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一个几何模型在中考题中的变式拓展


一个几何模型在中考题中的变式拓展

卜以楼
1 一个几何模型及其变式 1.1 基本模型 已知,点M、N在直线AB的异侧,在AB找一点P,使P点到点M、N的距离和 最小. 对于这样一个问题,我们只要连接M、N交直线AB于点P(图1) ,则点P就是 要所求作的点. M M
N

P A N
图1

/>B

A M′
图2

P

B

该问题的本质是, 已知两个定点和一条定直线, 并且两定点在定直线的异侧, 那么,在定直线上必存在一点,到两定点的距离和最小.我们把该问题称为本文 要讨论的“基本模型”. 1.2 变式模型

已知,点M、N在直线AB的同侧,在AB找一点P,使P点到点M、N的距离和 最小. 对于这样一个问题,我们只要将M、N在AB的同侧转化成在AB的异侧即可. 因此,可找出M、N中的某一点关于直线AB的对称点,连接对称点与另一点交直 线AB于点P(图2) ,则点P就是要所求作的点. 该问题的本质是, 已知两个定点和一条定直线, 并且两定点在定直线的同侧, 那么,在定直线上必存在一点,到两定点的距离和最小.我们把该问题称为本文 要讨论的“变式模型”. 解决“基本模型”和“变式模型”的思想方法,就是将线段PM,PN首尾相 连在同一条直线上,根据“两点间线段最短”可得到问题的答案. 2. 基本模型的拓展

* 原载于《中学数学》 (初中) (湖北大学,湖北省数学会) ,2010 年第 6 期。
1

例1 (09年佛山市中考题)如图3,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙 面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C 1 处. (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径; (2)当 A B ? 4, B C ? 4, C C 1 ? 5 时,求蚂蚁爬过的最短路径的长; (3)求点 B1 到最短路径的距离.
D1 A1
C 1?

B1 E

C1

A 图3 图4

B

C

分析 本题将“基本模型”拓展到空间图形中了,因此,只要将空间图形化为平面 图形即可. (1)如图4,木柜的可见表面展开图是两个矩形 A B C 1?D 1 和 A C C 1 A1 .蚂蚁能 够最快到达目的地的可能路径有如图的 A1C 1? 和 A C 1 . (2)蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1 B1 到 C 1 ,爬过的路径的长
l1 ? 4 ? ( 4 ? 5) ?
2 2

97



蚂蚁沿着木柜表面经线段 B B1 到 C 1 ,爬过的路径的长是 l 2 ? ( 4 ? 4 ) 2 ? 5 2 ? 8 9 .
l1 ? l 2 ,最短路径的长是 l 2 ?

89


B1 C 1 A C1

(3)作 B1 E ? A C 1 于 E ,则 B1 E ?

· A A1 ?

4 89

·5 ?

20 89

89

为所求.

点评 本题的的背景有趣,模型简单.但是,解决问题要建立在有一定空间想像力 基础上, 并且还要有根据空间图形画出平面图形的能力, 辅之于必要的算法算理, 方能达到目的. 3.变式模型的拓展与延伸 3.1变式模型的迁移
2

例 2 (09 年抚顺中考题) 如图 5 所示, 正方形 A B C D 的面积为 12,△ A B E 是等边三角形,点 E 在正方形 A B C D 内,在对角线 A C 上有一点 P ,使 PD ? PE 的和最小,则这个最小值为( ) A. 2 3 B. 2 6 C.3 D. 6

分析:由于点 D 、 E 是定点, A C 是定直线,根据题意,它是“拓展模型”. 而点 D 关于直线 A C 的对称点为 B 点,故 B E 的长度即为 P D ? P E 的最小值. 解 选A 点评 本题将“变式模型”的背景,迁移到特殊的四边形——正方形中,虽然问题 的背景有了变化, 但是问题的条件和本质没有发生变化,所以解决该问题没有较 大的难度.而解决该问题需要在寻找哪个点的对称点上作选择,由于 D 关于 AC 的对称点易得(为点 B) ,故在此问题上要积累一些学习经验.
A P E D

