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广东省广州仲元中学高三数学专题训练《不等式》解析版hao


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广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(不等式) 广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(不等式)
时间:120 分钟 分值:150 分

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (2009·四川高考)已知 a, c, 为实数, c>d, b,

d 且 则“a>b”是“a-c>b-d”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:由 ?a>b;而当 a=c=2,b=d=1 时,满足 ,但 a-c>b-d 不成立,所以“a>b”是“a-c>b-d”的必要而不充分条件,选 B. 答案:B 2.当 a>b>c 时,下列不等式恒成立的是 ( ) A.ab>ac B.a|c|>b|c| C.|ab|<|bc| D.(a-b)|c-b|>0 解析:∵a>b>c,∴(a-b)>0. 又∵|c-b|>0,∴选 D. 答案:D 3.若 a>1,0<b<1,则下列不等式中正确的是 ( ) b a B.b >1 A.a <1 C.logab<0 D.logba>0 解析:a>1,0<b<1,则 logab<loga1=0. 答案:C 1 4.(2010·武汉调研)若实数 a、b∈(0,1),且满足(1-a)b> ,则 a、b 的大小关系是( ) 4 A.a<b B.a≤b C.a>b D.a≥b 1 1 1-a+b 2 1 1-a+b 解析:∵a、b∈(0,1),∴1-a>0,又(1-a)b> ,∴ <( ), < ,b-a>0, 4 4 2 2 2 选择 A. 答案:A 1-x2 5.不等式 ≤0 的解集为 ( ) 1-|x-2| A.{-1} B.[-1,1] C.[-1,1) D.(-1,1] 2 1-x 2 解析:由 ≤0 可得{1-|x-2|<0?1-x ≥0 , 1-|x-2| ∴ 答案:C ,即得 x∈[-1,1). )

1 1 1 6. 已知 a>0, b>0, b 的等差中项为 , α=a+ , a、 且 β=b+ , α+β 的最小值是( 则 2 a b A.3 B.4 C.5 D.6 解析:由已知条件知 a+b=1,∴1=a+b≥2 ab. 1 1 ∴ab≤ .∴α+β=1+ ≥5(当且仅当 a=b 时取等号). 4 ab 答案:C 7.(2009·西城抽样)设 a、b∈R,且 b(a+b+1)<0,b(a+b-1)<0,则 (
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)

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A.a>1 C.-1<a<0

B.a<-1 D.|a|>1

解析:在坐标平面 aOb 中作出不等式组

与② 表示的平面区域,结合图形观察可知,该平面区 即① 域内的任意一点(a,b)的横坐标都满足|a|>1,因此选 D. 答案:D 8.(2009·成都一诊)下列四个命题中正确的是 ( ) A.若 a,b∈R,则|a|-|b|<|a+b| B.若 a,b∈R,则|a-b|<|a|+|b| C.若实数 a,b 满足|a-b|=|a|+|b|,则 ab≤0 D.若实数 a,b 满足|a|-|b|<|a+b|,则 ab<0 解析:对于 A,当 a=2,b=0 时,|a|-|b|=|a+b|,因此 A 不正确;对于 B,当 a=2, b=0 时,|a-b|=|a|+|b|,因此 B 不正确;对于 D,当 a=0,b=2 时,满足|a|-|b|<|a+b|, 但 ab=0,因此 D 不正确.综上,选 C. 答案:C 1 1 9.(2010·西安八校联考)已知正整数 a、b 满足 4a+b=30,则使得 + 取得最小值的有 a b 序数对(a,b)是 ( ) A.(5,10) B.(6,6) C.(7,2) D.(10,5) 1 1 1 1 1 1 b 4a 3 b 4a 解析:依题意得 + = ( + )(4a+b)= (4+ + +1)≥ ,当且仅当 = 时取最 a b 30 a b 30 a b 10 a b 小值,即 b=2a,再由 4a+b=30,解得 . 答案:A 10.如果函数 f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0 且 a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数 a 的取值范围是 ( ) 2 3 A.(0, ] B.[ ,1) 3 3 2 C.(1, 3] D.( ,+∞) 3 x 2 2 解析:令 a =t,则 y=t -(3a +1)·t, -(3a2+1) 3a2+1 1 对称轴=- = ≥ . 2 2 2 x ①当 0<a<1 时,则 0<a <1. 3a2+1 欲使 x∈[0,+∞)递增,只需 ≥1, 2 1 即 3a2+1≥2,即 a2≥ . 3 3 3 ∴a≥ 或 a≤- (舍去). 3 3 x ②当 a>1 时,a >1 不成立,故选 B. 答案:B 11.(2010·东北三校一模)设函数 f(x)= 的值为 A.a B.b
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,则

(a+b)+(a-b)·f(a-b) (a≠b) 2 ( )

