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2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(3)含答案


2016 年高考模拟试卷(3)
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1.已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2? ,集合 B ? ?x | x ? 1? ,则 A ? B = ▲ .

2.某中学共有学生 2000 人,其中高一年级共有学生

650 人,高二男生有 370 人.现在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19.则该校高三学生共有 ▲ 3.已知 i 是虚数单位,且复数 z1=2+bi,z2=1-2i,若 则实数 b= ▲ . . Else
f ( x) ? 2 x ?1
z1 是实数, z2

人. Read x If
x?0

Then

4.根据如图所示的伪代码,已知输出值为 1,则输入值 x ? ▲

f ( x) ? x ? 3

5. 已知 m?{?1, 0, 1}, n?{?2, 2}, 若随机选取 m, n, 则直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上存在第二象限的点的概率是 ▲ . ? ? ? ? ? ? 6.已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a , b 的夹角为 120? ,则 | a ? 2b |? _____▲_____. 7.已知一元二次不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? ??,1? ? ? 2, ?? ? ,则 f (lg x) ? 0 的 解集为 ▲ .

End If Print f(x)
(第 4 题)

8. 设 ? 为锐角,若 cos(? ?

?

3 ? ) ? ,则 cos(2? ? ) ? 6 5 6



.

P

9 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 A B C D, 底 面 ABCD 是 菱 形 , 若
AB ? 2, ?BAD ? 60? . 则 当 四 棱 锥 P ? ABCD 的 体 积 等 于 2 3 时 , 则 PC =
A D C B



.

10. 在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(4,3) 引圆 C : x2 ? ( y ? m)2 ? m2 ? 1(0 ? m ? 4) 的 两条切线,切点分别为 A 、 B ,则直线 AB 过定点 ▲ .

5 11. 已知等差数列 ?an ? 的各项均为正数,a1 =1, 且 a3 , a4 ? , a11 成等比数列. 若 p ? q ? 10 , 则 a p ? aq = ▲ . 2

s 1 2 x 在它们的公共点 P ? s, t ? 处具有公共切线,则 ? ▲ t 2e ??? ? 2 ??? ?2 13.已知 ? ABCD 的面积为 2,P 是边 AD 上任意一点,则 PB ? PC 的最小值为 ▲
12.若曲线 y ? a ln x 与曲线 y ?

. .

? 3 4 ? 8 x ? ,1 ≤ x ≤ 2, ? ? 2 14. 设函数 f ( x) ? ? ,则函数 g ( x) ? xf ( x) ? 6 在区间 [1, 22015 ] 内的所有零点的和为 1 x ? f ( ), x ? 2. ? ?2 2



.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时写出文字说明、证明过 ....... 程或演算步骤.

? 15.(本小题满分14分)在 ? ABC 中,三个内角分别为 A,B,C ,已知 sin(A ? ) ? 2cos A . 6
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6 ,求证: 2a ? 3c ? 0 . 3 ? 4 (2)若 B ? (0, ) ,且 cos( A ? B) ? ,求 sin B . 3 5

(1)若 cos C ?

16.(本小题满分 14 分)已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥DC, ?ABC ? 60? ,
DC ? 1, AD ? 3 .已知 PB=PC.
P

(1)若 N 为 PA 的中点,求证:DN∥平面 PBC; (2)若 M 为 BC 的中点,求证:MN⊥BC.
A

N

B

D

C

17.(本小题满分 14 分)某城市在进行规划时,准备设计一个圆

形的开放式

公园.为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计,安排圆内接四边形 ABCD 作为绿化区域,其 余作为市民活动区域.其中 ?ABD 区域种植花木后出售, ?BCD 区域种植草皮后出售,已知草皮每平方米售 价为 a 元,花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍. 若 BC ? 6 km , AD ? CD ? 4 km (1)若 BD ? 2 7 km ,求绿化区域的面积; (2)设 ?BCD ? ? ,当 ? 取何值时,园林公司的总销售金额最大.
A

B D

C

18. (本小题满分 16 分) 已知 A,B 是椭圆 C :

x2 y 2 在直线 x ? 4 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右顶点,F 为其右焦点, a 2 b2

上任取一点 P (点 P 不在 x 轴上) ,连结 PA, PF , PB.若半焦距 c ? 1 ,且
2kPF ? k PA ? k PB

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 PF 交椭圆于 M , N ,记△ AMB、△ ANB 的面积分别为 S1、S2,求
S1 的取值范围. S2

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? ln x ? a ? R ? , g ( x) ? (1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调增区间;

x2 . x ? ln x

(2)若 h( x) ? f ? x ? ? g (x) 恰有三个不同的零点 x1 , x2 , x3 ( x1 ? x2 ? x3 ) . ①求实数 a 的取值范围; 第 2 页,共 13 页

? ln x1 ? ②求证: ?1 ? ? x1 ? ?

