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[名校联盟]福建省长泰县第一中学2012届高三数学二轮复习专题09 空间直线与平面位置关系的判断与证明


空间直线与平面位置 关系的判断与证明

第一课时:

基本问题

第一课时:

基本问题

[课前导引]

第一课时:

基本问题

[课前导引]
1. 用一个平面去截一个正方形得到

的多边形,可以是__________(将可能的
序号都填上,其中:① 三角形;② 四边 形;③ 五边形;④ 六边形;⑤ 七边形)

[简评] 本问题涉及到直线与平面位

置关系的判定与性质,学生应能根据所学
立体几何知识熟练画出正方体的各种截 面,并能说清楚截面与正方体各表面的

交线是如何画出的.

[简评] 本问题涉及到直线与平面位

置关系的判定与性质,学生应能根据所学
立体几何知识熟练画出正方体的各种截 面,并能说清楚截面与正方体各表面的

交线是如何画出的.
答案:①②③④

2. 一个二面角的两个面与另一个二 面角的两个面分别垂直,则这两个二面 角 ( ) A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 大小关系不能确定

2. 一个二面角的两个面与另一个二 面角的两个面分别垂直,则这两个二面 角 ( ) A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 大小关系不能确定
[简评] 要多从运动的角度来研究直

线与直线、直线与平面、平面与平面的
各种位置关系的空间形象.

2. 一个二面角的两个面与另一个二 面角的两个面分别垂直,则这两个二面 角 ( D) A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 大小关系不能确定
[简评] 要多从运动的角度来研究直

线与直线、直线与平面、平面与平面的
各种位置关系的空间形象.

[考点搜索]

[考点搜索]
1. 画图是一个基本功. 要能熟练画 出水平放置的平面图形的直观图,画出

空间两条直线、直线和平面的各种位置
关系的图形,能够根据图形想像它们的 位置关系.

2. 熟练掌握线线、线面、面面平行

与垂直的各种判定方法以及性质.
3. 会用反证法证明简单的问题. 4. 能够有选择地使用向量方法和非

向量方法解决空间直线与平面位置关系
的问题.

[链接高考]

[链接高考]
[例1] ( 2005年湖北卷)在三棱柱ABC ?

A' B' C '中, 点E、F、H、K分别为AC ' 、 CB' 、A' B、B' C '的中点, G为?ABC的重 心, 从K、H、G、B'中取一点作为 , 使 P 得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行, 则 P为 ( )

A. K

B. H

C. G

D. B'

[链接高考]
[例1] ( 2005年湖北卷)在三棱柱ABC ?

A' B' C '中, 点E、F、H、K分别为AC ' 、 CB' 、A' B、B' C '的中点, G为?ABC的重 心, 从K、H、G、B'中取一点作为 , 使 P 得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行, 则 P为 ( C ) A. K

B. H

C. G

D. B'

[例2] ( 2005年浙江卷) 如图, 在三棱锥

P ? ABC中, AB ? BC ? kPA, 点O、D分 别是AC、PC的中点, OP ? 底面ABC . (1) 求证:OD // 平面PAB; 1 ( 2) 当k ? 时, 2 求直线PA与平面 PBC所成角的大小;

( 3) 当k取何值时, O在平面PBC内 的射影恰好为 PBC的重心? ?

( 3) 当k取何值时, O在平面PBC内 的射影恰好为 PBC的重心? ?
[法一] (1) 由OD // PA可得.

( 3) 当k取何值时, O在平面PBC内 的射影恰好为 PBC的重心? ?
[法一] (1) 由OD // PA可得.

(2) 取BC中点E , 连结PE , 则BC ? 平面POE , 作OF ? PE于F , 连结DF , 则?ODF是OD与 平面PBC所成的角 .

又OD // PA,? PA与平面PBC所成角 的大小等于?ODF . 在Rt?ODF中, OF 210 sin ?ODF ? ? , OD 30 ? PA与平面PBC所 210 成角为arcsin . 30

(3) 由(2)知 : OF ? 平面PBC , ? F是O在平面PBC内的射影. ? D是PC的中点, 若F是?PBC的重心, 则B、 、 三点共线, F D 直线OB在平面PBC 内的射影为直线 , BD ? OB ? PC , ? PC ? BD,

? PB ? BC , 即k ? 1. 反之, 当k ? 1时, 三棱锥O ? PBC为 正三棱锥, ? O在平面PBC 内的射影为 ?PBC的重心.

