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第二章 解三角形 单元测试(北师大版必修5) (1)


第二章测试
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(5×10=50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.在△ABC 中,若 sinA>sinB,则 A 与 B 的大小关系是( A.A>B C.A≥B 解析 答案 B.A<B D.不能确定 )

由 sinA>sinB 知 a>b,

由三角形大边对大角知 A>B. A

4 12 2.在△ABC 中,A、B 均为锐角,sinA=5,cosB=13,则 cosC 的值为( 16 A.65 16 C.-65 解析 ) 36 B.65 16 D.± 65

4 3 12 5 由 sinA=5,A 为锐角,cosA=5,由 cosB=13,sinB=13,

16 cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinAsinB]=-65. 答案 C )

3.在△ABC 中,a= 5,b= 15,A=30° ,则 B 等于( A.30° C.120° 解析 B.60° D.60° 或 120°

a b 3 由正弦定理sinA=sinB,∴sinB= 2 .

又 b>a,∴B=60° 或 B=120° .
1

答案

D )

4.在△ABC 中,sin2A-sin2C+sin2B=sinAsinB,则 C 为( A.60° C.120° 解析 B.45° D.30°

由正弦定理得 a2+b2-c2=ab,

a2+b2-c2 1 1 整理得 2ab =2,∴cosC=2. 又 C 为三角形内角,∴C=60° . 答案 A )

5.在△ABC 中,B=60° ,b2=ac,则△ABC 一定是( A.锐角三角形 C.等腰三角形 解析 B.钝角三角形 D.等边三角形

由余弦定理,b2=a2+c2-2ac· cosB=a2+c2-ac=ac,

即(a-c)2=0,∴a=c.又 B=60° , ∴△ABC 为等边三角形. 答案 D a+b-c =( sinA+sinB-sinC )

6.在△ABC 中,A=60° ,a= 3,则 A.2 C. 3 解析 1 B.2

3 D. 2 a+b-c a 3 由正弦定理可知 =sinA= =2. sinA+sinB-sinC 3 2 A

答案

3 7.三角形某两边之差为 2,且夹角的余弦值为5,面积为 14,那
2

么这个三角形的这两边长分别是( A.3 和 5 C.6 和 8 解析 设这两边为 x,x+2.

) B.4 和 6 D.5 和 7

1 1 4 由题意可得 S=2x(x+2)sinθ=2x· (x+2)×5=14, 得 x=5,或 x=-7(舍),故选 D. 答案 D

8.在△ABC 中,已知 sinC=2sin(B+C)· cosB,那么△ABC 一定 是( ) A.等腰直角三角形 C.直角三角形 解析 B.等腰三角形 D.等边三角形

由题可知, sinC=sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB, ∴sin(A

-B)=0,∴A=B. ∴△ABC 为等腰三角形. 答案 B )

9.在△ABC 中,b=8,c=8 3,S△ABC=16 3,则 A=( A.30° C.30° 或 150° 解析 1 S△ABC=2bc· sinA=16 3, B.60° D.60° 或 120°

1 即 32 3sinA=16 3,sinA=2. 又 A 为三角形的内角,∴A=30° ,或 A=150° . 答案 C

10.甲船在岛 A 的正南 B 处,以 4 km/h 的速度向正北航行,AB =10 km,同时乙船自岛 A 出发以 6 km/h 的速度向北偏东 60° 的方向
3

驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为( 150 A. 7 min C.21.5 min 解析 15 B. 7 h D.2.15 h

)

如图所示,过 t 小时,甲船到达 D 点,

CD= ?10-4t?2+?6t?2-2×?10-4t?· 6t· cos120°

= 28t2+20t+100. ∴当 t= 20 5 =14时,甲、乙两船相距最近, 2×28

5 150 ∴t=14×60= 7 min. 答案 A

二、填空题(5×5=25 分) 11.在△ABC 中,AC= 6,BC=2,B=60° ,则 A=______; AB=________. 解析 2 6 ∵sinA=sin60° ,

2 ∴sinA= 2 .又 BC<AC,∴A=45° . AB 6 又 C=180° -A-B=75° ,∴sinC=sin60° . ∴AB= 3+1.
4

答案

45°

3 +1

2 12.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C=3π,则 a=________. 解析 1 3 由正弦定理得sinB= 2 , sin3π

1 得 sinB=2.又 b<c, π 2 π π ∴B=6,故∠A=π-3π-6=6,∴a=1. 答案 1

13.设△ABC 的内角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,且 3b2 +3c2-3a2=4 2bc.则 sinA 的值为________. 解析 b2+c2-a2 2 2 由余弦定理得 cosA= 2bc = 3 , 又 0<A<π, 故 sinA

1 = 1-cos2A=3. 1 答案 3 15 3 → → |=5,且AB →· → <0, 14.已知△ABC 的面积为 4 ,|AB |=3,|AC AC → |=________. 则|BC 解析 1→ → 1 15 3 由题意得2|AB |· | AC|sinA=2×3×5sinA= 4 ,∴sinA=

3 → → AC<0, 2 .又AB· ∴A 是钝角,∴A=120° , → |= |BC 答案 7 → |2+|AC → |2-2|AB → |· → |cosA =7. |AB |AC

5

15.已知△ABC 中,A=60° ,最大边和最小边的长是方程 3x2- 27x+32=0 的两根,那么 BC 边长等于________. 解析 32 由题意得 x1+x2=9,x1x2= 3 ,

2 2 由余弦定理,得 BC2=x1 +x2 -2x1x2cos60° =49.