2

? ln x2 ? ? ln x3 ? ? ? 1. ?1 ? ? ?1 ? x2 ?? x3 ? ?

20.(本小题满分 16 分)已知数列 ?an ? 是等比数列. (1)设 a1 ? 1 , a4 ? 8 . ①若
1 1 1 1 1 1 ? ??? ? M ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) , n ? N * ,求实数 M 的值; a 1 a2 a2 n a1 a2 an
1 1 1 1 1 与 之间插入 k 个数 b1 , b2 ,?, bk ,使得 , b1 , b2 ,? , bk , , 成等差数列,求这 k 个数的和 Sk ; a4 a1 a1 a4 a5

②若在

(2)若一个数列 ?cn ? 的所有项都是另一个数列 ?dn ? 中的项,则称 ?cn ? 是 ?dn ? 的子数列.已知数列 ?bn ? 是 公差不为 0 的等差数列,b1 ? a1 ,b2 ? a2 ,bm ? a3 ,其中 m 是某个正整数, 且m ? 3, 求证: 数列 ?an ? 是 ?bn ? 的子数列.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 共 4 小题,请选定其中两小题 ,并在相应的答题区域内作答 .若多 ........ ............ 做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,? BCD 内接于 ? O ,过 B 作 ? O 的切线 AB,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,且 DB ? BE .求证:DB=DC.
B F E A C D

?1 2? B. (选修4-2:矩阵与变换)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P(x,3)在矩阵 M ? ? ? 对应的变换下 ?3 4 ? ?x? 得到点 Q(y ? 4,y +2),求 M 2 ? ? . ? y?

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参 2 ? y? 5? t ? ? 2

数),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? .若点 P 的坐标为 3, 5 ,求 PA ? PB 的值. D. (选修4-5:不等式选讲)若关于 x 的不等式 x2 ? ax ? b ? 0 的解集为 ?1, 2 ? ,求函数

?

?

f ( x) ? (a ? 1) x ? 3 ? (b ? 1) 4 ? x 的最大值.
第 3 页,共 13 页

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)如图,一简单几何体 ABCDE 的一个面 ABC 内接于圆 O, AB 是圆 O 的直径,四边 形 DCBE 为平行四边形,且 DC ? 平面 ABC. 若 AC=BC=BE=2, (1)BE 边上是否存在一点 M,使得 AD 和 CM 的夹角为 60? ? (2)求锐二面角 O-CE-B 的余弦值.
D E

A

O

B

C

23. (本小题满分 10 分)已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时,
2( Sn ? Sn ?1 ) ? (n ? 1)( 1 1 1 ? ??? ) S1 S2 Sn

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)求证:当 n ? 2 时, 4an an ? an? 2an?2 ?2 .

2016 年高考模拟试卷(3) 参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、填空题 1. ? ?1,1? . 2. 600. 3.-4. 4.-1 . 5.

2 . 【解析】m、n 的取法共有 3× 2=6 种,即共有 6 条直线,其 3

中当 m=0,n=2 和 m=-1,n=2,直线 mx ? ny ? 1 ? 0 恰好不经过第二象限,所有经过第二象限的直线 有 4 条,所以 P= 数,所以 ? ?

? 3 2 24 . 6. 2 7 . 7. ?10,100? . 8. . 【解析】因为 α 为锐角, cos(? ? ) ? 为正 6 5 3 25
?
6 )? 4 ? ? ? 24 ,得 sin(2? ? ) ? 2sin(? ? )cos(? ? ) ? ,又因为 5 3 6 6 25

?
6

是锐角, sin(? ?