建立空间坐标系 ? xyz (如图), 设AB ? O 2 a , 则A( a ,0,0), 2 2 B(0, a ,0), 2 2 C (? a ,0,0), 2 设OP ? h, 则P (0,0, h).

[法二] 以O为原点, 射线OP为非负x轴,

2 1 (1) OD ? ( ? a ,0, h), 又 PA 2 2 2 ?( a ,0,? h), 2 1 OD ? ? PA, 2 ? OD // PA, ? OD // 平面PAB.

1 7 (2)? k ? , 则PA ? 2a ,? h ? a, 2 2 2 7 ? PA ? ( a ,0,? a ), 2 2 可求得平面PBC的法 ? 1 向量n ? (1,?1,? ), 7 ? ? PA ? n ? cos( PA, n) ? ? PA ? n

210 ? .设PA与平面PBC所成角为? , 30 ? 则 sin? ? cos( PA, n) 210 ? ,? PA与平 30 面PBC所成的角为 210 arcsin . 30

2 2 1 (3) ?PBC的重心G ( ? a, a , h), 6 6 3 2 2 1 ? OG ? ( ? a, a , h), 6 6 3 ? OG ? 平面PBC , ? OC ? PB, 又 2 PB ? (0, a ,? h), 2

1 2 1 2 2 ? OC ? PB ? a ? h ? 0,? h ? a 6 3 2 ? PA ? OA ? h ? a , 即k ? 1. 反之, 当k ? 1 时, 三棱锥O ? PBC为 正三棱锥. ? O为平面PBC内的 射影为?PBC的重心.
2 2

[方法论坛]

[方法论坛]
1. 如何证两条异面直线相互垂 直:(1) 证明两条异面直线所成角为

90? ;(2) 证明两条异面直线的方向
向量相互垂直.

2. 如何证直线和平面相互平行: (1) 证明直线和这个平面内的一条直线 相互平行;(2) 证明这条直线的方向向 量和这个平面内的一个向量相互平行, 或者这条直线的方向向量可以用这个 平面内的两个向量的线性组合来表示; (3) 证明这条直线的方向向量和这个平 面的法向量相互垂直.

3. 如何证直线和平面垂直:(1)
证明直线和平面内两条相交直线都垂 直;(2) 证明直线的方向量与这个平

面内不共线的两个向量都垂直;(3)
证明直线的方向量与这个平面的法向

量相互平行.

4. 如何证平面和平面相互垂直:

(1)证明这两个平面所成二面角的平面
角为90? ;(2) 证明一个平面内的一条 直线垂直于另外一个平面;(3) 证明两

个平面的法向量相互垂直.

5. 如何证平面和平面互相平行: (1) 证明一个平面内两相交直线都与另 一个平面平行;(2) 证明两个平面的法 向量互相平行.

6. 如何做关于空间线面位置关系
的选择题:工具演示、空间想象、逻

辑推理相结合.

[长郡演练]

[长郡演练]
1. 下列命题正确的是 ( ) A. 过平面外一点作此平面的垂面是 唯一的 B. 过直线外一点作此直线的平行平 面是唯一的 C. 过直线外一点作此直线的垂线是 唯一的 D. 过平面的一条斜线作此平面垂面 是唯一的

[长郡演练]
1. 下列命题正确的是 ( D ) A. 过平面外一点作此平面的垂面是 唯一的 B. 过直线外一点作此直线的平行平 面是唯一的 C. 过直线外一点作此直线的垂线是 唯一的 D. 过平面的一条斜线作此平面垂面 是唯一的

2. a, b异面, 则过a与b垂直的平面( A. 有且只有一个 B. 可能存在可能不存在

)

C. 有无数个
D. 一定不存在

2. a, b异面, 则过a与b垂直的平面( A. 有且只有一个 B. 可能存在可能不存在

)

C. 有无数个
D. 一定不存在

若存在, 则必有a与b异面垂直, 即若
a与b不垂直则不存在过a与b垂直的平面.

2. a, b异面, 则过a与b垂直的平面( B) A. 有且只有一个 B. 可能存在可能不存在

C. 有无数个
D. 一定不存在

若存在, 则必有a与b异面垂直, 即若
a与b不垂直则不存在过a与b垂直的平面.