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C.a、b 中较小的数

D.a、b 中较大的数

(a+b)+(a-b)·f(a-b) = 2 (a+b)-(a-b) (a+b)+(a-b)·f(a-b) (a+b)+(a-b) =b;当 a-b<0 时,f(a-b)=1, = =a, 2 2 2 所以上式的值为 a、b 中较小的数.选 C. 答案:C 12.(2009·郑州二模)已知命题 P:不等式 lg[x(1-x)+1]>0 的解集为{x|0<x<1};命题 Q: A π B π 在三角形 ABC 中,∠A>∠B 是 cos2( + )<cos2( + )成立的必要而非充分条件,则( ) 2 4 2 4 A.P 真 Q 假 B.P 且 Q 为真 C.P 且 Q 为假 D.P 假 Q 真 解析:依题意,由 lg[x(1-x)+1]>0 得 x(1-x)+1>1,∴x-x2>0,解得 0<x<1,所以命 π π 题 P 正确;在三角形 ABC 中,∠A>∠B?sinA>sinB?-cos( +A)>-cos( +B)? 2 2 π A π B π A π B -2cos2( + )+1>-2cos2( + )+1?cos2( + )<cos2( + ),所以命题 Q 是假命题, 4 2 4 2 4 2 4 2 选择 A. 答案:A 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 3 1 13.不等式 2x- +1≤ 的解集为__________. x 2 (x+3)(x-1) 3 3 - 解析:依题意得,2x- +1≤2 1,x- +1≤-1,即 ≤0,解得不等式的解 x x x 集为{x|x≤-3 或 0<x≤1}. 答案:{x|x≤-3 或 0<x≤1} 14.已知函数 f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1)若 f(1-a)+ f(1-a2)<0,则 a 的取值范围是__________. 解析:由 f(x)在(-1,1)上是单调递增的奇函数,由 f(1-a)+f(1-a2)<0 成立,转化为 解析:对 a-b 进行讨论,当 a-b>0 时,f(a-b)=-1,

?1<a< 2. 答案:(1, 2) 15.若 f(x)是 R 上的减函数,且 f(x)的图象经过点 A(0,3)和 B(3,-1),则不等式|f(x+ 1)-1|<2 的解集是______. 解析:-1<f(x+1)<3,又 f(0)=3,f(3)=-1, 所以 f(3)<f(x+1)<f(0), 又 f(x)是减函数,所以 0<x+1<3,-1<x<2. 答案:{x|-1<x<2} 16.(2009·江西高考)若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],且 b-a=2, 则 k=________. 解析:在坐标系下画出函数 y= 9-x2与 y=k(x+2)- 2的图象,结合图象,通过观察 与分析可知,a=1,b=3,由此可知点(1,2 2)是函数 y= 9-x2与 y=k(x+2)- 2的图象的 交点,因此有 2 2=k(1+2)- 2,k= 2. 答案: 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共计 74 分,写出必要的文字说明、计算步骤,只写最 后结果不得分) 17.(12 分)已知 a,b,c 为互不相等的正数,且 abc=1, 1 1 1 求证: a+ b+ c< + + . a b c 证明:证法 1:∵a,b,c 是不等正数,且 abc=1,
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∴ a+ b+ c=

1 + bc

1 + ac

1 ab

1 1 1 1 1 1 + + + b c c a a b 1 1 1 < + + = + + . 2 2 2 a b c 证法 2:∵a,b,c 是不等正数,且 abc=1, 1 1 1 ∴ + + =bc+ca+ab a b c bc+ca ca+ab ab+bc + + = 2 2 2 2 2 2 > abc + a bc+ ab c = a+ b+ c. 18.(12 分)已知不等式 log2(ax2-3x+6)>2 的解集是{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b 的值; c-x (2)解不等式 >0(c 为常数). ax+b 解:(1)不等式 log2(ax2-3x+6)>2?ax2-3x+2>0, 由已知,该不等式的解集是{x|x<1 或 x>b}.



