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【名师一号】2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库:选4-5-2不等式证明的基本方法]


第二节

不等式证明的基本方法

时间:45 分钟 分值:75 分 一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分) 1.设 t=a+2b,s=a+b2+1,则 s 与 t 的大小关系是________. 解析 s-t=b2-2b+1=(b-1)2≥0. 答案 s≥t 2.设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则 a,

b,c 间的大小关 系是________. 解析 由 4 4 4 > > ,得 a>c>b. 2+ 2 6+ 2 7+ 3

答案 a>c>b 3.设 a>b>0,m= a- b,n= a-b,则 m 与 n 的大小关系是 ________. 解析 ∵a>b>0,∴m= a- b>0,n= a-b>0. ∵m2-n2=(a+b-2 ab)-(a-b) =2b-2 ab=2 b( b- a)<0,∴m2<n2, 从而 m<n. 答案 m<n

1 4.设 x>0,则函数 y=3-3x-x的最大值是________. 解析 3-2 1? ? 1 y=3-3x-x=3-?3x+x?≤
? ?

1 3x· x=3-2 3,即 ymax=3-2 3.

答案 3-2 3 12 5.函数 f(x)=3x+ x2 (x>0)的最小值为________.

12 3x 3x 12 解析 f(x)=3x+ x2 = 2 + 2 + x2 ≥ 3 3x 3x 12 3 2· 2· x2 =9, 3x 12 当且仅当 2 = x2 ,即 x=2 时等号成立. 答案 9 1 1 1 1 6.记 S=210+ 10 + 10 +?+ 11 ,则 S 与 1 的大小关 2 +1 2 +2 2 -1 系是________. 解析 ∵ 1 1 1 1 <210, 10 <210,?, 2 +1 2 +2
10

1 1 1 = 10 <210, 10 2 -1 2 +2 -1
11

1 1 1 1 1 1 1 ∴S=210+ 10 + 10 +?+ 11 <210+210+?+210=1. 2 +1 2 +2 2 -1 答案 S<1 1 1 1 7.已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1,则a+b+c的最小值 为________. 1 1 1 解析 把 a+b+c=1 代入a+b+c 得 a+b+c a+b+c a+b+c a + b + c

b a c a c b =3+(a+b)+(a+c)+(b+c ) ≥3+2+2+2=9. 答案 9 8.若 x+y+z=1,则 F=2x2+3y2+z2 的最小值为________. 解析 (2x2+3y2+z2)(3+2+6)≥( 6x+ 6y+ 6z)2=6,∴2x2+

6 3y2+z2≥11. 6 答案 11 9.(2013· 湖北卷)设 x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y +3z= 14,则 x+y+z=________. 解析
2 2 2 2 2 根据柯西不等式 (a1 +b2 1 + c 1 )(a 2 + b 2 + c 2 )≥(a1a2 + b1b2 +

c1c2)2 得(x2+ y2+ z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2=14.“= ”成立的条 x y z x y z 件为1=2=3.又 x+2y+3z= 14,令1=2=3=t,则 x=t,y=2t,z 14 3 14 =3t.由 x+2y+3z=t+4t+9t= 14, ∴t= 14 , 故 x+y+z=6t= 7 . 答案 3 14 7

二、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 10.已知函数 f(x)=log2(x+m),且 f(0),f(2),f(6)成等差数列. (1)求 f(30)的值; (2)若 a,b,c 是两两不相等的正数,且 a,b,c 成等比数列,试 判断 f(a)+f(c)与 2f(b)的大小关系,并证明你的结论. 解 (1)由 f(0),f(2),f(6)成等差数列,

得 2log2(2+m)=log2m+log2(6+m), 即(m+2)2=m(m+6)(m>0),∴m=2. ∴f(30)=log2(30+2)=5. (2)f(a)+f(c)=log2(a+2)(c+2), 2f(b)=log2(b+2)2, ∵b2=ac,∴(a+2)(c+2)-(b+2)2=2(a+c)-4b. ∵a+c>2 ac=2b(a≠c),∴2(a+c)-4b>0.

∴log2(a+2)(c+2)>log2(b+2)2. 即 f(a)+f(c)>2f(b). 1 1 1 11.(1)设 x≥1,y≥1,证明 x+y+xy≤x+y+xy; (2)设 1<a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 证明 (1)由于 x≥1,y≥1,

1 1 1 要证 x+y+xy≤x+y+xy, 只需证 xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. 因为[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1] =[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1), 由条件 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立. (2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 1 1 1 logca=xy,logba=x,logcb=y,logac=xy. 于是,所要证明的不等式即为 1 1 1 x+y+xy≤x +y +xy, 由题意知 x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立. 12.(2014· 厦门二模)已知正数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=6. (1)求 x+2y+z 的最大值; (2)若不等式|a+1|-2a≥x+2y+z 对满足条件的 x,y,z 恒成立,

求实数 a 的取值范围. 解 (1)由柯西不等式(x2+y2+z2)(12+22+12)≥(x+2y+z)2, 即有

(x+2y+z)2≤36. 又 x,y,z 是正数,∴x+2y+z≤6, 即 x+2y+z 的最大值为 6, x y z 当且仅当1=2=1,即当 x=z=1,y=2 时取得最大值. (2)由题意及(1)得,|a+1|-2a≥(x+2y+z)max=6.解得 a 无解或 7 a≤-3,
? ? 7 ? 综上,实数 a 的取值范围为?a?a≤-3 ?. ? ? ?


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