第二课时:

综合问题

第二课时:

综合问题

[课前导引]

第二课时:

综合问题

[课前导引]
1. 右图是正方体的平面展开图. 在这 个正方体中, ①BM与ED平行 ②CN与BE是异面直线 ③CN与BM成60°角 ④DM与BN垂直 以上四个命题中,正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④

第二课时:

综合问题

[课前导引]
1. 右图是正方体的平面展开图. 在这 个正方体中, ①BM与ED平行 ②CN与BE是异面直线 ③CN与BM成60°角 ④DM与BN垂直 以上四个命题中,正确命题的序号是( C ) A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④

2. 下列5个正方体图形中,l是正方体 的一条对角线,点M、N、P分别为其所 在棱的中点,能得出l⊥面MNP的图形的 序号是 (写出所有符合要求的图 形序号)
M N l M P P P

l
P

N M

l N

l M P

N M

l

N











[解析] 这是2003年的一道高考题.
我们可以先画出一个与l 垂直的正六边

形截面,然后检查过哪三点的截面就是
这个截面;而对于其他情况,要么画出

截面与正方体各表面的交线然后用三垂
线定理判断,要么建立空间直角坐标系 用向量法计算.

[解析] 这是2003年的一道高考题.
我们可以先画出一个与l 垂直的正六边

形截面,然后检查过哪三点的截面就是
这个截面;而对于其他情况,要么画出

截面与正方体各表面的交线然后用三垂
线定理判断,要么建立空间直角坐标系 用向量法计算.

答案: ①④⑤

[考点搜索]

[考点搜索]
1. 探索性问题是近年来高考立体几 何题的热点题. 通常要求考生探索在某平 面或某直线上是否存在一点满足一定的 条件. 2. 折叠问题经常在高考卷中出现.

3. 要求能够证明三点共线和三线共 点问题.

[链接高考]

[链接高考]
[例1] (2005全国卷Ⅱ)正方体ABCD

-A1B1 C1D1中, P、Q、R分别是AB、AD、
B1 C1的中点. 那么正方体的过P、Q、R 的截面图形是 ( (A)三角形 (C)五边形 ) (B)四边形 (D)六边形

[链接高考]
[例1] (2005全国卷Ⅱ)正方体ABCD

-A1B1 C1D1中, P、Q、R分别是AB、AD、
B1 C1的中点. 那么正方体的过P、Q、R 的截面图形是 ( D) (A)三角形 (C)五边形 (B)四边形 (D)六边形

[例2] (2004年湖南卷)如图, 在底面是菱
形的四棱锥P—ABCD中, ?ABC ? 60?,

PA ? AC ? a , PB ? PD ? 2a , 点E在PD上, 且PE:ED= 2: 1.
(I) 证明PA⊥平面ABCD;

(II) 求以AC为棱, EAC与 DAC为面的二面角θ的大小: (III) 在棱PC上是否存在 一点F, 使BF//平面AEC ? 证明你的结论.

[法一] (I)由PA⊥AB及PA⊥AD可得.

(II) 用三垂线法求得二面角?=30°.
(Ⅲ) 证法一:先猜想F为棱PC中点时,有 BF∥平面AEC,然后证明. 可取PE中点M, 连FM,则FM∥CE. 设AC交BD于O,易证BM ∥OE,于是平面BFM∥ 平面AEC,则得BF∥平 面AEC.

[法二]

1 1 BF ? BC ? CP ? AD ? CD ? DP 2 2 1 3 ? AD ? CD ? DE 2 2 1 3 ? AD ? AD ? AC ? AE ? AD 2 2 3 1 ? AE ? AC 2 2

?

?

?

? ?

?

所以 BF , AE , AC 共面, 则BF//平面AEC.

[法三] 以A为原点,直线AD、AP分别为
y轴、z轴,过A点且垂直于平面PAD的直

线为x轴建立空间直角坐标系,写出各相
关点坐标,然后设 PF ? ? PC ,写出向 量 BF 的坐标.. 1 1 令 BF ? x AC ? y AE , 可求得? ? , x ? ? , 2 2 3 y ? , 所以易得当F为PC中点时, BF // 平面 2 AEC .

[例3] (2000年全国高考题)如图,已 知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形, 且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD, (1) 证明:C1C⊥BD; CD ( 2) 当 的值 CC1 为多少时, 能使A1C ? 平面C1 BD ? 请给 出证明.

第一类证法(非向量方法): (1) 证明:连结A1C1、AC 和BD交于O,连结C1O. ∵四边形ABCD是菱形, ? AC ? BD, BC ? CD 又 ? ?BCC1 ? ?DCC1 , C1C ? C1C , ? ?C1 BC ? ?C1 DC , ? C1 B ? C1 D ? DO ? OB ? C1O ? BD, 但AC ? BD, AC ? C1O ? O ,? BD ? 平面AC1 . 又C1C ? 平面AC1 ,? CC1 ? BD.

