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衔接3、一元二次方程根与系数的关系(教)


新高一暑假课程-教案 第三讲 一元二次方程根与系数的关系
本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述. 一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) : (1) 当 b2 ? 4ac ? 0 时,方程有两个不相等的实数根: x ?

?b ? b 2 ? 4ac 2a
b 2a

(2) 当 b2 ? 4ac ? 0 时,方程有两个相等的实数根: x1,2 ? ? (3) 当 b2 ? 4ac ? 0 时,方程没有实数根. 【例 1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数: (1) 2 x2 ? 3x ? 1 ? 0
2

(2) 4 y ? 9 ? 12 y
2

(3) 5( x ? 3) ? 6 x ? 0
2

解:(1) ? ? ? (?3) ? 4 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 ,∴ 原方程有两个不相等的实数根. (2) 原方程可化为: 4 y ? 12 y ? 9 ? 0 ? ? ? (?12) ? 4 ? 4 ? 9 ? 0
2 2

(3) 原方程可化为: 5 x 2 ? 6 x ? 15 ? 0

? ? ? ( ?62) ? 4 ? 5 ? 1 5? ? 2 6 4 0 ?

说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式. 【例 2】已知关于 x 的一元二次方程 3x2 ? 2 x ? k ? 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的范围: (1) 方程有两个不相等的实数根; (3)方程有实数根; 解: ? ? (?2) ? 4 ? 3 ? k ? 4 ? 12k
2

(2) 方程有两个相等的实数根 (4) 方程无实数根.

1 ; 3 1 (3) 4 ? 12k ? 0 ? k ? ; 3
(1) 4 ? 12k ? 0 ? k ?
2 2

1 ; 3 1 (4) 4 ? 12k ? 0 ? k ? . 3
(2) 4 ? 12k ? 0 ? k ?

【例 3】已知实数 x 、 y 满足 x ? y ? xy ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,试求 x 、 y 的值. 解:可以把所给方程看作为关于 x 的方程,整理得: x ? ( y ? 2) x ? y ? y ? 1 ? 0
2 2

由于 x 是实数,所以上述方程有实数根,因此:

? ? [?( y ? 2)]2 ? 4( y 2 ? y ? 1) ? ?3 y 2 ? 0 ? y ? 0 ,
代入原方程得: x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 .综上知: x ? ?1, y ? 0

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二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为:

x?
所以:, x1 ? x2 ? ?

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac ,x ? 2a 2a

b , a

x1 ?x2 ?

c a

韦达定理:如果一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为 x1 , x2 ,那么:

b c x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? a a 说明:上述定理成立的前提是 ? ? 0 .
【例 4】若 x1 , x2 是方程 x2 ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值: (1) x1 ? x2 ;
2 2

(2)

1 1 ? ; x1 x2

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ;

(4) | x1 ? x2 | .

解:由题意,根据根与系数的关系得: x1 ? x2 ? ?2, x1 x2 ? ?2007 (1) x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (?2) ? 2(?2007) ? 4018
2 2 2 2

(2)

1 1 x1 ? x2 ?2 2 ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 ?2007 2007

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ? x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 25 ? ?2007 ? 5(?2) ? 25 ? ?1972 (4) | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?2) 2 ? 4( ?2007) ? 2 2008

说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:

x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ,

x ? x2 1 1 2 2 ? ? 1 , ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 , x1 x2 x1 x2

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 , x1 x2 2 ? x12 x2 ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ,
x13 ? x23 ? ( x1 ? x2 )3 ? 3x1 x2 ( x1 ? x2 ) 等等.
【例 5】已知关于 x 的方程 x 2 ? (k ? 1) x ?

1 2 k ? 1 ? 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的值. 4

(1) 方程两实根的积为 5; (2) 方程的两实根 x1 , x2 满足 | x1 |? x2 . 解:(1) ∵方程两实根的积为 5

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1 2 ? 2 ?? ? [?(k ? 1)] ? 4( 4 k ? 1) ? 0 3 ? ? k ? , k ? ?4 ∴ ? 2 ?x x ? 1 k 2 ? 1 ? 5 1 2 ? ? 4
所以,当 k ? 4 时,方程两实根的积为 5. (2) 由 | x1 |? x2 得知: ①当 x1 ? 0 时, x1 ? x2 ,所以方程有两相等实数根,故 ? ? 0 ? k ?

3 ; 2

②当 x1 ? 0 时, ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ? k ? 1 ? 0 ? k ? ?1,由于

3 ? ?0 ?k ? ,故 k ? ?1不合题意,舍去. 2 3 综上可得, k ? 时,方程的两实根 x1 , x2 满足 | x1 |? x2 . 2
说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件, 即所求的字母应满足 ? ? 0 . 【例 6】已知 x1 , x2 是一元二次方程 4kx2 ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根. (1) 是否存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ?2 x2) ? ? 明理由. (2) 求使

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,说 2

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值. x2 x1
3 成立. 2

解:(1) 假设存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ?

