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高中数学抛物线两个结论的推导


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高中数学抛物线两个结论的推导 作者:毋晓迪 李东 王换 来源:《学园》2015 年第 12 期 【摘 要】笔者在研究抛物线时发现了抛物线的两个结论,抛物线上的切线有很多性质, 它能和许多角联系起来,解决一些角与角的转换问题,通过参考文献,笔者现将之整理成文, 现与大家共同探讨。 【关键词】抛物线 切线 角平分线 重要结论 【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810(2015)12-0128-02 一 两个结论 结论 1:如图 1,F 是抛物线的焦点,M 是抛物线上任意一点,MT 是抛物线在 M 的切 线,MN 是法线,ME 是平行于坐标轴的直线,则法线 MN 必平分∠FME,即 φ1=φ2。 结论 2:如图 2,M、N、P 三点在抛物线的准线上,M、N 在 P 点异侧,F 是抛物线的焦 点,过 P 向抛物线引两条切线 PA、PB,则 PA、PB 平分∠FPM,∠FPN。 上述两个结论主要考查直线、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方 程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识。 二 通性通法分析 比较这两个结论可以看出它们的共同特征:(1)条件:抛物线上的切线问题,给定抛物 线 C:y2=2px。结论 1 是在抛物线上任取一点 M 做一条切线 MT,结论 2 是从抛物线准线上任 取一点 P 向抛物线上引两条切线 PA、PB。切点为 A、B;(2)研究的问题相近:切线平分角 的问题,涉及直线与焦点有关。查阅高考试题及有关高中的数学资料,可以找到诸多与此相似 的问题,由于抛物线方程可以看作为函数的表达式,因而研究的思路更加宽阔、活跃,在高考 试题中频频出现。 求抛物线切点弦所在直线方程的常见通法是:设出切点坐标,用导数表示切线的斜率写出 切线方程,利用已知点在切线上展开思路。(2)联立方程研究位置关系。利用已知设出切线 方程,联立切线方程与抛物线方程,利用判别式为 0 展开思路。(3)待定所求直线方程,通 常用斜截式。联立直线方程与抛物线方程,用韦达定理列出切点坐标,再利用导数的几何意义 列式消参求出所待定的系数。用导数求切线的斜率和联立方程研究直线与抛物线的位置关系均 为课标的要求,在人教 A 版教材中的例、习题中都有相应的题目。 三 解题思路和策略 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 两个结论都先从导数的几何意义入手,将切点坐标设出来。 结论 1 是根据两垂直直线斜率之积等于-1,根据点斜式写出垂直与切线且经过切点的直线 方程,计算出此直线与抛物线轴的交点坐标 N,计算出|FN|和|FM|的长度,判断出△ FNM 是等 腰三角形,再根据 ME∥轴线推出内错角相等,即证。详细证明过程如下: 结论 1 证明:取坐标系如图,设此时抛物线方程为 y2=2px(p>0),因为 ME 平行 x 轴 (抛物线的轴),∴φ1=φ2,设点 M 的坐标为(x0,y0),对 y2=2px 两边求导得:2yy′=2p。 即: 所以,直线 MT 的斜率为 。 则法线 MN 的方程是 y-y0=- (x-x0),令 y=0, 便得到法线与 x 轴的交点 N 的坐标(x0+p,0),所以|FN|= |x0+p- |=x0+ ,又由抛物线的定义可知,|MF|=x0+ , ∴|FN|=|FM|,由此得到 φ1=φ2=φ3,若 M 与顶点 O 重合, 则法线为 x 轴,结论仍然成立。 结论 2 是设出切点坐标,利用点斜

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