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高二数学期末试卷(理科)及答案


高二数学期末考试卷(理科)
一、选择题(本大题共 11 小题,每小题 3 分,共 33 分) 1、与向量 a ? (1, ?3, 2) 平行的一个向量的坐标是(

?



1 ,1,1) 3 1 3 C. (- , ,-1) 2 2
A. (

B. (-1,-3,2) D.

( 2 ,-3,-2 2 )

2、设命题 p :方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两根符号不同;命题 q :方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两根之 和为 3,判断命题“ ?p ” 、 “ ?q ” 、 “ p?q” 、 “ p ? q ”为假命题的个数为( A.0 B.1
2 2

)

C.2

D.3 )

3、 “a>b>0”是“ab< A.充分而不必要条件 C.充要条件 4、椭圆 A.5

a ?b ”的 ( 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ).

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值等于 ( m 4
B.8 C.5 或 3 D.5 或 8

5、已知空间四边形 OABC 中, OA ? a, OB ? b, OC ? c ,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA, N 为 BC 中点,则 MN =( )

1 2 1 a? b? c 2 3 2 1 1 1 C. a ? b ? c 2 2 2
A.

2 1 1 a? b? c 3 2 2 2 2 1 D. a ? b ? c 3 3 2
B. ? )

6、抛物线 y ? 4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标为( A.

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D.0

7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x+2y-3=0,则该双曲线的离 心率为( )
5 3 5 5 B. 5 或 C. 3 或 D.5 或 2 2 4 3 8、若不等式|x-1| <a 成立的充分条件是 0<x<4,则实数 a 的取值范围是 ( A.a ? 1 B.a ? 3 C.a ? 1 D.a ? 3

A.5 或

)

9、已知 a ? (1 ? t,1 ? t, t ),b ? (2, t, t ) ,则 | a ? b | 的最小值为 (



A.

5 5

B.

55 5

C.

3 5 5

D.

11 5
( )

10、已知动点 P(x、y)满足 10 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 =|3x+4y+2|,则动点 P 的轨迹是 A.椭圆 11 、 已 知 P 是 椭 圆 B.双曲线 C.抛物线 D.无法确定

x2 y2 ? ? 1 上的一点,O 是坐标原点,F 是椭圆的左焦点且 25 9


OQ ?

1 (OP ? OF ), | OQ |? 4 ,则点 P 到该椭圆左准线的距离为( 2 5 A.6 B.4 C.3 D. 2

高二数学期末考试卷(理科)答题卷
一、选择题(本大题共 11 小题,每小题 3 分,共 33 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 12、命题: ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 的否定是 13、若双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 的左、右焦点是 F1 、 F2 ,过 F1 的直线交左支于 A、B 两点, 若|AB|=5,则△AF2B 的周长是 . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

14、 若 a ? (2,3,?1) , 则 a, b 为邻边的平行四边形的面积为 b ? (?2,1,3) , 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为正常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为椭圆;

??? ?

??? ?

x2 y 2 x2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点; ②双曲线 25 9 35 2 ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; 25 5 x2 y 2 ? ?1. ④和定点 A(5,0) 及定直线 l : x ? 的距离之比为 的点的轨迹方程为 4 4 16 9
其中真命题的序号为 _________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 55 分) 16、 (本题满分 8 分)已知命题 p:方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q: 2m m ? 1

双曲线

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,若 p, q 只有一个为真,求实数 m 的取值范围. 5 m

17、 (本题满分 8 分)已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,试用向量法求平面 A1BC1 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值。

18、 (本题满分 8 分) (1)已知双曲线的一条渐近线方程是 y ? ? (2)求以双曲线

y2 x2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆标准方程。 16 9

3 x ,焦距为 2 13 ,求此双曲线的标准方程; 2

19、 (本题满分 10 分)如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=1,∠BCA=90°, 棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.
C1 B1

(1)求 BN 的长;
A1

M

(2)求 cos< BA1 , CB1 >的值; (3)求证:A1B⊥C1M.
N C B A 第19题图

20、 (本题满分 10 分)如图所示,在直角梯形 ABCD 中,|AD|=3,|AB|=4,|BC|= 3 ,
曲线段 DE 上任一点到 A、B 两点的距离之和都相等. (1)建立适当的直角坐标系,求曲线段 DE 的方程; (2)过 C 能否作一条直线与曲线段 DE 相交,且所 得弦以 C 为中点,如果能,求该弦所在的直线 的方程;若不能,说明理由.