CD (2) 当 ? 1时, 能使A1C ? 平面C1 BD. CC1 CD ? ? 1,? BC ? CD ? C1C , 又?BCD CC1 ? ?C1CD,由此可推出BD ? C1 B ? C1 D. ? 三棱锥C ? C1 BD是正三棱锥. 设A1C与 C1O相交于G . ? A1C1 // AC , 且A1C1 : OC ? 2 : 1,? C1G : GO ? 2 : 1.又C1O是正三角 形C1 BD的BD边上的高和中线? 点G是 , 正三角形C1 BD的中心,? CG ? 平面C1 BD, 即A1C ? 平面C1 BD.

[法二]

由(1)知, BC ? 平面AC1 ,? A1C ? 平面AC1 , CD ? BD ? A1C . 当 ? 1时, 平面六面体的 CC1 六个面是全等的菱形同BD ? A1C的证法 , 可得BC1 ? A1C .又BD ? BC1 ? B , ? A1C ? 平面C1 BD.

第二类证法(向量法)本题的向量 解法大体上有两类:

法一:确定三个知其模及两夹角的
向量为空间向量的一个基底. 对于平行

六面体来说,通常选择从同一顶点出发
的三条棱表示的向量为基底. 如设:

CB ? a, CD ? b, CC1 ? c, 则 :

? ? ? (1) 不难将C1C , BD用a , b , c 表示, 从而 计算其数量积为 . 0 ( 2) 设CC1 ? a , CD ? ax , 要使A1C ? 平 面C1 BD,由于已经有A1C ? BD, 故只需A1C ? ? ? ? C1 D, 将 A1C , C1 D用a , b , c 表示, 由 A1C ? C1 D ? 0可得x ? 1.

法二:如图建立空间直角坐标系. 并 设底面菱形边长为a,侧棱长为b.
(1)由已知, C1在底面的射影在 上, AC 且 cos ?DCA ? cos ?ACC1 ? cos ?DCC1 , 于 是可求得cos ?ACC1 3 ? , 则各点坐标分 3 ? ? 3 别为C ? 0,? a ,0 ?, ? ? 2 ? ?

? 3 3 C1 ? 0, b? a, ? 3 2 ? ? 3 则CC1 ? ? 0, b, ? 3 ? ?1 ? D? a ,0,0 ?, 所以 ?2 ?

6 ? b ?, 3 ? ?

6 ? ? 1 ? b ?;同时B? ? a ,0,0 ?, 3 ? ? 2 ? ?

BD ? (a ,0,0), 则 可得CC1 ? BD ? 0

所以C1C ? BD;
? 3 3 6 ? ( 2)由A1 ? 0, a? b, b ?, ? 2 3 3 ? ? ? ? A1C ? (0,? 3a 3 6 ? b,? b); 3 3

?1 3 3 6 ? 又 C1 D ? ? a , a? b, ? b ?, ?2 2 3 3 ? ? ? 由 A1C ? C1 D ? 0得 3a ? ab ? 2b ? 0
2 2

故得 : a ? b.

[在线探究]

[在线探究]
[例1] 在正方形SG1G2G3中,E、F分别 是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点, 现在 沿SE、SF及EF将这个正方形折成一个四面 体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点 记为G,则在四面体S-EFG中必有 ( ) A. SG⊥△EFG所在平面 B. SD⊥△EFG所在平面 C. GF⊥△SEF所在平面 D. GD⊥△SEF所在平面

[在线探究]
[例1] 在正方形SG1G2G3中,E、F分别 是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点, 现在 沿SE、SF及EF将这个正方形折成一个四面 体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点 记为G,则在四面体S-EFG中必有 ( A ) A. SG⊥△EFG所在平面 B. SD⊥△EFG所在平面 C. GF⊥△SEF所在平面 D. GD⊥△SEF所在平面

[方法论坛]
1. 如何证三点共线:若要证A、B、C三 点共线, 可证A、B、C均为某两平面的公共点. 2. 如何证三线共点:若要证直线a、b、c 相交于一点, 可设a为某两平面的交线, 而b与c 分别在这两个平面内且相交, 则b与c的交点必 在这两平面的交线a上. 3. 折叠问题:画折前折后图, 找不变量是 关键. 不变量包括线段和角, 特别注意直角. 4. 探索性问题:先假定存在, 然后寻找命 题成立的必要条件.


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