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重庆志恒教育高二数学(文科)复习三角函数第3讲 三角函数的图象与性质


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高二数学(文科)复习三角函数第 3 讲: 三角函数的图象与性质
1.“五点法”描图
π 3π (1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点为(0,0),?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0). ? ? ? ? π 3π (2)y=cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点为(0,1),?2,0

?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1). ? ? ? ?

2.三角函数的图象和性质
函数性质 定义域 y=sin x R y=cos x R y=tan x π {x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2

图象

值域

[-1,1] π 对称轴:x=kπ+ (k∈Z) 2 对称中心:(kπ,0)(k∈Z)

[-1,1] 对称轴:x=kπ(k∈Z) 对称中心:

R 无对称轴 kπ 对称中心:? 2 ,0?(k ? ? ∈Z)

对称性

?kπ+π,0??k∈Z? 2 ? ?

当 x ? 2 k? ? 最值 当 x ? 2 k? ? 周期

? ? k ??? 时, ymin ? ?1. 当 x ? 2k? ? ? 时,ymin ? ?1. 2
2π 2π

? ? k ??? 时, ymax ? 1; 当 x ? 2k? ? k ??? 时, ymax ? 1; 既无最大值也无最小 2
值 π π 单调增区间?kπ-2 , ? π kπ+ 2?(k∈Z) ? 奇

单调性

单调增区间 π? ?2kπ-π , 单调减 2 2kπ+ 2?(k∈Z); ? π 3π 区间?2kπ+2 ,2kπ+ 2 ?(k∈Z) ? ?

单调增区间[2kπ-π,2kπ](k ∈Z);单调减区间[2kπ,2kπ +π](k∈Z)

奇偶性





两条性质 2π (1)周期性:函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为|ω|,y=tan(ωx+φ)的最小 π 正周期为|ω|. (2)奇偶性:三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx,而偶函数一般可化为 y =Acos ωx+b 的形式. 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法:(1)利用 sin x、cos x 的有界性; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围,根据正弦函数 单调性写出函数的值域;
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(3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.
一、三角函数的图象 例 1.函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

例 2.函数 y=x+sin|x|,x∈ [-π,π]的大致图象是(



π 1 例 3.试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象。 3 3
例 4.把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 是( ) B. (y-1)sinx+2y-3=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0

? 2

个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到的曲线方程

A. (1-y)sinx+2y-3=0 C.(y+1)sinx+2y+1=0

例 5.已知函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0,x∈R)在一个周 期内的图象如图所示,求直线 y= 标。

3 与函数 f(x)图象的所有交点的坐



二、三角函数的定义域与值域
例 1、(1)求函数 y=lg sin 2x+ 9-x2的定义域. π (2)求函数 y=cos2x+sin x?|x|≤4?的最大值与最小值. ? ?

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6 cos 4 x ? 5 cos 2 x ? 1 例 2.已知函数 f(x)= ,求 f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域。 cos 2 x
练习 1:(1)求函数 y= sin x-cos x的定义域. (2) 求函数 y=lgsin(cosx)的定义域; π π π π π (3)已知函数 f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?· ?x+4?,求函数 f(x)在区间?-12,2?上的最大值与最小值. ? ? ? ? sin? ? ? ?

三、三角函数的奇偶性与周期性
π 例 1、函数 y=2cos2?x-4?-1 是( ). ? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π 练习:1、 .函数 y=cos?x+3?,x∈R( ). ? ? A.是奇函数,B.是偶函数,C.既不是奇函数也不是偶函数,D.既是奇函数又是偶函数 2、已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周期是________. 例 2.判断下面函数的奇偶性:f(x)=lg(sinx+ 1 ? sin2 x ) 。 B.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2

例 3.设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 f (

?
12

) ? 4,

(1)求 ? 、 a 、 b 的值; (2) 若?、、?为方程f ( x) ? 0的两根, 、、?终边不共线,求 ? ? ? )的值 。 ? tan(

四、三角函数的单调性
例 1.求下列函数的单调区间:
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(1)y=

1 π 2x sin( - ) ; 2 4 3

(2)y=-|sin(x+

π )|。 4

例 2. (1)函数 y=2sinx 的单调增区间是( A. [2kπ-

) B. [2kπ+

? 2

,2kπ+

? 2

] (k∈ Z)

? 2

,2kπ+

3? ] (k∈ Z) 2

C. [2kπ-π,2kπ] (k∈ Z)

D. [2kπ,2kπ+π] (k∈ Z)

π (2)已知 f(x)=sin x+sin?2-x?,x∈[0,π],求 f(x)的单调递增区间. ? ? π (3) 、函数 f(x)=sin?-2x+3?的单调减区间为______. ? ? π (4) 、(2011· 全国新课标)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的最小正周期为 π,且 f(-x) ? ? =f(x),则( ). π π 3π A.f(x)在?0,2?单调递减,B.f(x)在?4, 4 ?单调递减 ? ? ? ? π π 3π C.f(x)在?0,2?单调递增,D.f(x)在?4, 4 ?单调递增 ? ? ? ?

五、三角函数的对称性
π 例 1、(1)函数 y=cos?2x+3?图象的对称轴方程可能是( ). ? ? π π A.x=- B.x=- 6 12 π π C.x= D.x= 6 12

π (2) .y=sin?x-4?的图象的一个对称中心是( ). ? ? 3π A.(-π,0), B.?- 4 ,0?, ? ? 3π C.? 2 ,0?, ? ? π D.?2,0? ? ?

π π (3)若 0<α< ,g(x)=sin?2x+4+α?是偶函数,则 α 的值为________. ? ? 2 π π 练习: 1、(1)函数 y=2sin(3x+φ)?|φ|<2?的一条对称轴为 x= ,则 φ=________. ? ? 12 (2)函数 y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形.则 φ=________.

六、求解参数:
1、根据三角函数的单调性求解参数
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π 5π π 例 1、已知函数 f(x)=sin ?ωx+3? (ω>0)的单调递增区间为 ?kπ-12,kπ+12? (k∈Z),单调递减区间为 ? ? ? ?

?kπ+ π ,kπ+7π?(k∈Z),则 ω 的值为________. 12 12? ?
2、根据三角函数的奇偶性求解参数 例 2、已知 f(x)=cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ)为偶函数,则 φ 可以取的一个值为( ). π π π π A. B. C.- D.- 6 3 6 3

3、根据三角函数的周期性求解参数 π π 例 3、若函数 y=sin ωx· ?ωx+2?(ω>0)的最小正周期为 ,则 ω=________. sin? ? 7

4、根据三角函数的最值求参数 π 例 3、若函数 f(x)=asin x-bcos x 在 x= 处有最小值-2,则常数 a、b 的值是( ). 3 A.a=-1,b= 3 C.a= 3,b=-1 B.a=1,b=- 3 D.a=- 3,b=1

七:三角函数的最值 例 1.设 M 和 m 分别表示函数 y=

1 cosx-1 的最大值和最小值,则 M+m 等于( 3
C.-



A.

2 3

B.-

2 3

4 3

D.-2

例 2.函数 y=

1 的最大值是( 2 ? sin x ? cos x
B.



A.

2 -1 2

2 +1 2

C.1-

2 2

D.-1-

2 2

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