? ? ? 24 . cos(2? ? ) ? sin(2? ? ) ,所以 cos(2? ? ) ? 6 3 6 25

9. 21 . 【解析】因为,底面 ABCD 是菱形,

1 3 ? 2 3 ,因为, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2, ?BAD ? 60? ,所以, S ABCD ? 2 ? ? AB ? AD sin 60? ? 2 ? 2 ? 2 2

1 所以,四棱锥 P﹣ABCD 的高为 PA,所以, ? 2 3 ? PA ? 2 3 ,得 PA ? 3 ,因为, PA ? 平面 ABCD , 3
AB?平面 ABCD,所以,PA⊥AC,在 Rt△PAC 中, PB ? PA2 ? AC 2 ? 9 ? (2 3) 2 ? 21 .

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 5 10. ( , ?3) . 【解析】直线 AB 上任取一点 Q( x, y ) ,则 CQ ? CP ? CB ? CP=CB ,因为

2

??? ? ??? ? CQ ? ( x, y ? m), CP ? (4,3 ? m) ,所以 4 x ? (3 ? m)( y ? m) ? m2 ? 1 ,即 4 x ? 3 y ? 1 ? m( y ? 3) ? 0 .

5 ? ?4 x ? 3 y ? 1 ? 0 5 x? 所以直线 AB : 4 x ? 3 y ? 1 ? m( y ? 3) ? 0 ,令 ? ,则 ? 2 ,故直线 AB 过定点 ( , ?3) . ? 2 ?y ? 3 ? 0 ? ? y ? ?3
5 5 11. 15 . 【解析】 等差数列公差为 d , 由题意知 d ? 0 , 因为 a3 , a4 ? , a11 成等比数列, 所以 (a4 ? )2 ? a3 a11 , 2 2 7 3 15 3n ? 1 所以, ( ? 3d ) 2 ? (1 ? 2d )(1 ? 10d ) ,即 44d 2 ? 36d ? 45 ? 0 所以 d ? (d ? ? 舍去), 所以 an ? .所以, 2 2 22 2
a p ? aq ? 3 ( p ? q ) ? 15 . 2

12. 2 e .【解析】 对曲线 y ? a ln x 求导可得 y? ?
P ? s, t ? 处具有公共切线,所以

a 1 x ,对曲线 y ? x2 求导可得 y? ? ,因为它们在公共点 x 2e e

a s 1 ? ,即 s 2 ? ea ,又 t ? a lns ? s 2 ,即 2ea lns ? s 2 ,将 s 2 ? ea 代入,所 s e 2e

以 a ? 1 .所以 t ?

1 s , s ? e ,即 ? 2 e . 2 t

13. 4 .【解析】 因为 S? ABCD ? 2 ,所以 S△PBC ? 1 ,如图,取 BC 的中点 M ,连 PM ,过点 P 作 PH ? BC 于 ??? ? ??? ? ???? ? H ,则 PB ? PC ? 2PM , PM ≥ PH ,且
S△PBC = 1 BC ? PH ? 1 BC ? PH ? 2 2 ,所以
A P D

??? ? 2 ??? ?2 ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 ? ??? PB ? PC ? 2 ? PB ? PC ? ( PC ? PB)2 ? ? 2 PB ? PC ? BC 2 ? ?

B

M

H

C

? ??? ? 1 ??? ? ? PB ? PC ? 2?

?

? BC ? ? ? PB ? PC ? ? ? ?
2 2

??? ? ??? ?

??? ?2

? 2 ??? ? 2 ??? ? ???? ? ??? ? 1 ???? ? ? BC 2 ? 2PM 2 + 1 BC 2 ? ? 4 PM ? BC ? ? ? 2? 2

1 1 ? 2 PM 2 ? BC 2 ? 2 PM ? BC ? 2 PH ? BC ? 4S ?PBC ? 4. 当且仅当 PM ? BC ,且点 M 与点 H 重合时 2 2
??? ? ??? ? ??? ?2 等号成立.所以 PB ? PC ? BC 的最小值为 4 .
14.