∴BC=7. 答案 7

三、解答题(共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) π 1 16.(12 分)在△ABC 中,C-A=2,sinB=3. (1)求 sinA 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. 解 π (1)由 C-A=2及 A+B+C=π,

π π 得 2A=2-B,0<A<4. 1 3 故 cos2A=sinB,即 1-2sin2A=3,sinA= 3 . 6 (2)由(1)得 cosA= 3 ,由正弦定理得 BC AC sinA = ,∴ BC = sinA sinB sinBAC=3 2. 1 1 ∴S△ABC=2AC· BC· sinC=2AC· BC· cosA=3 2. 17.(12 分)在△ABC 中,A、B 均为锐角,且 cosA>sinB,判断△ ABC 的形状. 解 π ∵cosA>sinB,∴sin(2-A)>sinB.

6

π? π? ? ? π ∵A∈?0,2?,∴2-A∈?0,2?.
? ? ? ? ? ?

π? ? ∵B∈?0,2?, π? ? 且 y=sinx 在?0,2?上为单调增函数,
? ?

π π ∴2-A>B,∴A+B<2. π ∵A+B+C=π,∴C∈(2,π). ∴△ABC 为钝角三角形. 18.(12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 向量 m=(sinB+sinC,sinA-sinB),n=(sinB-sinC,sin(B+C)),且 m⊥n. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sinA=5,求 cosB 的值. 解 (1)由 m⊥n 可得 m· n=0.

即 sin2B-sin2C+sin2A-sinAsinB=0. 由正弦定理得 b2-c2+a2-ab=0, a2+b2-c2 ab 1 得 cosC= 2ab =2ab=2. 又 C 为三角形的内角, π ∴C=3. 3 4 (2)∵sinC= 2 ,sinA=5, 3 4 ∵ 2 >5,知 C>A.

7

3 ∴cosA=5. 4 3-3 ∴cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC= 10 . 19.(13 分)已知角 A、B、C 为△ABC 的内角,其对边分别为 a、 A A? A A? ? ? b、c,若向量 m=?-cos 2 ,sin 2 ?,n=?cos 2 ,sin 2 ?,a=2 3,且 m· n
? ? ? ?

1 =2,△ABC 的面积 S= 3,求 b+c 的值. 解 A A? A A? ? ? 1 ∵m=?-cos 2 ,sin 2 ?,n=?cos 2 ,sin 2 ?,且 m· n=2,∴-
? ? ? ?

A A 1 cos2 2 +sin2 2 =2. 1 2π 即 cosA=-2.又 0<A<π,∴A= 3 . 1 1 2π 3 ∵S=2bc· sinA=2bc· sin 3 = 4 bc= 3, ∴bc=4. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=12, ∴(b+c)2=16,故 b+c=4. 20.(13 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 3 设 S 为△ABC 的面积,满足 S= 4 (a2+b2-c2). (1)求角 C 的大小; (2)求 sinA+sinB 的最大值. 解 1 3 (1)由题意得2absinC= 4 ×2ab· cosC,

∴tanC= 3.又 C 为△ABC 的内角, π ∴C=3.
8

π (2)∵∠C=3,
?2 ? ∴sinA+sinB=sinA+sin?3π-A? ? ?

3 1 =sinA+ 2 cosA+2sinA π? ? = 3sin?A+6?≤ 3.
? ?

π 当 A=3,即△ABC 为等边三角形时取等号. ∴sinA+sinB 的最大值为 3. x x x 21.(13 分)已知向量 m=(cos4,1),n=( 3sin4,cos24).记 f(x) =m· n,在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足(2a -c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围. 解 (2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得

(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC. ∴2sinAcosB=sin(B+C). ∵A+B+C=π, ∴sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0. 1 π 2π ∴cosB=2,则 B=3,∴0<A< 3 .
?A π? π A π π 1 ∴6< 2 +6<2,2<sin? 2 +6?<1. ? ? ? x π? 1 又∵f(x)=m· n=sin?2+6?+2, ? ? ?A π? 1 ∴f(A)=sin? 2 +6?+2. ? ?

9

3? ? 故函数 f(A)的取值范围是?1,2?.
? ?

10


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