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(四川专版)2016高考数学二轮复习 专题十七 圆锥曲线中的热点问题练习 理


专题限时集训(十七)A[圆锥曲线中的热点问题]
(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练夯知识 1. 到坐标原点的距离是到 x 轴距离的 2 倍的点的轨迹方程是( ) A.y=± 3x 3 B.y= x 3 2 2 C. x -3y =1 2 2 D. x -3y =0 2 2. 以抛物线 y =8x 上任意一点为圆心作与直线 x+2=0 相切的圆

, 这些圆必过一定点, 则这一定点的坐标是( ) A. (0,2) B.(2,0) C. (4,0) D. (0,4) 3. 若双曲线 x - 2=1(b>0)的一条渐近线与圆 x +(y-2) =1 至多有一个交点,则该 双曲线离心率的取值范围是( A. (1,2] B.[2,+∞) C. (1, 3] D.[ 3,+∞) )
2

y2 b

2

2

→ → → 2 4.设 F 为抛物线 y =16x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则 → → → |FA|+|FB|+|FC|的值为( ) A.36 B.24 C.16 D.12 2 5. 设抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,M 为抛物线 C 上一点, 点 N 的坐标为(2,2),则 |MF|+|MN|的取值范围是________. 提升训练强能力 2 2 6. 已知圆 A1:(x+2) +y =12 和点 A2(2,0),则过点 A2 且与圆 A1 相切的动圆圆心 P 的轨迹方程为( ) A. -y =1 B. +y =1 3 3 C.x -y =2 D. + =1 12 8 → 1 → → 7. 已知点 Q 在椭圆 C: + =1 上,点 P 满足OP= (OF1+OQ)(其中 O 为坐标原点, 16 10 2 F1 为椭圆 C 的左焦点),则点 P 的轨迹为( ) A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆 + =1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2 为椭圆的两个焦点,O 是坐 16 8 → → 标原点.若 M 是∠F1PF2 的角平分线上一点,且F1M·MP=0,则 → ) OM 的取值范围是( 8. 已知 P 是椭圆
2 2

x2

2

x2

2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

| |

A. (0,3)

B.(0,2 2)
1

C. (2 2,3) D.(0,4) 2 9. 已知直线 AB 与抛物线 y =2x 交于 A,B 两点,M 是 AB 的中点,C 是抛物线上的点, → → 且使得CA·CB取最小值,抛物线在点 C 处的切线为 l,则( ) A.CM⊥AB B.CM⊥l 1 C.CA⊥CB D.CM= AB 2 2 10. F 为抛物线 y =4x 的焦点,A,B,C 为抛物线上三点,O 为坐标原点.若 F 是△ABC 2 2 2 的重心,△OFA,△OFB,△OFC 的面积分别为 S1,S2,S3,则 S1+S2+S3的值为________. 11. 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,左顶点为 A,以 F 为圆心且过点 A 的圆 交双曲线的一条渐近线于 P,Q 两点.若|PQ|不小于双曲线的虚轴长,则该双曲线离心率的 取值范围为________. 12. 已知动点 P(x,y)在椭圆 C: + =1 上,F 为椭圆 C 的右焦点.若点 M 满足|MF| 25 16 =1,且 MP⊥MF,则|PM|的最小值为________. 2 13. 已知 F 为抛物线 y =-8x 的焦点,O 为原点,P 是抛物线准线上一动点,点 A 在抛 物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值是__________. x2 2 → → 14. 已知 A,B 是椭圆 +y =1 上的两点,且AF=λ FB,其中 F 为椭圆的右焦点. 2 (1)求实数 λ 的取值范围; → → (2)在 x 轴上是否存在一个定点 M,使得MA·MB为定值?若存在,求出定值和定点坐标; 若不存在,说明理由.

x2 y2 a b

x2

y2

15. 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),设左顶点为 A,上顶点为 B, → → → → 且OF·FB=AB·BF,如图 17?1. (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)若过 F 的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,试确定FM·FN的取值范围.

x2 y2 a b

图 17?1

2

x2 y2 2 6? ? 16. 设椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且过点?-1,- ?. a b 2 2 ? ? (1)求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆 E 的左顶点是 A,直线 l:x-my-t=0 与椭圆 E 相交于不同的两点 M,N(M, N 均与 A 不重合),且以 MN 为直径的圆过点 A,试判断直线 l 是否过定点,若过定点,求出
该定点的坐标.