3 2015 3 1 3 f x) ? 8 x ? 8 ,所以 g ? x ? ? 8( x ? )2 ? 8 ,此时当 x ? 时, (2 ? 1) .【解析】 当 1 ? x ? 时, ( 2 2 2 2

3 2 f x) ? 16 ? 8x ,所以 g g (x) (x) ? ?( 8 x ?1 ) ? 2<0 ;由此可得 1 ? x ? 2 时, max ? 0 ;当 <x ? 2 时, ( 2
(x) f x) g (x) 下面考虑 2n ?1 ? x ? 2n 且 n ? 2 时,g 的最大值的情况. 当 2n ?1 ? x ? 3 ? 2n ? 2 时, 由函数 ( 的 max ? 0 .

定义知 f ? x ? ?

1 x 1 x x 3 1 所以 g ? x ? ? 2n?5 ( x ? 2n?2 )2 ? 8 , 此时当 x ? 3 ? 2n ? 2 f ( ) ? ?? n?1 f ( n?1 ) ,因为 1 ? n?1 ? , 2 2 2 2 2 2 2 1 2
2 n ?5

n?2 ? x ?2 n 时,同理可知 ,g ? x ? ? ? (x) 时, g max ? 0 ;当 3 ? 2

( x ? 2n?1 )2 ? 8<0 .由此可得 2n ?1 ? x ? 2n 且

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* n ? 2 时, g (x) 在区间 [2n?1, (x) 2n ] 上有 1 个零点,从而 g ( x) max ? 0 .综上可得:对于一切的 n ? N ,函数 g

在区间 [1, 2n ] 上有 n 个零点,且这些零点为 xn ? 3 ? 2n?2 ,所以,当 n ? 2015 时,所有这些零点的和为

3 2015 (2 ? 1) . 2
二、解答题
3 1 ? sin A ? cos A ? 2 cos A , 15.因为 sin(A ? ) ? 2cos A ,得 2 2 6

即 sin A ? 3 cos A ,因为 A ? ? 0, ? ? ,且 cos A ? 0 , 所以 tan A ? 3 ,所以 A ?

? . 3

…………4 分
6 3 , C ? ? 0, ?? ,所以 sin C ? 3 3

(1)因为 sin 2 C ? cos 2 C ? 1, cos C ?

3 a sin A 3 a c ? 2 ? ,即 2a ? 3c ? 0 .…………7 分 由正弦定理知 ,即 ? ? c sin C sin A sinC 3 2 3

? ? ? ?? (2)因为 B ? (0, ) ,所以 A ? B ? ? B ? ? 0, ? , 3 3 ? 3?
因为 sin 2 ( A ? B) ? cos2 ( A ? B) ? 1 ,所以 sin( A ? B) ?

3 , 5

…………10 分
4 3 ?3 .……14 分 10

所以 sin B ? sin ? A ? ? A ? B ? ? ? sin A cos( A ? B ) ? cos A sin( A ? B ) ? 16.(1)取 PB 的中点 E,连接 NE,CE, 因为 ABCD 是直角梯形,AB∥DC, ?ABC ? 60? ,
DC ? 1, AD ? 3 ,

P

易得 AC =CB= AB=2,

……………… 2 分
j A N E B

又因 E 为 PB 的中点, N 为 PA 的中点, 所以 NE ∥CD 且 NE =CD 所以四边形 CDNE 是平行四边形 所以 DN∥CE; 又 CE ? 平面 PBC,DN ? 平面 PBC… 所以 DN∥平面 PBC (2)连接 AM,PM. 因为 PB=PC, M 为 BC 的中点 所以 PM⊥BC, 因为 AC =AB, M 为 BC 的中点 所以 AM⊥BC, …………… 10 分 …………8 分 ………………………… 6 分 ……………… 4 分
D

C

P

N

A

B M

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D

C

又因为 AM ? PM ? M , AM , PM ? 平面 PAM, 所以 BC⊥平面 PAM. 因为 NM ? 平面 PAM, 所以 MN⊥BC. …………………………… 14 分 ……… 12 分

17.(1)在 ?BCD 中, BD ? 2 7 , BC ? 6 , CD ? 4 ,
2 2 BC 2 ? CD2 ? BD2 6 ? 4 ? 2 7 由余弦定理得, cos ?BCD ? ? 2BC ? CD 2?6? 4

?

?

2

?

1 2

因为 ?BCD ??0?,180?? , 所以 ?BCD ? 60? , 又因为 A 、 B 、 C 、 D 共圆,所以 ?BAD ? 120? .