,解得

. c-x c-x >0 变为 >0. x+2 ax+b

(2)当 a=1,b=2 时,不等式 ∴

x-c <0,即(x-c)(x+2)<0. x+2 ∴当 c<-2 时,解集为(c,-2);当 c=-2 时,解集为空集;当 c>-2 时,解集为(-2, c). 19.(12 分)(2009·绵阳二诊)已知 f(x)=x3+mx2-x+2(m∈R). 1 (1)如果函数 f(x)的单调递减区间为(- ,1),求函数 f(x)的解析式; 3 (2)(理)若 f(x)的导函数为 f′(x),对任意的 x∈(0,+∞),不等式 f′(x)≥2xlnx-1 恒成 立,求实数 m 的取值范围. (文)若 f(x)的导函数为 f′(x),对任意的 x∈(0,+∞),不等式 f′(x)≥2(1-m)恒成立, 求实数 m 的取值范围. 解:(1)f′(x)=3x2+2mx-1. 1 由题意 f′(x)=3x2+2mx-1<0 的解集是(- ,1), 3 1 2 即 3x +2mx-1=0 的两根分别是- ,1. 3 1 将 x=1 或 x=- 代入方程 3x2+2mx-1=0 得 m=-1. 3 3 2 ∴f(x)=x -x -x+2. (2)(理)由题意知 3x2+2mx-1≥2xlnx-1 在 x∈ 3 (0,+∞)时恒成立,即 m≥lnx- x 在 x∈(0,+∞)时恒成立. 2 3x 1 3 2 设 h(x)=lnx- ,则 h′(x)= - .令 h′(x)=0,得 x= . 2 x 2 3 2 2 当 0<x< 时,h′(x)>0;当 x> 时,h′(x)<0, 3 3 2 2 ∴当 x= 时,h(x)取得最大值,h(x)max=ln -1=ln2-ln3e,所以 m≥ln2-ln3e. 3 3
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因此 m 的取值范围是[ln2-ln3e,+∞). (文)由题意知 3x2+2mx-1≥2(1-m)在 x∈(0,+∞)时恒成立,即 2mx+2m≥3-3x2, 所以 2m(x+1)≥3(1-x2). 3 由于 x∈(0,+∞),于是 2m≥3(1-x),得 m≥ (1-x). 2 3 3 3 而 (1-x)< ,所以 m 的取值范围为[ ,+∞). 2 2 2 20.(12 分)某工厂拟建一座平面图为矩形,面积为 200 m2,高度一定的三段污水处理池 (如下图).由于受地形限制,其长、宽都不能超过 16 m,如果池的外壁的建造费单价为 400 元/m,池中两道隔墙的建造费单价为 248 元/m,池底的建造费单价为 80 元/m2,试设计水池 的长 x 和宽 y(x>y),使总造价最低,并求出这个最低造价.

200 200 解:设污水池长为 x m,则宽为 m,且 0<x≤16,0< ≤16,两道隔墙与宽边平行 x x 200 200 时,造价较省,设总价为 Q(x),则 Q(x)=400(2x+2× )+248×2× +80×200=800(x x x 324 324 +16000=44800. + )+16000≥1600 x· x x 324 当且仅当 x= (x>0),即 x=18 时取等号,∴44800 不是最小值. x 200 又∵0<x≤16,0< ≤16,12.5≤x≤16,而 Q(x)在[12.5,16]上单调递减, x 324 ∴Q(x)≥Q(16)=800(16+ )+16000=45000(元). 16 故水池长为 16 m,宽为 12.5 m 时,其总造价最低,最低造价为 45000 元. 21.(12 分)已知函数 f(x)=2x2+mx-1,集合 A={x| log2(x+2)≥log2(x2+x+1)},B={x|32x2-1≤1}. (1)设 f(x)≤0 的解集为 C,若 C?(A∪B),求 m 的取值范围; 9 (2)当 m∈A,x∈B 时,求证:|f(x)|≤ . 8 2 2 解:由题意 A=[-1,1],B=[- , ], 2 2 ∴A∪B=[-1,1]. (1)∵C={x|2x2+mx-1≤0}且 C?(A∪B), ∴不等式 2x2+mx-1≤0 的解集是[-1,1]的子集. ∵?=m2+8>0, f(-1)≥0 ?f(1)≥0 ? ∴只要? ? m ?-1≤ 4 ≤1

即可,解得-1≤m≤1.

∴m 的取值范围为[-1,1]. 1 (2)∵m∈A,x∈B,∴|m|≤1,x2≤ . 2 2 2 ∴|f(x)|=|2x -1+mx|≤|2x -1|+|mx| ≤-(2x2-1)+|x| 1 9 9 =-2(|x|- )2+ ≤ . 4 8 8 22.(14 分)已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5),且 f(x)在区间[-1,4]上的 最大值是 12.
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(1)求 f(x)的解析式. 37 (2)是否存在自然数 m,使得方程 f(x)+ =0 在区间 x (m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说 明理由. 解:(1)∵f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5),∴可设 f(x)=ax(x-5)(a>0). ∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 f(-1)=6a.由已知,得 6a=12.∴a=2. ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). 37 (2)方程 f(x)+ =0 等价于方程 2x3-10x2+37=0. x 设 h(x)=2x3-10x2+37, 则 h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10). 10 当 x∈(0, )时,h′(x)<0,h(x)是减函数; 3 10 当 x∈( ,+∞)时,h′(x)>0,h(x)是增函数. 3 10 1 ∵h(3)=1>0,h( )=- <0,h(4)=5>0, 3 27 10 10 ∴方程 h(x)=0 在区间(3, ),( ,4)内分别有唯一实数根, 3 3 而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实数根. 37 ∴存在唯一的自然数 m=3,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不

x

同的实数根.

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