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基本求导公式


这是基本求导公式,只能根据导数的定义来求。 导数的定义就是给 X 一个增 Δx,求出 ΔY,然后求 ΔY/Δx 的极限(当 Δx→0 时) 。 函数是 Y=X^n ΔY=(X+Δx)^n-X^n 把(X+Δx)^n 展开(按 n 为正整数) ,展开式写起来很麻烦,我给你叙述一下,你应能理解。 展开式中,第一项是 X^n,最末项是(Δx)^n,中间的项中,X 是降幂,Δx 是升幂,

系数是前后对称,如 n=2,系数是 1,2,1;n=3,系数是 1,3,3,1;等等。注意,n 是几,第二项的系数就是几。 只需考虑展开式中的前两项。 第一项是 X^n,它将会与 ΔY=(X+Δx)^n-X^n 中的-X^n 项抵消。 第二项是[nX^(n-1)]*Δx,其后的项中,Δx 的方次都比 1 大。 现在来考虑比值 ΔY/Δx,前边说过,第一项已消失,第二项除以 Δx 后为[nX^(n-1)],其后各项除以 Δx 后 都还剩有 Δx 因子。因此,当 Δx→0 取极限时,就只剩下[nX^(n-1)],其后的项都成为 0 了。 这就是你要证的求导公式。 (顺便说一下,上述是以 n 为正整数来证明的,n 为任意实数时也是成立的。 ) (X+Δx)^n 的展开式在纸上写起来也并不太麻烦,只是在这里写起来,为避免误会,需加的括号太多,就显 得麻烦了。 第一项系数是 1,第二项系数是 n, 第三项系数是 [n(n-1)]/(1*2) 10~12 是利用函数的商的求导法则。如(secx)'=secx*tanx。 (secx)'=(1/cosx)'=-(cosx)'/(cosx)^2=sinx/(cosx)^2=secx*tanx

13~16 是利用反函数的求导法则:y=f(x)的反函数是 x=g(y),则 dx/dy=1/(dy/dx)。 如(arcsinx)'=1/√(1-x^2)。 y=arcsinx 的反函数是 x=siny。已知 dx/dy=(siny)'=cosy=√(1-x^2)。 所以 dy/dx=1/(dx/dy)=1/√(1-x^2)。即(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

f(x)=c, 则 f '(x)=0 f(x)=x^n,则 f '(x)=nx^n-1 f(x)=sinx,则 f '(x)=cosx f(x)=cosx,则 f '(x)=-sinx f(x)=a^x,则 f '(x)=a^xlna(a>0) f(x)=e^x,则 f '(x)=e^x f(x)=logax,则 f '(x)=1/xlna(a>0 且 a 不等于 1) f(x)=lnx,则 f '(x)=1/x

四、基本求导法则与导数公式 1. 基本初等函数的导数公式和求导法则

基本初等函数的求导公式和上述求导法则, 在初等函数的基本运算中起着重要的作 用, 我们必须熟练的掌握它, 为了便于查阅, 我们把这些导数公式和求导法则归纳如下: 基本初等函数求导公式 (1) (3) (5) (7) (9)

(C )? ? 0 (sin x)? ? cos x

(2) (4) (6) (8) (10)

( x ? )? ? ?x ? ?1
(cosx)? ? ? sin x

(tanx)? ? sec 2 x
(sec x)? ? sec x tan x

(cot x)? ? ? csc 2 x
(csc x)? ? ? csc x cot x

(a x )? ? a x ln a
(log a x)? ? 1 x ln a

(ex )? ? ex
(ln x ) ? ? 1 x,

(11)

(12)

(arcsin x)? ?
(13)

1 1? x2
1 1 ? x2
(14)

(arccosx)? ? ?

1 1? x2
1 1 ? x2

(arctan x)? ?
(15)

(arc cot x)? ? ?
(16)

函数的和、差、积、商的求导法则



u ? u ( x) , v ? v( x) 都可导,则

(1)

(u ? v)? ? u ? ? v? (uv)? ? u ?v ? uv?

(2 )

(Cu )? ? Cu ? ( C 是常数)

(3)

(4 ) 反函数求导法则

? ? u ? u ?v ? uv ? ? ? ? v2 ?v?

若函数

x ? ? ( y ) 在某区间 I y 内可导、 ? ?( y) ? 0 , y ? f ( x) 单调且 则它的反函数

I 在对应区间 x 内也可导,且
dy 1 ? dx dx dy

1 f ?( x) ? ? ?( y )
复合函数求导法则



设 y ? f (u ) ,而 u ? ? ( x) 且 f (u ) 及 ? ( x) 都可导,则复合函数 y ? f [? ( x)] 的 导数为

dy dy du ? dx du dx 或 y? ? f ?(u ) ? ?( x)

上述表中所列公式与法则是求导运算的依据,请读者熟记. 1 2 下一页


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