3

专题限时集训(十七)B

[圆锥曲线中的热点问题] (时间:10 分钟+35 分钟)

基础演练夯知识

x y 1 1.如图 17?2,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,短轴的两个端点分别为 B1, a b 2 B2,焦点为 F1,F2,四边形 F1B1F2B2 的内切圆半径为
(1)求椭圆 C 的方程; → → → (2)过左焦点 F1 的直线交椭圆于 M,N 两点,交直线 x=-4 于点 P,设PM=λ MF1,PN= → μ NF1,求证 λ +μ 为定值. 3 . 2

2

2

图 17?2

2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0). 3 ,求椭圆的标准方程; 2 (2)在(1)的条件下,设过定点 M(0,2)的直线与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围. (1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为

x2 y2 a b

4

提升训练强能力 3.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点 M( 6,1),离心率为 (1)求椭圆的标准方程; → → (2)已知点 P( 6,0),若 A,B 为已知椭圆上两动点,且满足PA·PB=-2,试问直线 AB 是否恒过定点,若是,请给出证明,并求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.

x2 y 2 a b

2 . 2

4.如图 17?3 所示,已知直线 l 过点 M(4,0)且与抛物线 y =2px(p>0)交于 A,B 两点, 以弦 AB 为直径的圆恒过坐标原点 O. (1)求抛物线的标准方程; (2)设 Q 是直线 x=-4 上任意一点,求证:直线 QA,QM,QB 的斜率依次成等差数列.

2

图 17?3

5

5.已知抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,抛物线上一点 A 的横坐标为 x1(x1>0),过 点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D,交 y 轴于点 Q,交直线 l:y= 于点 M,当|FD|=2 2 时,∠AFD=60°. (1)求证:△AFQ 为等腰三角形,并求抛物线 C 的方程; (2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上,过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1 与点 P,交 直线 l 与点 N,求△PMN 面积的最小值,并求取到最小值时 x1 的值.

2

p

6

7

专题限时集训(十七)A 【基础演练】 2 2 2 2 1.D [解析] 设满足条件的点的坐标为(x,y),则 x +y =2|y|,整理得 x -3y = 0. 2.B [解析] 直线 x+2=0 为抛物线 y =8x 的准线,根据抛物线的定义知,所作圆的 圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离,故这些圆必过定点(2,0). 2 3.A [解析] 设双曲线的一条渐近线方程为 bx+y=0,根据题意有 ≥1,即 2 1+b 1+b ≤2,所以双曲线的离心率 e= = 1+b ≤2,又 e>1,所以该双曲线离心率的取值 范围是(1,2]. → 2 4.B [解析] 由 y =16x 得 p=8,F(4,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由FA 3p → → → → → +FB+FC=0 得:x1+x2+x3=12,因此|FA|+|FB|+|FC|= x1+x2+x3+ =24. 2
2 2