2 21、 (本题满分 11 分)若直线 l: x ? m y ? c ? 0 与抛物线 y ? 2 x 交于 A、B 两点,O 点

是坐标原点。 (1)当 m=-1,c=-2 时,求证:OA⊥OB; (2)若 OA⊥OB,求证:直线 l 恒过定点;并求出这个定点坐标。 (3)当 OA⊥OB 时,试问△OAB 的外接圆与抛物线的准线位置关系如何?证明你的结论。

高二数学(理科)参考答案:
1、C 2、C 11、D 3、A 4、C 5、B 6、B 7、B 8、D 9、C 10、A

12、 ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0

13、18

14、 6 5

15、②③

16、p:0<m<

1 3

q:0< m <15

1 p 真 q 假,则空集;p 假 q 真,则 ? m ? 15 3

1 故 m 的取值范围为 ? m ? 15 3
17、如图建立空间直角坐标系, A1C1 =(-1,1,0) , A1 B =(0,1,-1) 设 n1 、 n2 分别是平面 A1BC1 与平面 ABCD 的法向量, 由

n1 ? A1 B ? 0 n1 ? A1C1 ? 0

可解得 n1 =(1,1,1) A1

z D1 B1 D C y x B C1

易知 n2 =(0,0,1) , 所以, cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 ? n2



3 3

A

所以平面 A1BC1 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为

3 。 3

18、 (1)

x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ? 1. (2) ? ? 1或 ? ? 1; 9 25 4 9 9 4

19、如图,建立空间直角坐标系 O—xyz.
(1)依题意得 B(0,1,0) 、N(1,0,1) ∴| BN |=

(1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3 .

(2)依题意得 A1(1,0,2) 、B(0,1,0) 、C(0,0,0) 、B1(0,1,2)

CB1 = CB1 =3, ∴ BA1 = (1, -1, 2) , (0, 1, 2) , BA1 ·
| BA1 |=

6 ,| CB1 |= 5
BA1 ? CB1 1 ? 30 . | BA1 | ? | CB1 | 10

∴cos< BA1 , CB1 >=

第 19 题图

(3)证明:依题意,得 C1(0,0,2) 、M(

1 1 , ,2) , A1 B =(-1,1,-2) , 2 2

1 1 1 1 C1 M =( , ,0).∴ A1 B · C1 M =- ? +0=0,∴ A1 B ⊥ C1 M , 2 2 2 2
∴A1B⊥C1M.

20、 (1)以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系,
则 A(-2,0) ,B(2,0) ,C(2, 3 ) ,D(-2,3) . 依题意,曲线段 DE 是以 A、B 为焦点的椭圆的一部分.

?a ?

1 (| AD | ? | BD |) ? 4, c ? 2, b 2 ? 12 2

∴所求方程为

x2 y2 ? ? 1(?2 ? x ? 4,0 ? y ? 2 3 ) 16 12

(2)设这样的弦存在,其方程为:

y ? 3 ? k ( x ? 2),即y ? k ( x ? 2) ? 3, 将其代入

x2 y 2 ? ?1 16 12

得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? (8 3k ?16k 2 ) x ?16k 2 ?16 3k ? 36 ? 0 设弦的端点为 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则由

x1 ? x2 8 3k ? 16k 2 3 ? 2, 知x1 ? x2 ? 4,?? ? 4, 解得k ? ? . 2 2 3 ? 4k 2
∴弦 MN 所在直线方程为 y ? ?

3 x ? 2 3, 验证得知, 2

这时 M (0, 2 3), N (4,0) 适合条件. 故这样的直线存在,其方程为 y ? ?

3 x ? 2 3. 2

21、解:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由 ?

?x ? m y? c ? 0 得 y 2 ? 2my ? 2c ? 0 2 y ? 2 x ?

可知 y1+y2=-2m y1y2=2c ∴x1+x2=2m2—2c x1x2= c2, (1) 当 m=-1,c=-2 时,x1x2 +y1y2=0 所以 OA⊥OB. (2) 当 OA⊥OB 时,x1x2 +y1y2=0 于是 c2+2c=0 ∴c=-2(c=0 不合题意),此时,直线 l:

x ? my ? 2 ? 0 过定点(2,0).

(3) 由题意 AB 的中点 D(就是△OAB 外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。

1 1 D(m 2 ? c,?m) 而(m2—c+ )2-[(m2—c)2+m2 ]= ? c 2 4

由(2)知 c=-2

∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB 的外接圆与抛物线的准线相离。


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