 求证: k(1) k(2) k(n) n+2 1 解析:(1)由 x≤k(x)≤ (x2+1)得 1≤k(1)≤1, 2 所以 k(1)=1. (2)k(x)=y′=ax2+bx+c(a≠0),由 k(1)=1,k(-1)=0 得

? ?a+b+c=1 ? ? ?a-b+c=0

1 1 ?a+c= ,b= . 2 2

1 又 x≤k(x)≤ (x2+1)恒成立,则由 2 1 ax2- x+c≥0(a≠0)恒成立得 2

? 1 ??= -4ac≤0 ? 4 ?a+c=1 ? 2
1 a=c= . 4

a>0

1 ?a=c= , 4

1 1 1 同理由( -a)x2+ x+ -c≥0 恒成立,也可得: 2 2 2

1 1 1 1 1 综上 a=c= ,b= ,所以 k(x)= x2+ x+ . 4 2 4 2 4 (3)证明:法一(分析法): n2+2n+1 (n+1)2 1 4 k(n)= = ? = . 4 4 k(n) (n+1)2 1 1 1 n 要证原不等式成立,即证 2+ 2+…+ . 2> 2 3 (n+1) 2n+4 1 1 1 1 因为 > = - , (n+1)2 (n+1)(n+2) n+1 n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n - = - = , 所以 2+ 2+…+ 2> - + - +…+ 2 3 3 4 2 n+2 2n+4 2 3 (n+1) n+1 n+2 1 1 1 2n 所以 + +…+ > . k(1) k(2) k(n) n+2 法二:(数学归纳法) n2+2n+1 (n+1)2 由 k(n)= = 4 4 ? 1 4 = . k(n) (n+1)2

2 ①当 n=1 时,左边=1,右边= ,左边>右边,所以 n=1,不等式成立. 3 ②假设当 n=m(m∈N*,且 m≥1)时,不等式成立,即 1 1 1 2m + +… > . k(1) k(2) k(m) m+2 2m2+4m+4 1 1 1 2m 4 1 + +…+ + > + = 当 n=m+1 时,左边= (m+2)2 k(m) k(m+1) m+2 (m+2)2 k(1) k(2)



2m2+4m+4 2(m+1) 4 - = >0 m+3 (m+2)2(m+3) (m+2)2

2(m+1) 1 1 1 1 所以 + +…+ + > k(1) k(2) k(m) k(m+1) (m+1)+3 即当 n=m+1 时,不等式也成立. 综上得 1 1 1 2n + +…+ > . k(1) k(2) k(n) n+2


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