…………… 2 分

在 ?ABD 中,由余弦定理得 BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB?AD cos ?BAD , 将 AD ? 4 , BD ? 2 7 代入化简得 AB 2 ? 4 AB ? 12 ? 0 , 解得 AB ? 2 ( AB ? ?6 舍去). ……… 4 分

1 1 所以 S ABCD ? S? ABD ? S? BCD ? ? 2 ? 4sin120? ? ? 4 ? 6sin 60? ? 8 3 2 2
即绿化空间的面积为 8 3 km 2 (2)在 ?BCD 、 ?ABD 中分别利用余弦定理得 ……… 6 分

BD2 ? 62 ? 42 ? 2 ? 6 ? 4cos ?
BD2 ? AB2 ? 42 ? 2 ? 4 AB cos ?? -? ?

① ②

联立①②消去 BD 得 AB 2 ? 8cos? ?AB ? 48cos? ? 36 ? 0 ,得

? AB ? 6?? AB ? 8cos? ? 6? ? 0 ,解得 AB ? 6 ? 8cos ? ( AB ? ?6 舍去).
因为 AB ? 0 ,所以 6 ? 8cos ? ? 0 ,即 cos? ?

………… 10 分

3 . 4

S?ACD ?

1 1 AB?AD sin ?? ? ? ? ? ? 6 ? 8cos? ? ? 4sin ? ? 12sin ? ? 16sin ? cos? 2 2

1 1 S?BCD ? BC? CD sin ? ? ? 6 ? 4sin ? ? 12sin ? 2 2
因为草皮每平方米售价为 a 元,则花木每平方米售价为 3a 元,设销售金额为 y 百万元.
y ? f ?? ? ? 3a ?12sin ? ? 16sin ? cos? ? ? 12a sin ? ? 48a ?sin ? ? sin ? cos? ?

…… 12 分

f ? ?? ? ? 48a ? cos? ? cos2 ? ? sin2 ? ? ? 48a ? ?2cos2 ? ? cos? ? 1? ? ?48a ? 2cos? ? 1??cos? ? 1?
1 3 3 令 y ? ? 0 ,解得 ? ? cos? ? 1 ,又 cos? ? ,不妨设 cos ?0 ? , 2 4 4
? 2? 则函数 f ?? ? 在 ? ? 0 , 3 ? ? ? 上为增函数; ?

1 ? 2? ? , ? ? 上为减函数, 令 y ? ? 0 ,解得 cos? ? ? ,则函数 f ?? ? 在 ? 2 ? 3 ?
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所以当 ? ?

2? 时, f ?? ?max ? 36 3a . 3 2? 时,园林公司的销售金额最大,最大为 36 3a 3

答:(1)绿化区域的面积为 8 3 km 2 ;(2)当 ? ? 百万元. … 14 分 18. (1)令 P(4, y0 ) , A(?a, 0), B(a, 0) , 因为 c ? 1 ,所以 F (1,0) 因为 2kPF ? kPA ? kPB ,所以

2 y0 y y ? 0 ? 0 , 4 ?1 4 ? a 4 ? a

………2 分

解得 a ? 2 ,从而 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 故椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

………6 分

(2)令 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,设直线 PF 方程为 x ? my ? 1
?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 由? 消 x , 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , x ? my ? 1 ?

y1 ? y2 ? ?
所以

6m ① 3m2 ? 4

y1 y2 ? ?

9 3m ? 4
2



y y1 y2 4m 2 ? ?2?? 2 ,令 t ? 1 , y2 y2 y1 3m ? 4

16 1 1 10m2 ? 8 10 3 ? ? 2 则 t ? ? t? ? t t 3m2 ? 4 3 3m ? 4

………12 分

所以 2 ? t ?

1 10 1 ? ,从而 ? t ? 3 且 t ? 1 , t 3 3

1 AB y1 S? AMB 2 因为 ? ?t , S? ANB 1 AB y 2 2
所以
S? AMB ? 1 ? ? ? ,1? ? ?1,3? S? ANB ? 3 ?

………16 分

? ?? . 19.(1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? ln x ,定义域为 ? 0 ,

f '? x? ? 1 ?

