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空间几何体的表面积和体积经典例题(学生讲义)


空间几何体的表面积和体积
一.课标要求:
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 。

二.命题走向
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、 旋转体的面积和体积问题, 也有已知面积或体 积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。 即使考查空间线面的位置关系问题, 也常以几 何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋

转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学 会运用等价转化思想, 会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题, 会等体积转化求 解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上,预测 2016 年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题;

三.要点精讲
1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l 全面积(S 全) 体 积(V)

S 底·h=S 直截面·h S 侧+2S 底 S 底·h S 侧+S 底
1 S 底·h 3

ch 各侧面积之和

棱 锥

1 ch′ 2
各侧面面积之和

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

1 h(S 上底+S 3

下底

+ S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧 棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

圆锥 π rl π r(l+r)

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2)
2 2



S侧 S全
V

4π R

2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、 h 分别表示母线、 高, r 表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径, r1、 r2 分别表示圆台 上、 下底面半径,R 表示半径。

四.典例解析 题型 1:柱体的体积和表面积
1

例 1.一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长.

例 2.如图 1 所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3, AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=

? 。 3

(1)求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。

图1

图2

2

题型 2:柱体的表面积、体积综合问题
例 3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6 ,这个长方体对角线的长是 ( A.2 )

3

B.3

2

C.6

D.

6

例 4.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱 柱分成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1∶V2= ____ _。

题型 3:锥体的体积和表面积 (2015 湖北卷 3) 用与球心距离为 1 的平面去截球, 所得的截面面积为 ? , 则球 的体积为 A. D.
8? 3
E D O B C P

B.

8 2? 3

C. 8 2?

A

32? 3

例 6. (2015 北京,19) . (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC ,△PAD 是等边三 角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. A
3

P M D C B

P M A D O C B

题型 4:锥体体积、表面积综合问题
例 7.ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离?

4

例 8. (2015 江西理,12) 如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心 O, 且与 BC,DC 分别截于 E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥 A-BEFD 与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1,S2,则必有( ) A.S1?S2 B.S1?S2 C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确定
A

O

D F

B

E C

题型 5:棱台的体积、面积及其综合问题
例 9. (2015 四川理,19) (本小题满分 12 分) 如图, 面 ABEF⊥面 ABCD, 四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD=∠FAB=90°, BC∥ AD,BE∥ AF,G、H 分别是 FA、FD 的中点。 (Ⅰ)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (Ⅱ)C、D、E、F 四点是否共面?为什么? (Ⅲ)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥平面 CDE. F G E A B C D H
1 2
1 2

5

例 10. (1) (2015 四川理,8) 设 M , N 是球心 O 的半径 OP 上的两点,且 NP ? MN ? OM ,分别过 N , M , O 作垂线于

OP 的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为:(
(A) 3,5,6 (B) 3, 6,8 (C) 5, 7, 9

) (D) 5,8, 9

例 11. (2015 四川文,12) 若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为 60 的菱形,则 该棱柱的体积等于( (A) 2 ) (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 4 2
0

6

例 12.如图 9—9,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰好升高 r,则

R = r



题型 7:圆锥的体积、表面积及综合问题
例 13 .已知过球面上 A, B, C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且

AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面积。



7

例 14.如图所示,球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA,PB,PC 两两互相垂直, 且 PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。

题型 9:球的面积、体积综合问题 例 15. (1)表面积为 324? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表面
积。 (2)正四面体 ABCD 的棱长为 a,球 O 是内切球,球 O1 是与正四面体的三个面和球 O 都 相切的一个小球,求球 O1 的体积。

8

题型 10:球的经纬度、球面距离问题
例 19. (1)我国首都靠近北纬 40 纬线,求北纬 40 纬线的长度等于多少 km ?(地球 半径大约为 6370km ) (2)在半径为 13cm 的球面上有 A, B, C 三点, AB ? BC ? AC ? 12cm ,求球心到经过 这三点的截面的距离。
? ?

9

例 16. 在北纬 45 圈上有 A, B 两点, 设该纬度圈上 A, B 两点的劣弧长为 地球半径) ,求 A, B 两点间的球面距离。

?

2 ? R( R 为 4

31、已知圆台的上下底面半径分别是 2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线 长.

32、一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的 等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器 ,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出 函数的定义域. (12 分)

10

E

10 5
A

D

O B

C F

x
33.已知两个几何体的三视图如下,试求它们的表面积和体积。单位:CM

图(2 图(1)

34.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已建的仓库的底 面直径为 12M,高 4M。养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐。现有两种方 案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4M(高不变) ;二是高度增加 4M(底面直径不变)。 (1) 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2) 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3) 哪个方案更经济些?

11

35 (14 分) (如图)在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的 圆柱,求圆柱的表面积.

36.(2015 年广东省惠州市高三调研)如图,已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面边长是 2,D,E 是 CC1,BC 的中点,AE=DE. (1)求此正三棱柱的侧棱长; (2)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的表面积.

五.思维总结
1.正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全= 3 a ;
2

(2)体积:V=

2 3 a; 12 2 a; 2
12

(3)对棱中点连线段的长:d=

(4)内切球半径:r=

6 a; 12
R=

(5)外接球半径

6 a; 4

(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 2. 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角 四面 体有下列性质: 如图,在直角四面体 AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=a,OB=b,OC=c。 则:①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形; ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心; ③体积 V=

1 abc; 6

④底面△ABC=
2

1 2

a 2 b2 ? b2c2 ? c2a 2 ;

⑤S △ABC=S△BHC·S△ABC; 2 2 2 2 ⑥S △BOC=S △AOB+S △AOC=S △ABC

1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 ; 2 OH a b c 1 ⑧外切球半径 R= a 2 ? b2 ? c2 ; 2
⑦ ⑨内切球半径 r=

S ?AOB ? S ?BOC - S ?ABC a?b?c

3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. ①如图,圆锥的顶角为β ,母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,底面半径为 r,则 sinα =cos α +

? =90° ? 2
cosα =sin

? h = , l 2
? r = . l 2

②圆台 如图,圆台母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,上、下底面半径分 别为 r ′、r,则 h=lsinα ,r-r′=lcosα 。 ③球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面. (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆; (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面; (3)球心和截面距离 d,球半径 R,截面半径 r 有关系: r= R 2 - d 2 .

13

4.经度、纬度: 经线:球面上从北极到南极的半个大圆;

纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;

经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的半平 面所成的二面角的度数。 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

?

5. 两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离, 就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度, 我们 把这个弧长叫做两点的球面距离 两点的球面距离公式: (其中 R 为球半径, ? 为 A,B 所对应的球心角的弧度数)
王新敞
奎屯 新疆

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