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数学:1.3.1《函数单调性(2)》


1.3.1

单调性与最大(小)值

第二课时

函数的最值

问题提出

1.确定函数的单调性有哪些手段和方法?

2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性, 如果函数的图象存在最高点或最低点,它又 反映了函数的什么性质?

知识探究(一)

观察下列两个函数的图象:
y
M
M

y

x

o

x0
图1

o
图2

x0

x

思考1:这两个函数图象有何共同特征?

函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称?
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小 关系如何?

思考3:设函数 f ( x ) ? 1 ? x ,则 f ( x ) ? 2 成立吗? f ( x ) 的最大值是2吗?为什么?
2

思考4:怎样定义函数 f ( x ) 的最大值?用什么符号 表示?
一般地,设函数 y ? f ( x ) 的定义域为I,如果存在 实数M满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x ) ? M ; (2)存在 x 0 ? I ,使得 f ( x 0 ) ? M . 那么称M是函数 y ? f ( x ) 的最大值,记作
[ f ( x )] m ax ? M

思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗?如果函数 f ( x ) 的值域是(a,b),则函 数 f ( x ) 存在最大值吗?

思考6:函数 y ? ? 2 x ? 1, x ? ( ? 1, ? ? ) 有最大 值吗?为什么?

知识探究(二)

观察下列两个函数的图象:
y y

m

m

o

x0
图1

x

x0

o
图2

x

思考1:这两个函数图象各有一个最低点,函数图 象上最低点的纵坐标叫什么名称? 思考2:仿照函数最大值的定义,怎样定义函数 f ( x ) 的最小值?

一般地,设函数 y ? f ( x ) 的定义域为I, 如果存在实数m满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x ) ? m; (2)存在 x 0 ? I ,使得 f ( x 0 ) ? m . 那么称m是函数 y ? f ( x )的最小值,记作
[ f ( x )] m in ? m

知识探究(三)

思考1:如果在函数 f ( x ) 定义域内存在x1和 x2, 使对定义域内任意x都有 f ( x1 ) ? f ( x ) ? f ( x 2 ) 成立,由此你能得到什么结论? 思考2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而 言,有哪几种可能情况?

思考3:如果函数

f ( x )存在最大值,那么有几个?

思考4:如果函数 f ( x ) 的最大值是b,最小值是a, 那么函数 f ( x ) 的值域是[a,b]吗?

理论迁移

例1已知函数 f ? x ? ?

2 x ?1

, x ? ? 2,6?

,求函数

f (x)

的最大值和最小值.
f ?x? ? 2 , x ? ? 2, 6 ?

例2(05年湖南卷)某公司在甲、乙两地销售一种 2 品牌车,利润(万元)分别为 y1 ? 5 .0 6 x ? 0 .1 5 x 和 y 2 ? 2 x ,其中x为销售量(辆),若该公司在 这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( A ) A、45.6万元 B、45.606万元 C、45.56万元 D、45.51万元
x ?1 f ?x? ? 2 x ?1 , x ? ? 2, 6 ?

例3 设 b ? 1 为常数,如果当 x ? [1, b ] 时,函 数
f (x) ? 1 2 x ?x?
2

3 2

的值域也是[1,b],求b

的值.

变式
设 m,n 为常数,如果当 x ? [m , n ] 时,
函数 f ( x ) ?
1 2 x ?x?
2

3 2

的值域也是[m,n],

求m,n的值.

思考题:
已知函数 f (x)的定义域为( 0, ?),且对任意的 ? x, y ? (0, ??), 都有 f(xy) ? f(x) ? f(y), 并满足: f( ) ? 1, 当x ? 1时, f(x) ? 0 2 (1)求f(1)的值; ( )证明:函数 f (x)在(0, ?)上是减函数; 2 ? ( )若 f (x) ? f(x 3 3 4 ) ? 2,求实数 x的取值范围 . 1

函数单调性简单性质总结
①函数y=f(x) 在区间I上为增(减)函数,则 函数y=af(x)+b (a>0)在区间I上为增(减)函数 ②函数f(x)和g(x)在区间I上为增(减)函数, 则f(x)+g(x)在I上为增(减)函数。

③函数f(x)和g(x)在区间I上分别为增函数和减函数, 则f(x)-g(x)在I上为增函数。
④函数f(x)和g(x)在区间I上为增(减)函数,且 f(x)>0,g(x)>0,则f(x)g(x)在I上为增(减)函数。

练习题:
已知函数 f (x)对任意的 x, y ? R, 都有 f(x ? y) ? f(x) ? f(y), 且当 x ? 0时, f(x) ? 0, f(1) ? 2 3 (1) 求证: f(x)在R上是减函数; ( )求函数 f (x)在 2 [-3,3]上的最值 .


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