1 x ?1 . ? x x

? ?? 上单调递增; 所以 f ' ? x ? ? 0 , f ( x) 在 ? 0 , ? ?? . 即 f ? x ? 的单调增区间为 ? 0 ,

………3 分

(2)①由题意可得,关于 x 的方程 即关于 x 的方程 a ?

x2 +?? 上有三个不同的解. ? ax ? ln x 在 ? 0 , x ? ln x

x ln x +?? 上有三个不同的解. 在 ? 0, ? x ? ln x x
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令 F ? x? ?

x ln x , x ? ?0, +? ? . ? x ? ln x x
1 ? ln x

所以 F ? ? x ? ?

? x ? ln x ?

2

?

1 ? ln x ln x ?1 ? ln x ?? 2 x ? ln x ? . ? 2 x2 x2 ? x ? ln x ?

………5 分

显然,当 x ? ? 0 , +? ? 时, 2 x ? ln x ? 0 ,证明如下: 令 y ? 2 x ? ln x ? x ? 0? , y ' ? 2 ?

1 2x ? 1 . ? x x

? 1? ? 1? 当 x ? ? 0 , ? 时, y ' ? 0 ,函数 y ? 2 x ? ln x 在 ? 0 , ? 上单调递减; ? 2? ? 2? ?1 ? ? 1? ? ? ? 时, y ' ? 0 ,函数 y ? 2 x ? ln x 在 ? 0 , ? 上单调递增. 当 x?? , 2 ? 2? ? ?

所以当 x ?

1 1 时, y ? 2 x ? ln x 取最小值 1 ? ln . 2 2
………7 分

所以,当 x ? ? 0 , +? ? 时, 2 x ? ln x ? 0 . 令 F ? ? x ? ? 0 ,可得 x ? 1 或 e . 将 x,h1(x),h(x)变化情况列表如下

x

1? ?0,
?

1
0

?1 , e ?
?
?

e
0

? ?? ?e,
?

h? ? x ?
h ? x?

?

极小值 f ?1? ? 1

极大值 f (e) ?

e 1 ? e ?1 e

?

又当 x ? 0时, h( x) ? ??, 当x ? ??,h( x) ? 1. 所以,实数 a 的取值范围为 (1,

e 1 ? ). e ?1 e

………10 分
x ln x 1 ln x ? ? ? . ln x x ? ln x x x 1? x

②由①可知,当 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? e ? x3 时, a ?

令t ?

ln x 1 ,则 a ? ?t , x 1? t
………12 分

即 t 2 ? ? a ? 1? t ? 1 ? a ? 0 , t1 ? t2 ? 1 ? a ? 0 , t1t2 ? 1 ? a ? 0 . 不妨设 t1 ? t2 ,则 t1 ? 0 ? t2 . 又 t ? x? ?

1 ? ln x ln x ? x ? 0? , t ' ? x ? ? 2 , x x

e ? 时, t ' ? x ? ? 0 , t ? x ? 在 ? 0 , e ? 上单调递增; 当 x ? ?0 , ? ? ? 时, t ' ? x ? ? 0 , t ? x ? 在 ? e , ? ?? 上单调递减. 当 x ? ?e,

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显然,当 x ? ? 0 , 1? 时, t ? x ? ? 0 ;当 x ? ? e , ? ? ? 时, t ? x ? ? 0 . 所以 t1 ?
ln x1 ln x2 ln x3 ? , t2 ? . x1 x2 x3
2 2 2

………14 分

? ln x1 ? ? ln x2 ? ? ln x3 ? ? ln x1 ? ? ln x2 ? 所以 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? x1 ? ? x2 ? ? x3 ? ? x1 ? ? x2 ? ?
2

? ?1 ? t1 ? ?1 ? t2 ??1 ? t2 ? ? ? ??1 ? t1 ??1 ? t2 ?? ? ?? ?1 ? ? t1 ? t2 ? ? t1t2 ? ?
2

2

?? ?1 ? ?1 ? a ? ? ?1 ? a ?? ? ? 1.
2

? ln x1 ? ? ln x2 ? ? ln x3 ? 即 ?1 ? ? ? 1. ? ?1 ? ? ?1 ? x1 ? ? x2 ?? x3 ? ?
20.(1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q , 由 a1 ? 1 , a4 ? 8 ,得 q ? 2 , ………2 分