∵ 一元二次方程 4kx2 ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根 ∴ ?

? 4k ? 0
2 ?? ? (?4k ) ? 4 ? 4k (k ? 1) ? ?16k ? 0

? k ? 0,

又 x1 , x2 是一元二次方程 4kx2 ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根

? x1 ? x2 ? 1 ? ∴ ? k ?1 ? x1 x2 ? 4k ?

∴ (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 5 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 9 x1 x2
2 2 2

k ?9 3 ? ? ? ? ? k 4k 2

9 ?,但 k ? 0 . 5 3 成立. 2

∴不存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ?

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(2) ∵

x1 x2 x 2 ? x2 2 ( x ? x2 ) 2 4k 4 ? ?2? 1 ?2? 1 ?4? ?4?? x2 x1 x1 x2 x1 x2 k ?1 k ?1

∴ 要使其值是整数,只需 k ? 1能被 4 整除,故 k ? 1 ? ?1, ?2, ?4 ,注意到 k ? 0 ,

要使

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值为 ?2, ?3, ?5 . x2 x1

说明:(1) 存在性问题,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存 在. (2) 本题综合性较强,要学会对

4 为整数的分析方法. k ?1
A 组 )

1.一元二次方程 (1 ? k ) x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是(
2

A. k ? 2

B. k ? 2, 且k ? 1

C. k ? 2

D. k ? 2, 且k ? 1

2.若 x1 , x2 是方程 2 x2 ? 6 x ? 3 ? 0 的两个根,则 B. ?2

1 1 ? 的值为( x1 x2

)

A. 2

C.

1 2

D.

9 2

3.已知菱形 ABCD 的边长为 5,两条对角线交于 O 点,且 OA、OB 的长分别是关于 x 的方程

x 2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? 3 ? 0 的根,则 m 等于(
A. ?3 B. 5
2

) D. ?5或3

C. 5或 ? 3

4 . 若 t 是 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的 根 , 则 判 别 式 ? ? b2 ? 4ac 和 完 全 平 方 式

M ? (2at ? b)2 的关系是( )
A. ? ? M B. ? ? M
2

C. ? ? M
2

D.大小关系不能确定

5.若实数 a ? b ,且 a, b 满足 a ? 8a ? 5 ? 0, b ? 8b ? 5 ? 0 ,则代数式 A. ?20
2

b ?1 a ?1 的值为( ) ? a ?1 b ?1

B. 2

C. 2或 ? 20

D. 2或20

6.如果方程 (b ? c) x ? (c ? a) x ? (a ? b) ? 0 的两根相等,则 a, b, c 之间的关系是 ______ 7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 2 x2 ? 8x ? 7 ? 0 的两个根,则这个直角三角形的斜 边长是 _______ . 8.若方程 2 x ? (k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 的两根之差为 1,则 k 的值是 _____ .
2

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9.设 x1 , x2 是方程 x ? px ? q ? 0 的两实根, x1 ? 1, x2 ? 1 是关于 x 的方程 x ? qx ? p ? 0 的两实根,
2 2

则 p = _____ , q = _____ . 10.已知实数 a, b, c 满足 a ? 6 ? b, c 2 ? ab ? 9 ,则 a = _____ , b = _____ , c = _____ . 11.对于二次三项式 x2 ? 10 x ? 36 ,小明得出如下结论:无论 x 取什么实数,其值都不可能等于 10.您 是否同意他的看法?请您说明理由. 12.若 n ? 0 ,关于 x 的方程 x 2 ? (m ? 2n) x ?

1 m mn ? 0 有两个相等的的正实数根,求 的值. 4 n

13.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? (4m ? 1) x ? 2m ? 1 ? 0 . (1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2) 若方程的两根为 x1 , x2 ,且满足

1 1 1 ? ? ? ,求 m 的值. x1 x2 2

14.已知关于 x 的方程 x 2 ? (k ? 1) x ?

1 2 k ? 1 ? 0 的两根是一个矩形两边的长. 4

(1) k 取何值时,方程存在两个正实数根? (2) 当矩形的对角线长是 5 时,求 k 的值.

B
2



1.已知关于 x 的方程 (k ? 1) x ? (2k ? 3) x ? k ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 . (1) 求 k 的取值范围; (2) 是否存在实数 k ,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请您说 明理由.

2 . 已 知 关 于 x 的 方 程 x 2 ? 3x ? m ? 0 的 两 个 实 数 根 的 平 方 和 等 于 11 . 求 证 : 关 于 x 的 方 程

(k ? 3) x 2 ? kmx ? m2 ? 6m ? 4 ? 0 有实数根.

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