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高三理科数学通项与前n项方法总结


数学高三专题

数列通项与前 n 项求和方法总结

题型一:分组求和
分组求和法 :在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法 求和. 例 1、 求数列的前 n 项和:1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

拓展变式练习 1、求和: Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ?

? (?1)n (2n ? 1)

题型一:倒序相加法
倒序相加法 :若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用 倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). 例 2、求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

拓展变式练习
1、已知 f ( x) ?

x2 1 1 1 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =______; 2 2 3 4 1? x

题型一:错位相减法
错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相 减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 例 3、 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1

拓展变式练习 2 4 6 2n 1、求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

高考频点(四) :裂项相消法 :如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常 选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: ①

1 1 ? 1 ? 1 ;② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ), ? ? ? 2? ? ? ; 2 k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 1 1 1 1 ④ ; ? ? ? [ ? ] ;⑤ (n ? 1)! n! (n ? 1)! n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 2 2 ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) . n ? n ?1 n n ? n ?1
③ 例 4、 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

拓展变式练习
1、求和:

1 1 ? ? 1? 4 4 ? 7

?

1 ? (3n ? 2) ? (3n ? 1)



2、在数列 {an } 中, a n ?

1 n ? n ?1

,且 Sn=9,则 n=_____



高考频点(五)通项转换法 :先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。

?? ? ?1 之和. 例 5、求1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ? ?
n个1

拓展变式练习
1、求数列 1×4,2×5,3×6,?, n ? (n ? 3) ,?前 n 项和 S n = ;

2、求和: 1 ?

1 1 ? ? 1? 2 1? 2 ? 3

?

1 1? 2 ? 3 ?

?n

?



高考频点(六) :累加法. 例 6 已知 an?1 ? an ? 2n ? 1得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

拓展变式练习
1、已知数列{an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

2、已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

高考频点(七) 、累乘法 例 7 已知数列{an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

拓展变式练习
1、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ? 1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。

DSE、这类题思考方法, 1、把递推关系式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

2、求出

an an?1 ? ? an ?1 an ?2

?

a3 ? a2 a2

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.数列{an }的通项公式为 an =(-1)n -1 · (4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于( A.200 2.数列 1, B.-200 C.400 D.-400 ) )

1 1 1 , ,?, 的前 n 项和为( 1+2 1+2+3 1+2+?+n

A.

2n 2n+1

2n B. n+1

n+2 C. n+1

n D. 2n+1 )

3.设 f (n)=2+2 4 +27 +210 +?+23 n +10 (n∈N),则 f (n)等于( 2 n A. (8 -1) 7 2 n +1 B. (8 -1) 7 2 n +3 C. (8 -1) 7

2 n +4 D. (8 -1) 7 )

3 4.若数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn = an -3,则数列{an}的前 n 项和 Sn 等于( 2 A.3
n +1

-3

B.3 -3

n

C.3

n +1

+3

D.3 +3 )

n

1 1 1 1 1 5.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n ,?的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 A.n2 +1- 1 n 2 B.2n2 -n+1- 1 n 2 1 C.n2 +1- n -1 2 1 D.n2 -n+1- n 2

1 9 6. 数列 an = , 其前 n 项之和为 , 则在平面直角坐标系中, 直线(n+1)x+y+n=0 在 y 轴上的截距为( n(n+1) 10 A.-10 B.-9 C.10 D.9

)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.已知函数 f (x)对任意 x∈R,都有 f (x)=1-f (1-x),则 f (-2)+f (-1)+f (0)+f(1)+f(2)+f (3)=________. 1 2 3 4 n 8. + 2 + 3 + 4 +?+ n -2 等于________. 2 2 2 2 2 9.数列 1 1 1 1 , , , ?的前 n 项和等于________. 12 +2 22 +4 32 +6 42 +8 (n为奇数) (n为偶数) ,且 an =f (n)+f (n+1),则 a1 +a2 +?+a1000 =__________.

2 ? ?n ? 10.函数 f (n)= 2 ?-n ?


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