2

………16 分

?1? 1 ① 因为 ?an ? 是等比数列,所以 ? ? 是等比数列,且公比为 , 2 ? an ?
1 1 1 1 1 1 ? ??? ? M ( 2 ? 2 ??? 2 ) , a 1 a2 a2 n a1 a2 an

1 1 1 ? ( )2n 1 ? ( )2n 2 ?M? 2 对 n ? N * 都成立, 所以 1 1 1? 1? 2 4
所以 M ? ②因为

3 ; 2

………4 分

1 1 1 1 1 ?1, ? , ? , a1 a4 8 a5 16

因为

1 1 1 1 1 1 , b1 , b2 ,? , bk , , 成等差数列,所以公差 d ? ? ? ? ,6 分 a1 a4 a5 a5 a4 16



1 1 1 1 ? ? ( k ? 1) d ,即 ? 1 ? (k ? 1) ? (? ) ,解得 k ? 13 ; a4 a1 8 16

所以这 13 个数的和 S13 ?

13(b1 ? b13 ) 13 1 117 ? (1 ? ) ? 2 2 8 16

……8 分

(2)设数列 ?bn ? 的公差为 d ,则 d ? 0 , 由条件得 b1 ? a1 , b1 ? d ? a1q , b1 ? (m ? 1)d ? a1q2 , 所以 (m ? 1)(q ? 1) ? (q2 ? 1) , 因为 d ? 0 ,所以 q ? 1 ,从而 q ? m ? 2 , 因为 m 是某个正整数,且 m ? 3 ,所以 q 也是正整数,且 q ? 1 ,10 分 因为 b1 ? a1 , b2 ? a2 , bm ? a3 , 第 10 页,共 13 页

所以 a1 , a 2 , a3 是数列 ?bn ? 中的项,

………12 分

当 n ? 4 时,若 an ? bt ,则 a1qn?1 ? a1 ? (t ? 1)a1 (q ? 1) , 化简得 t ? 1 ?
1 ? q n ?1 ? 1 ? q ? q 2 ? ? ? q n?2 , 1? q

即 t ? 2 ? q ? q2 ? ? ? qn?2 ,且 q 是正整数, 所以, t 也是正整数, 所以对任意 n ? 4, n ? N ? ,存在 t ? N ? ,使得 an ? bt , 即数列 ?an ? 中的每一项都是数列 ?bn ? 中的项. 所以,数列 ?an ? 是 ?bn ? 的子数列. 21A.如图,连接 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为 DB⊥BE,所以 DE 为直径,则∠DCE=90° , 所以, ? DBE ?? DEC ,所以,DB=DC. ………10 分
?1 2 ? ? x ? B.依题意, ? ? ? ?? ?3 4 ? ? 3 ?
A C F E B O D

………16 分

第Ⅱ卷(附加题,共40分)

? x ? 6 ? y ? 4, ? x ? 0, ? y ? 4? ? y ? 2 ? ,即 ?3x ? 12 ? y ? 2,解得 ? y ? 10, ? ? ? ? 7? ? 1 ?5 10 22

?1 M2 ? ? ?3

?2 ? 1 ? ?2 ?? ?? 4 3? ?? ? ?4

? x ? ?7 10 ? ? 0 ? ?100 ? 所以, M 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?. ? y ? ?15 22? ?10? ? 220?

………10 分

C.由 ? ? 2 5 sin ? ,可得 x2 ? y2 ? 2 5 y ? 0 , 即圆 C 的方程为 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5 .

? 2 2 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 将 l 的参数方程 ? 代入圆 C 的直角坐标方程,得 ? 3 ? , t? ?? t? ? ? ? ?5 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? y? 5? t, ? ? 2
即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 . 由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 .故可设 t1、t2 是上述方程的两个实根,

?t ? t ? 3 2, ? 所以 ? 1 2 又直线 l 过点 P(3, 5) , ? ?t1 ? t2 ? 4.
故由上式及 t 的几何意义得 | PA | ? | PB |?| t1 | ? | t2 |? t1 ? t2 ? 3 2 . D.因为不等式 x2 ? ax ? b ? 0 的解集也为 ?1, 2 ? , 所以可得, a ? 3 , b ? 2 . 第 11 页,共 13 页 ………10 分

又函数 f ( x) ? (a ? 1) x ? 3 ? (b ? 1) 4 ? x ? 2 x ? 3 ? 4 ? x , 由柯西不等式可得: (2 x ? 3 ? 4 ? x )2 ? (22 ? 12 )[( x ? 3)2 ? ( 4 ? x )2 ] , 当且仅当 2 x ? 3 ? 4 ? x 即 x ? 所以,当 x ?