c a

2

5.[3,+∞) [解析] 如图所示,过 M 作抛物线 C 的准线的垂线,垂足为 P.根据抛物 线的定义知,|MF|= |MP| .|MF|+ |MN| = |MP| +|MN| ≥ |M0P0|+|M0N| = |P0N| = 3 ,故 |MF|+|MN|的取值范围是 [3,+∞). 【提升训练】 6. A [解析] 根据题意有||PA1|-|PA2||=2 3<|A1A2|=4, 所以圆心 P 的轨迹是以 A1(- 2,0),A2(2,0)为焦点,实轴长为 2 3的双曲线,所以 b =c -a =1,故所求轨迹方程为 -y =1. 1 7.D [解析] 易知 F1(- 6,0).设 Q(x0,y0),P(x,y),则(x,y)= (x0- 6,y0), 2 (2x+ 6) (2y) 得 x0=2x+ 6,y0=2y.代入已知椭圆方程得 + =1,此方程即为点 P 的 16 10 轨迹方程,该方程表示的曲线是椭圆,故点 P 的轨迹为椭圆. → → 8.B [解析] 设直线 F1M 与 PF2 交于点 N,如图所示,由于F1M·MP=0,所以 F1M⊥PM, |OM| 故点 F1, N 关于直线 PM 对称, 所以 M 为线段 F1N 的中点, 且|PN|=|PF1|.在△F1F2N 中, 1 1 1 1 = |NF2|= ||PN|-|PF2||= ||PF1|-|PF2||= |8-2|PF2||=|4-|PF2||.由于 4- 2 2 2 2 2 2<|PF2|<4+2 2 且|PF2|≠4,所以 0<|4-|PF2||<2 2 ,即 → 的取值范围是 (0,
2 2 2 2 2 2

x2
3

|OM|

2 2).

8

→ → → → → → 9.B [解析] CA·CB=(CM-AM)·(CM-BM) → 2 → → → → → =|CM| -CM·(AM+BM)+AM·BM → 2 → 2 → → =|CM| -|AM| ,(AM+BM=0) → → → ∴min{CA·CB}即求|CM|min, ∴CM⊥l,其中 l 是抛物线过点 C 的切线. 应选 B. 10. 3 [解析] 易知 F(1, 0). 设 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). 根据已知可得

x1+x2+x3
3

1 2 2 2 1 2 2 2 =1,即 x1+x2+x3=3.故 S1+S2+S3= (y1+y2+y3)= (4x1+4x2+4x3)=3. 4 4 11.(1,3] [解析] 设 F(c,0),A(-a,0),则圆心坐标为(c,0),半径为 a+c.设 |bc| 双曲线的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心到该渐近线的距离 d= 2 =b,故|PQ| b +a2 =2 (a+c) -b ≥2b,整理得(a+c) ≥2b ,即 c -2ac-3a ≤0,不等式两边同时除以 a2,得 e2-2e-3≤0,解得-1≤e≤3.又 e>1,所以该双曲线的离心率的取值范围是(1,3]. 12. 3 [解析] 由已知得点 M 在以 F 为圆心,半径为 1 的圆上,MP 为该圆的切线,如 2 2 2 图所示,|PM|= |PF| -|MF| = |PF| -1.因为|PF|的最小值为 2,所以|PM|的最小值为 3.
2 2 2 2 2 2

13.2 13 [解析] 抛物线 y =-8x 的准线方程为 x=2,设点 O 关于直线 x=2 的对称 点为 B(4, 0), 则|PO|=|PB|, 所以|PA|+|PO|=|PA|+|PB|≥|AB|.设 A(x0, y0), 则|AF| = 2 - x0 = 4 ,得 x0 =- 2 ,代入抛物线方程得 y0 =±4,即 A( - 2 ,±4),所以 |AB| = 2 2 (-2-4) +(±4-0) = 52=2 13.故|PA|+|PO|的最小值是 2 13. 14.解: (1)由已知条件知:直线 AB 过椭圆右焦点 F(1,0). 当直线 AB 与 x 轴重合时,λ =3±2 2.当直线 AB 不与 x 轴重合时,可设 AB:x=my +1, 2 2 代入椭圆方程,并整理得(2+m )y +2my-1=0. -2m -1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1+y2= 2,y1y2= 2. 2+m 2+m 2 2 2 (y1+y2) -4m (y1+y2) → → 所以 = = 2 ∈ ( - 4 , 0] .又由 AF = λ FB 得- y1 = λ y2 ,所以 y1y2 2+m y1y2 2 2 y1+y2+2y1y2 1 =-λ - +2∈(-4,0],解之得 3-2 2<λ <3+2 2. y1y2 λ 综上,实数 λ 的取值范围是[3-2 2,3+2 2]. → → (2)设 M(a,0),则MA·MB=(x1-a)(x2-a)+y1y2=(my1+1-a)(my2+1-a)+y1y2=(1 2 2 1+m 2m (1-a) 2 2 2 + m )y1y2 + m(1 - a)(y1 + y2) + (1 - a) = - + (1 - a) = 2 - 2 2+m 2+m 2 2 2 (2a -4a+1)+(a -2)m 5 2 2 为定值,所以 2a -4a+1=2(a -2),解得 a= . 2 2+m 4

