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复数单元综合测试题


复数单元综合测试题
一、选择题: 1、若用 C、R、I 分别表示复数集、实数集、纯虚数集,则有( (A) C ? R ? I 2、若 ( x
2 2

) (D) R ? I ? ? ) (D) ? 1 或 ? 2 (B) i
4 n ?3
n

(B) R ? I ? {0} (C)±1


(C) R ? C ? I

? 1) ? ( x ? 3x ? 2) i 是纯虚数,则实数 x 的值为(

(A)1 (B) ? 1 3、下列说法正确的是( ) (A) 0i 是纯虚数 (C) ? a 的平方根是 ? ai 4、下列复数是三角形式的是(

? i (n ? z )
n ?1

(D) i ? i )

? i n ? 2 ? i n ?3 ? 0

1 ? ? ? i sin ) (A) (cos 2 4 4 7 7? ? (C) cos ? ? sin 5 5

1 ? ? (cos ? i sin ) 2 3 3 1 3 3 (D) (sin ? ? i cos ? ) 2 4 4
(B) ? )

5、若复数 3+i 与 2+3i 对应的点分别为 P 与 Q,则向量 PQ 对应的复数为( (A)5+4i 6、 ( (B)1-2i ) (B)0 (D)i (C)-2i (C)-1+2i (D)

1 ?i 2

2 6 2 6 ) ?( ) 的值为( 1? i 1? i
(A)2i

) ? a ? 2i(a ? R), z 2 ? 2 ? i ,且 | z1 | ? | z 2 | ,则 a 的取值范围是( (A) (?1,1) (B) (??, ? 1) (C) (1, ? ?) (D) (??,?1) ? (1,??) 8、若 | z ? 3 ? 4i | ≤2,则| z | 的最大值是( ) 7、复数 z1 (A)9 9.已知 (B)7 (C)5 ( 4,2 ) (D) ) (C) ) (D)3

z ? 1,则 z ? 1? 3i 的最大值和最小值分别是

A 3,1 B 2,1 C 3,2 D 10、若复数 i ? 2和i ? 3 的辐角主值为α ,β ,则α +β =( (A)

4? 3

(B)

7? 4

(C)

11? 6

15? 4
(D)

11、设 | z |=1,当| z+1-i | 最大时,argz 的值是( (A)

3 ? 4

(B)

12、设 z ? sin (A)1

?
6

? i cos

?
6

5 ? 4

7 ? 4
) (D)7

3 7 ?或 ? 4 4

, 则满足 z n ? z 的最小自然数 n 为(
(B)3 (C)5
O

13、将复数 ? 2 )

3 ? 4i 对应向量 OZ 按顺时针方向旋转 60 到 OZ1 ,则向量 OZ1 对应的复数是(
(D) 2

(A) ? 2 3 ? 4i (B) 3 ? 5i (C) ? 3 3 ? i 14、若复数 z 满足 | z+2 | = | z-i | ,则 z 所对应的点 Z 的集合构成的图形是( (A)直线 (B)圆 (C)椭圆

3 ? 4i

) (D)双曲线

1

15、方程 z2= z 的解的个数是( ) (A)2 (B)3 (D)5 16、在复平面内,椭圆|z+3+i|+|z-1+2i|=20 的焦距是( (A)

(C)4 )

(B) 15 (C) 5 17 (D) 19 2 17、若方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在复数集中的两个根分别为α ,β ,则下列结论中恒 成立的 是( ) (A) α 、β 互为共轭复数 (C) |α -β |= (B)当△=b2-4ac≥0 时,α ,β ∈R (D) ? ?

(? ? ? ) 2 ? 4??

? ? ? , ?? ?

b a

c a

18、已知复数 是( (A)

1 3 ? i 是方程 x 2 ? px ? q ? 0( p、q ? R) 的一个根,则复数 p ? qi 的辐角主值 2 2
) (B)

3? 4

? 3

(C)
2

7? 4

(D)

? 4


19、复数 z1、z2 的对应复平面上的两点 A、B,若 4 z1 (A)等边三角形 (C)一锐角为 30O 的直角三角形 20、若 z1,z2∈C,则 z1 z 2 (A)纯虚数 确定

? 2 z1 z 2 ? z 22 ? 0 ,则△AOB 是(
(B)等腰直角三角形 (D)顶角为 120O 的等腰三角形

? z1 z 2 是(
(B)实数

) (C)虚数 (D)不能

21、设集合 M ? {z | | z ? 1 | ≤1,z∈C},集合 N={z | arg z ≥ 平面内对应的图形面积是( (A) ) (B)

?
6

, z ? C} ,那么 M ? N 在复
5? 1 ? 6 4

?
6

?

