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14.3.2一次函数与一元一次不等式 (公开课)


观察与思 考 已知:函数y=2x-4,回答下列问题:
①画出函数图象

②当自变量x为何值时,直线y=2x-4 上的点在x轴的上方? 当X>2时 ③当自变量x为何值时函 o 数y=2x-4的值大于0? 将y>0代入y=2x-4中,得2x-4>0 解,得x>2 -4
④解不等式2x-4>0
解,得x>2

>y

y=2x-4

2

x

一次函数与一元一次不等式

我们来看下面的问题
1.解不等式:5x+6>3x+10 2. 当自变量x为何值时函数y=2x-4值大于0? 这两个问题有什么关系?
这两个问题实 际是同一个问 题

一次函数与一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以转 化为ax+b >0或ax+b<0(a,b为常 数,a≠0)的形式,所以解一元一次 不等式可以看作:当一次函数值大 于或小于0时,求自变量相应的取 值范围

一次函数与一元一次不等式

画出函数y=2x-4 的图象
观察函数 y=2x-4的图像。可以看出 >2 当x______时,直线上的点全在x轴 的上方。 即:x>2时 y=2x-4 >0

y y=2x-4

0

2

x

由此可知:通过函 数图像可以求不等 式的解集

-4

任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b >0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0) 的形式。 解一元一次不等式可以: 从数的角度看,就是求一次函数y= ax+b 的值大于或小于0时相应的自变量的取值 范围; 从形的角度看,就是确定直线y=ax+b 在x轴上(或下)方部分所有的点的 横坐标所构成的集合。

1.根据下列一次函数的图象,你能求出哪 些不等式解集?并直接写出相应不等式的 解集?

-2
O

y y=3x+6


O

y y=-x+3

x

3

x

用画函数图象的方法解不等式:

5x+4<2x+10
解法一: 不等式化为 3x-6 <0 画出函数y=3x-6的图像 由图像可以看出: 当 x<2 时这条直线上 的点在x轴的下方,
0

y

y=3x-6
2

x

这时 y=3x-6 <0 ∴ 此不等式的解集为x <2

-6

解法二: 把 5x+4<2x+10 看做两个 一次函数y=5x+4和y=2x+10,

y 14

画出y=5x+4和y=2x+10的图像. 由图像可知

10

它们的交点的横坐标为2.
当x <2时直线y=5x+4 上的 点都在直线y=2x+10的下方.
4

即5x+4<2x+10
∴此不等式的解集为 y=2x+10
-5
0

2

x

x <2

y=5x+4

两种解不等式的方法都是把 不等式转化为比较直线上点 的位置的高低 y
y=3x-6
x
0

y
14

10
2

4

-6

-5

0

2

x

y=2x+10

y=5x+4

求ax+b>0(a≠0)的解 从数的角度看:
x为何值时 ,y=ax+b的值大于0 ? 求ax+b>0(a≠0)的解

确定直线y=ax+b在x轴上方的图 象所对应的x的值

1

1. 当自变量x的取值满足什么条件时, 函数y=3x+8的值满足下列条件? y (1)y= -7 (2)y<2
解法一: (1)画直线 y=3x+8
8

由图象可知

y=-7 时对应的 x=-5
∴ 当x=-5时, y=-7

-5
8 3
0

x

-7
y=3x+8

随堂练习 1

1. 当自变量x的取值满足什么条件时, 函数y=3x+8的值满足下列条件? y (1)y= -7 (2)y<2 15
解法二: 要使y= -7,

即3x+8 = -7,变为3x+15 =0

画直线 y=3x+15, 由图象可知
当x=-5时, 3x+15 =0

∴ 当x=-5时, y=-7
y=3x+15

-5

0

x

随堂练习 1

1. 当自变量x的取值满足什么条件时, 函数y=3x+8的值满足下列条件? y (1)y= -7 (2)y<2
解: (2)画直线 y=3x+8
8

由图象可知

2
8 -2 3
0

y<2 时对应的 x<-2
∴ 当x<-2时, y<2
y=3x+8

x

随堂练习 1

1. 当自变量x的取值满足什么条件时, y 函数y=3x+8的值满足下列条件? (1)y= -7 (2)y<2
解法二: 要使y<2,
6

即3x+8 <2 ,变为3x+6<0

画直线 y=3x+6, 由图象可知
当x<-2时, 3x+6 <0

∴ 当x<-2 时, y<2

-2 y=3x+6

0

x

2. 利用函数图象解出x: (1)5x-1=2x+5 (2)6x-4<3x+2 解: y y=3x-6 原方程化为 3x-6 =0

画出函数y=3x-6的图像
由图像可以看出: 当 x=2 时, y=0.

0

2

x

即 x=2 时, 3x-6 =0. ∴ 此方程的解为 x =2
-6

2. 利用函数图象解出x: (2)6x-4<3x+2 解: 不等式化为 3x-6 <0 画出函数y=3x-6的图像 由图像可以看出: 当 x<2 时这条直线上 的点在x轴的下方, 这时 y=3x-6 <0

y

y=3x-6 x

0

2

∴ 此不等式的解集为x <2

-6

3、如图,利用y=-2.5x+5 的图象, (1)求出-2.5x+5=0 的解; (2)求出-2.5x+5>0 的解集; (3)求出-2.5x+5≤0的解集; (4)你能求出-2.5x+5>3的解集吗? (5)你还能求出哪些不等式的解集呢?
y

5

0

2

x

回顾

小结

通过这节课的学习,你有什么收获?
用一次函数图象来解一元一次不等式 一次函数、一元一次不等式之间的联系

随堂练习 2

1.若y1=-x+3,y2=3x+4,当x取何值时, y1>y2? 2.兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后 自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3m,哥哥每 秒跑4m.列出函数关系式,作出函数图象, 观察图象回答下列问题: (1)何时弟弟跑在哥哥前面? (2)何时哥哥跑在弟弟前面? (3)谁先跑过20m?谁先跑过100m?

1、某单位准备和一个体车主或一国营出 租车公司中的一家签订月租车合同,设汽 车每月行驶x 千米,个体车主收费y1元, 国营出租车公司收费为y2元,观察下列图 象可知(如图1-5-2),当x________时,选 用个体车较合算.

基础练习,提高能力 (4,0)

x>4

x<4
4<x<6

x>6

y=2

y=-1

试一试 :
1、如图是函数 y ? x ? x ? 2 的图象,则不等式
2

x ?x?2?0
2
y

x ? 2或 x ? ? 的解集是___________ 1
x ?x ? 2 ? 0 ,则解是 问:若
2

x ? ? 1或 2
-1 0 2 x

,则解集是 问:若
x ?x ? 2 ? 0
2

?1? x ? 2

已知函数 y ? x ? x ? 2 的图象与直线 问题2:
2

y??
2

7 10

x?

7 10
7 10

7 交与点( ? 3 , ),( 2 4

9 5

, ?

14 25
3

) 则不等式
9

x ?x?2??

x?

7 10

x ? ? 或x ? 的解集为____________ 2 5

y

-1 0

2

x


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