2

9

7 → → ?5 ? 故存在定点 M? ,0?,使得MA·MB为定值- .(经检验,当 AB 与 x 轴重合时也成立) 16 ?4 ? → → → → 2 15.解: (1)由已知,A(-a,0),B(0,b),F(1,0),由OF·FB=AB·BF得 b -a-1 2 2 2 =0,∵b =a -1,∴a -a-2=0,解得 a=2, ∴a =4,b =3,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 3? → → 9 ? 3? ? (2)①若直线 l 斜率不存在,则 l:x=1,此时 M?1, ?,N?1,- ?,FM·FN=- ; 2? 4 ? 2? ? ?y=k(x-1), ②若直线 l 斜率存在,设 l:y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),则由?x2 y2 + =1 ? ?4 3 2 2 2 2 消去 y 得(4k +3)x -8k x+4k -12=0, 2 2 8k 4k -12 ∴x1+x2= 2 ,x1·x2= 2 , 4k +3 4k +3 -9 → → 2 ∴FM·FN=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(1+k )[x1x2-(x1+x2)+1]= , 1 4- 2 1 +k 1 1 9 → → 2 ∵k ≥0,∴0< 2≤1,∴3≤4- 2<4,∴-3≤FM·FN<- , 1+k 1+k 4 9? → → ? 综上,FM·FN的取值范围为?-3,- ?. 4? ? 2 2 2 c a -b 1 2 2 2, 16.解:(1)由 e = 2= 2 = ,可得 a =2b a a 2
2 2

x2 y2

?

x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 2+ 2=1. 2b b
代入点?-1,-

? ?

6? 2 2 ?,可得 b =2,所以 a =4, 2 ?

故椭圆 E 的方程为 + =1. 4 2 (2)由 x-my-t=0,得 x=my+t,把它代入椭圆 E 的方程得 (m2+2)y2+2mty+t2-4=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 2mt t2-4 y1+y2=- 2 ,y1y2= 2 , m +2 m +2 4t 故 x1+x2=m(y1+y2)+2t= 2 , m +2 2 2 2t -4m 2 2 ( my + t ) ( my + t ) ( y + y ) 1 2 x1x2= =m y1y2+tm 1 2 +t = 2 . m +2 因为以 MN 为直径的圆过点 A,所以 AM⊥AN, 2 2 2t -4m → → 所以 AM · AN = (x1+2,y1) · (x2+2,y2) = x1x2 + 2 (x1+x2) + 4 + y1y2 = 2 + m +2 4t t2-4 3t2+8t+4 (t+2)(3t+2) 2× 2 +4+ 2 = = =0. m +2 m +2 m2+2 m2+2 2 又因为 M,N 均与 A 不重合,所以 t≠-2,所以 t=- , 3 2 ? 2 ? 故直线 l 的方程是 x-my+ =0,直线 l 过定点 T?- ,0?.由于点 T 在椭圆内部,所以 3 ? 3 ? ? 2 ? 满足判别式大于 0,所以直线 l 过定点 T?- ,0?. ? 3 ?
10