3 4

5? 3 ? 6 4

(C)

?
3

?

1 4

(D)

二、填空题 22、复数 3 ? 3i 的三角形式是____________________________. 23、-1 的平方根是__________ 24、A、B、C 是△ABC 的三个内角,则 (cos A ? i sin A)(cosB ? i sin B)(cosC ? i sin C) ? _____。 25、复数 z 满足 z ? | z |? 2 ? i ,则 z=_____________. 26、复数 z= ? 2(? cos ? ? i sin ? ), ? ? (0, 27、 z1 ,

?
2

) 的辐角主值是_________.

z 2 ? C且 | z1 |? 2, z12 ? 3z 22 ? 0 ,O 为原点,z1,z2 对应复平面内的 A、B 两点,则△

AOB 的面积为_____________.

2 3 对应的向量按逆时针方向旋转 ? 后得到的向量对应的复数为 i,则 z=____. 3 2 2 29、若关于 x 的方程 x ? 5 x ? m ? 0 的两根 z1、z2 满足 | z1-z2 |=3,则实数 m=________.
28、复数 zi ?

2

? x1 ? y1i, z 2 ? x2 ? y2 i( x1、y1、x2、y2 ? R) ,定义运算“⊙” 为: z 1 ⊙ z 2 = x1 x2 ? y1 y 2 . 设非零复数 ?1 , ? 2 在复平面上对应的点分别为 P、P2 ,点 O 为坐标 1 原点.若 ?1 ⊙ ? 2 ? 0 ,则在 ?P OP2 中, ?P OP 的大小为___________. 1 1 2
30、对于任意两个复数 z1

三解答题
31.计算: (-1+i)(2+i) (1) ; 3 i 1-i 1+i (2) 2+ 2; (1+i) (1-i) 1+i 2009 1-i 20 (3)( ) +( ) 2 2 32.复数 z1= 3 +(10-a )i,z2=
2

a+5

2 - +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,求实数 a 的值. 1-a

33.求虚数 z ,使 z ?

4 ? R ,且 z ? 2 ? 2 . z
2

34.设 ? , ? 是关于 x 的方程 x 35.已知复数 z1 , z 2 , z1 (1)若 z1 ?

? 2x ? m ? 0(m ? R) 的两个根,求 ? ? ? 的值.

? z 2 在复平面上分别对应点 A, B, C, O 为复平面的原点.

3 1 ? i ,向量 OA 逆时针旋转 90°,模变为原来的 2 倍后与向量 OC 重合,求 2 2

z2 ;
(2)若 z1

? z 2 ? 2i( z1 ? z 2 ) ,试判断四边形 OACB 的形状.

36.已知 z 为复数,若关于 x 的方程 z ? a z ? 1 ? i 37.对任意一个非零复数 z,定义集合 M z ? 1) 设 ? 是方程 x ? 为 0 的概率 P 2) 设复数 ? ? M z ,求证: M ? 复数单元测试题答案 一、1.D 2.A 3.D 4.C 5.C 15.C 16.A 17.D 18.A 19.C 二、22.

? 0 有解,求实数 a 的取值范围.
2 n ?1

?? ? ? z

,n? N*

?

1 ? 2 的一个根,试用列举法表示集合 M ? 若在 M ? 中任取两个数,求其和 x

? Mz
6.B 20.B 7.A 8.B 9.D 21.B 10.B 11.C 12.C 13.B 14.A

2 3(cos

26.

2? ? ?

5? 5? ? i sin ) 23. ? i 3 3 1 17 2 3 27. 28. ? 29. 4或 2 2 3

24.

?1

25.

30.