16 ?[3,5] 时取等号, 5
…10 分

16 时, 函数 f ( x) ? (a ?1) x ? 3 ? (b ?1) 4 ? x 取得最大值 5 . 5

22.(1)因为 AB 是圆 O 的直径,所以 AC ? CB 以 C 为原点,CB 为 x 轴正方向,CA 为 y 轴正方向,CD 为 z 轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系 因为 AC=BC=BE=2, 所以 C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2),D(0,0,2), ???? 所以 AD ? (0, ?2,2) 设 BE 边上是否存在一点 M,设 M (2,0, ? ), ? ? ?0, 2?
y A z D E

O

x B

???? ? 所以 CM ? (2,0, ? )
???? ???? ? 所以 cos ? AD, CM ??
解得 ? ? 2 所以,当点 M 与点 E 重合时, AD 和 CM 的夹角为 60? . ?? ? (2)平面 BCE 的法向量 m ? ? 0,1,0? ,设平面 OCE 的法向量 n ? ? x0 , y0 , z0 ?

C

2? 2 2 4??
2

?

1 2

………5 分

??? ? ??? ? 由 CE ? ? 2,0,2? , CO ? ?1,1,0? ? ??? ? ?n? CE ? 0 ?2 x ? 2 z0 ? 0, ? z ? ? x0 , ? 所以 ? ? ??? ,即 ? 0 ,故 ? 0 ? CO ? 0 ? ? x0 ? y0 ? 0, ? y0 ? ? x0 , ?n? ? 令 x0 ? ?1, n ? ? ?1,1,1?
因为二面角 O-CE-B 是锐二面角,记为 ? , ?? ? m?n ?? ? 则 cos ? m, n ? ? ?? ? ? 3 . 3 m ?n 故锐二面角 O-CE-B 的余弦值为

3 . .....................................10 分 3
1 1 1 ? ??? ) , S1 S2 Sn

23.(1)当 n ? 2 时,由 2( Sn ? Sn ?1 ) ? (n ? 1)( 可得 2a2 ? 3 ? (1 ? 猜想 an ? n .

1 ) ,所以 a2 ? 2 ,同理 a3 ? 3 1 ? a2

第 12 页,共 13 页

当 n ? 1, 2 时,命题成立, 假设当 n ? k 时命题成立,即 ak ? k , 则当 n=k+1 时, 2( Sk ?1 ? Sk ) ? (k ? 1 ? 1)( 所以 ak ?1 ? 因为 Sk ? 所以
1 1 1 ? ??? ) S1 S2 Sk ?1

k ?1?1 1 1 1 1 ( ? ??? ? ) 2 S1 S2 Sk S k ?1

k (k ? 1) , 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ??? ? ? 2 ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? S1 S2 S k S k ?1 2 2 3 k k ? 1 ? S k ? a k ?1 ?
? 2(1 ? 1 1 2k 1 )? ? ? , k ? 1 Sk ? ak ?1 k ? 1 Sk ? ak ?1

? ? ? k ? 2 ? 2k 1 即 ak ?1 ? ? ? ? 2 ? k ? 1 k (k ? 1) ? a ? k ?1 ? 2 ?
解得 ak ?1 ? k ? 1 所以,当 n ? k ? 1 时命题成立, 综上, an ? n . ……………5 分
2? ? ? 4, n?
n

? (2)当 n≥2 时,欲证 4an an ? an? 2an?2 ?2 ,只需证明 ? 1 ? ?
n

n(n ? 1) 4 ? 2? 0 1 2 1 2 2 2 n 2 n ? Cn ( ) ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) ?1? 2 ? ? 2 ?4 因为 ?1 ? ? ? Cn n n n n 2 n ? ?

所以对任意正整数 n(n≥2),都有 4an an ? an? 2an?2 ?2 成立.

…………10 分

第 13 页,共 13 页


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