x2 y2

专题限时集训(十七)B 1.解:(1)设四边形 F1B1F2B2 的内切圆与边 F2B2 的切点为 G,连接 OG,则|OG|= 3 .由 S 2

1 1 3 △OB2F2= |OB2|·|OF2|= |B2F2|·|OG|,|OB2|=b,|OF2|=c,|B2F2|=a,得 bc= a,又 2 2 2 c 1 x2 y2 e= = ,a2=b2+c2,解得 a=2,b= 3,故椭圆 C 的方程为 + =1. a 2 4 3 (2)证明:根据已知条件可设直线 MN 的方程为 y=k(x+1),代入椭圆方程,整理得(3 2 8k x1+x2=- 2, 3+4k 2 2 2 2 +4k )x +8k x+4(k -3)=0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 2 4(k -3) x1·x2= , 2 3+4k x1+4 x2+4 → → → → 又 P(-4,-3k),由PM=λ MF1,PN=μ NF1,得 λ =- ,μ =- . x1+1 x2+1 x1+4 x2+4 2x1x2+5(x1+x2)+8 ∴λ +μ =- - =- , x1+1 x2+1 (x1+1)(x2+1) 2 2 2 2 2 4(k -3) ?- 8k 2?+8=8k -24-40k +24+32k = ∵2x1x2+5(x1+x2)+8=2· + 5 ? ? 2 2 3+4k 3+4k ? 3+4k ? 0, ∴λ +μ 为定值 0. c 3 x2 2.解:(1)由题意得 a=2,e= = ,则 c= 3,b=1,因此椭圆的标准方程为 + a 2 4 2 y =1. (2)显然直线 l 的斜率存在,设其方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),

? ? ? ? ?

x ? ? +y2=1, 2 2 由? 4 得(1+4k )x +16kx+12=0, ? ?y=kx+2
∴Δ =(16k) -4×12×(1+4k )>0,即 k<- 且 x1+x2= -16k 12 2,x1x2= 2.② 1+4k 1+4k
2 2

2

3 3 或 k> ,① 2 2

→ → 2 由∠AOB 为锐角,A,O,B 不共线得,OA·OB=x1x2+y1y2>0,因此 x1x2+y1y2=(1+k )x1x2 2 +2k(x1+x2)+4>0,将②代入得 k -4<0,解得-2<k<2, 3? ? 3 ? ? 结合①得,直线 l 的斜率 k 的取值范围为?-2,- ?∪? ,2?. 2? ?2 ? ? 3.解:(1)由题意得 =

c a

2 .① 2

6 1 因为椭圆经过点 M( 6,1),所以 2+ 2=1.②

a

b

又 a =b +c ,③ 2 2 2 由①②③解得 a =8,b =c =4. 所以椭圆方程为 + =1. 8 4 (2)①当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m, 代入 + =1 整理得(2k +1)x +4kmx+2m -8=0. 8 4 2 2 由 Δ >0 得 8k +4-m >0,(*)

2

2

2

x2 y2

x2 y2

2

2

2

11

4km 2m -8 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 . 2k +1 2k +1 → → 所以PA·PB=(x1- 6)(x2- 6)+y1y2 =(x1- 6)(x2- 6)+(kx1+m)(kx2+m) 2 2 =(k +1)x1x2+(km- 6)(x1+x2)+6+m =-2, 2 2 得(k +1)x1x2+(km- 6)(x1+x2)+8+m =0, 2 2m -8 -4km 2 2 即(k +1) 2 +(km- 6) 2 +8+m =0. 2k +1 2k +1 整理得( 3m+2 2k) =0, 2 6 从而 m=- k,而且满足(*)式. 3
2

2

? 2 6? 所以直线 AB 的方程为 y=k?x- ?, 3 ? ?
故直线 AB 经过定点?

?2 6 ? ,0?. ? 3 ?