? 2

3 ?i 4

3

(-1+i)(2+i) -3+i 31.解:(1) = =-1-3i. 3 i -i 1-i 1+i 1-i 1+i (2) + 2+ 2= (1+i) (1-i) 2i -2i 1+i -1+i = + =-1. -2 2 1+i 2009 1-i 2009 (3)( ) +( ) 2 2 1 2008 2008 = [(1+i) ?(1+i)+(1-i) ?(1-i)] 2009 ( 2) 1 1004 1004 = [(2i) ?(1+i)+(-2i) ?(1-i)] 2009 ( 2) 1 = [1?(1+i)+1?(1-i)]= 2. 2 3 2 - 2 32.解: z 1+z2= +(a -10)i+ +(2a-5)i a+5 1-a 3 2 2 =( + )+[(a -10)+(2a-5)]i a+5 1-a a-13 2 = +(a +2a-15)i. (a+5)(a-1) - 2 ∵ z 1+z2 是实数,∴a +2a-15=0.解得 a=-5 或 a=3. ∵分母 a+5≠0,∴a≠-5,故 a=3. 33、? z ?

4 4 4 4 ? R ,? z ? ? ( z ? ) ? z ? , z z z z
2

化简得: ( z ? z )( z 当z 当 z

? 4) ? 0 ,即 z ? z或 z ? 4 ,
2

? z且 z ? 2 ? 2 ,得 z ? 0, z ? 4 ;
2

? 4 且 z ? 2 ? 2 ,得 z ? 1? 3i .

综上所述: z ? 0, z ? 4 , z 34、 ? ? 4 ? 4m ,

? 1? 3i . ? ?1 ? 1 ? m , ? ? ?1 ? 1 ? m ,

(1)当 ? ? 0 ,即 m ? 1 时,方程有两个实根: ? (a)当 0 ? m ? 1 时, ? (b)当 m ? 0 时, ?

? ? = 1 ? 1 ? m ? 1 ? 1 ? m =2;
? ?1 ? m ? 1i , ? ? ?1 ? m ? 1i

? ? = 2 1? m ;

(2)当 ? ? 0 ,即 m ? 1 时,方程有两个共轭虚根: ?

???

=

1 ? m ?1 ? 1 ? m ?1 ? 2 m .

? 2 1 ? m , ( m ? 0) ? 综上所述: ? ? ? = ?2, (0 ? m ? 1) . ? ?2 m , (m ? 1)

4

? 2 ? 3 2 3 ?1 ? i ;(2)菱形. 2 2 36、? z ? i ? a z ? 1 ? R ,? z ? i ? m(m ? R) 即 z ? m ? i 代入原方程可得
35、(1) z 2 ?

(m ? 1) 2 ? 1 当 m ? 0, a ? 0 ;

a?

?m

? (?1,0) ; 1 1 2 1 2( ? ) ? m 2 2 当 m ? 0 ,可得 a ? 0, 2 . 1 37.(1)? ? 是方程 x ? ? 2 的一个根, x
当m ? 0,a

??

1

?

?

? ? 是方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的一个根,则 ? ?

2 2 ? i. 2 2

? 2 (1 ? i ), n ? 4k ? 2 ? ? 2 (1 ? i ), n ? 4k ? 1 ?? 2n 2n ? i 2 2 ? 2 2 n ?1 * ? ? ?? 当? ? (k ? N ) ? i 时, ? ? ? ? 2 2 2 ?? 2 (1 ? i ), n ? 4k ? 2 ? ? 2 (1 ? i ), n ? 4k ? 3 ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 (1 ? i ),? (1 ? i ),? (1 ? i ), (1 ? i )? . 所以, M ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 (1 ? i ), (1 ? i ), (1 ? i ),? (1 ? i )? . 同理,当 ? ? ? i 时, M ? ? ?? 2 2 2 2 2 ? 2 ? 2 1 所以, P ? 2 ? . C4 3
(2)设 x 为集合 M ? 中的一个元素,则 x ? ?
2 n?1

,n? N*.

? ? ? M Z ,? 存在 k ? N * ,使得 ? ? z 2 k ?1 ,而 ? 2n?1 ? z ( 2k ?1)( 2n?1) , n ? N * . ? (2k ? 1)(2n ? 1) ? 4kn ? 2(k ? n) ? 1 ? 2?k (n ? 1) ? n(k ? 1) ? 1? ? 1 ? 2l ? 1(l, n ? N * ) 其中 l ? k (n ? 1) ? n(k ? 1) ? 1 , ? 它是正奇数,所以 x ? ? 2 n ?1 = z 2l ?1 ? M z ,所以 M ? ? M z

5


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