2 6 ?2 6 2 6 ? ②当直线 AB 与 x 轴垂直时, 若直线为 x= , 此时点 A, B 的坐标分别为? , ?, 3 3 ? ? 3 2 6? ?2 6 → → ? ,- ?,亦有PA·PB=-2. 3 ? ? 3 ?2 6 ? 综上,直线 AB 恒过定点? ,0?. ? 3 ? 【提升训练】 4.解:(1)设直线 l 的方程为 x=ky+4, 2 2 代入 y =2px 得 y -2kpx-8p=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 y1+y2=2kp,y1y2=-8p, → → 而由题知OA·OB=0, 2 2 2 故 x1x2+y1y2=(ky1+4)(ky2+4)-8p=k y1y2+4k(y1+y2)+16-8p=-8k p+8k p+16 2 -8p=0,得 p=2,所以抛物线方程为 y =4x. (2)设 Q(-4,t),由(1)知 y1+y2=4k,y1y2=-16, 2 2 2 2 所以 y1+y2=(y1+y2) -2y1y2=16k +32. y1-t y1-t 4(y1-t) y2-t y2-t 4(y2-t) t 因为 kQA= = = 2 ,kQB= = = 2 ,kQM= , x1+4 y2 y1+16 x2+4 y2 y2+16 -8 1 2 +4 +4 4 4 4(y1-t) 4(y2-t) 所以 kQA+kQB= 2 + 2 y1+16 y2+16 2 2 (y1-t)(y2+16)+(y2-t)(y1+16) =4× 2 2 (y1+16)(y2+16) 2 2 2 y1y2 2+16y1-ty2-16t+y2y1+16y2-ty1-16t =4× 2 2 2 2 y1y2+16(y1+y2)+16×16 2 2 2 -t(y1+y2)-32t -t(16k +32)-32t = = 2 2 2 8×16+4(y1+y2) 8×16+4(16k +32) =- =2kQM, 4 所以直线 QA,QM,QB 的斜率依次成等差数列. 5.解:(1)证明:设 A(x1,y1),则切线 AD 的方程为 y= x- ,所以 D? ,0?,Q(0, p 2p ?2 ?
12

t

x1

x2 1

? x1

?

-y1), |FQ|= +y1, 所以|FQ|=|FA|, 所以△AFQ 为等腰三角形, 且 D 为 AQ 中点, 所以 DF⊥AQ. 2 因为|DF|=2,∠AFD=60°,所以∠QFD=60°, =1,得 p=2,故抛物线方程为 x =4y. 2

p

p

2

(2) 设 B(x2 , y2)(x2 < 0) , 则 B 处 的 切 线 方 程 为
2

x x y = x- , ? ? 2 4 x x y= x- .由? 得 2 4 x x ? ?y= 2 x- 4 ,
1 2 2 2 2 2 2

2 1

x1 x1 ? ?y= x- , x1+x2 x1x2? x1 2 ? ? ? x2 2 ? 2 4 得 M? , P? ,由? ? 2 +x1,1?.同理 N? 2 +x2,1?,所以△PMN 的面积 S 4 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?y=1, 2 1?x1 2 x2 2 ?? x1x2? (x2-x1)(4-x1x2) = ? + - - ??1- = .① ? 4 ? 2? 2 x1 2 x2?? 16x1x2
设 AB 的方程为 y=kx+b, 则 b>0, 由?
2 2

?y=kx+b, ? ? ?x =4y,
2 2 2

得 x -4kx-4b=0, 所以?

2

?x1+x2=4k, ? ? ?x1x2=-4b,

代入①得 S= (1+b) =
2

16k +16b(4+4b) (1+b) = 64b b

k +b

,要使面积最小,则 k=0,得到 S

b

b

.②
2 2

(1+t ) 1 3 令 b=t,则②可化为 S(t)= =t +2t+ ,

t

t

S′(t)=

(3t -1)(t +1) , 2

2

2

t

所以当 t∈?0, 当 t∈?

? ?

3? ?时,S(t)单调递减; 3 ?

? 3 ? 时,+∞?,S(t)单调递增. 3 ? ?
3 16 3 1 2 时,S 取到最小值为 ,此时 b=t = ,k=0, 3 9 3

所以当 t=

1 2 3 所以 y1= ,即 x1= . 3 3

13


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