A E

P F

D

B 图5

C

B
图6 图5

Q

G

例 3 (05 年无锡中考题) 如图 6,已知矩形 ABCD 的边长 AB=2,BC=3, 点 P 是 AD 边上的一动点(P 异于 A、D) ,Q 是 BC 边上的任意一点. 连 AQ、 DQ,过 P 作 PE∥DQ 交 AQ 于 E,作 PF∥AQ 交 DQ 于 F. (1)求证:△APE∽△ADQ; (2)设 AP 的长为 x,试求△PEF 的面积 S△PEF 关于 x 的函数关系式,并求 当 P 在何处时,S△PEF 取得最大值?最大值为多少? (3)当 Q 在何处时,△ADQ 的周长最小?(须给出确定 Q 在何处的过程 或方法,不必给出证明) 分析 (1)可用相似三角形的判定知识解决; (2)可用二次函数的相关知识获得 问题的解.它们都不在本文的探讨之列. (3)要确定△ADQ 周长最小,就是要确定 AQ+DQ +AD 的和最小.由于 AD=3,则要 AQ+DQ 最小即可.因此,可用“变式模型”可解决.则作 A 关于直 线 BC 对称点 A′,连 DA′交 BC 于 Q,则这个点 Q 就是使△ADQ 周长最小的 点,此时 Q 是 BC 的中点. 点评 本题将“变式模型”的背景,迁移到特殊的四边形——矩形中,问题的结构 有了些变化, 那就是要知道△ADQ 的周长最小, 取决于 AQ+DQ 的最小值.但是 问题的条件和本质也没有发生变化, 所以解决该问题对于绝大部分学生也没有多 大的难度.需要指出的是,解决该问题有一个将三角形的最小周长转化为确定两 线段的和最小值的“模式识别”的问题,这一点也要内化为学习经验.
3

例 4 (08 年咸宁市中考题)如图7,已知两点 D(1,-3)、E(-1,-4),试在直 线 l 上确定一点 Q,使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小,并求出 Q 点坐标. 分析 显然,该问题是本文中的“变式模型” 迁移到直角坐标中.我们可用对称、 一次函数等相关知识获得问题的解. 3.2 变式模型的拓展 例 5 (09 年山东济南中考题) 已知: 如图 8, 抛物线 y ? a x 2 ? b x ? c ? a ? 0 ?
0 的 对 称轴为 x ? ? 1, x 轴交于 A, B 两点,与 y 轴交于点 C ,其中 A ? ? 3, ? 、 与 C ? 0, 2 ? . ?

(1)求这条抛物线的函数表达式; (2)已知在对称轴上存在一点 P,使得 △ P B C 的周长最小.请求出点 P 的 坐标; (3)若点 D 是线段 O C 上的一个动点(不与点 O、点 C 重合) .过点 D 作 D E ∥ P C 交 x 轴于点 E. 连接 P D 、P E .设 C D 的长为 m ,△ P D E 的面积为 S .求 S 与 m 之间的函数关系式.试说明 S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值; 若不存在,请说明理由.
7 6

y l

C

5 4 3 2 1

y E A
6

A A
'

B

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2 -3

O 1

2

3

4

5

x

O D P C 图8

B

x

D

'

E

'

-4 -5 -6

图7

(第22题图)

分析 显然,本题的第 2 问是本文所要讨论的问题.对于(2) ,连结 A C 、 B C . 因为 B C 的长度一定,所以 △ P B C 周长最小,就是使 P C ? P B 最小. B 点关于对 称轴的对称点是 A 点, A C 与对称轴 x ? ? 1 的交点即为所求的点 P . 设直线 A C 的表达式为 y ? kx ? b

4

2 ? ?k ? ? 解得 ? 3 ?b ? ?2 ?

∴此直线的表达式为 y ? ?

2 3

x ? 2.

把 x ? ? 1 代入得 y ? ?

4 3

? ∴ P 点的坐标为 ? ? 1, ?

?

4? ?. 3?

点评 命题者将“变式模型”的视角拓展至二次函数,将问题的背景作了调整,给 人以新的感觉.本题既有例 2 在对称点选择的技巧,又有例 3 在“变式模型”上 的识别,可算是一道“好题”. 例 6 (09 漳州中考题) 如图 9,? A O B ? 45 ° ,P 是 ? A O B 内一点,P O ? 10 , Q、R 分别是 O A、 O B 上的动点,求 △ P Q R 周长的最小值.

B R P Q
图10-1

O

A

图9 分析 本题从形式上看,既不是“基本模型” ,也不是“变式模型”.但是,我们可 以运用解决“基本模型”和“变式模型”的思想方法,把线段PR、RQ、QP首尾 相连在同一条直线上,可得到问题的答案. S 具体方法 作点P关于OB和OA的对称点S、T,连接 B OS、OT、ST,ST分别交OB、OA于点R、Q(如图10所示) , R 则△PQR周长的最小值就是线段ST的长, 由轴对称的性质结 P 合题意可知,△SOT为等腰直角三角形,且OT=10,则ST的 长可求. A O Q 点评 T 解决本题目的方法是运用“变式模型” ,通过轴对称变 图10-2 图10 换,将三条线段首尾相连在一条直线上,再根据“两点间线 段最短”这一性质,达到解题的目的.

3.3

变式模型的应用

例7 (09恩施州中考题)恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、 险”著称于世著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直 的沪渝高速公路X同侧,AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要 在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方 案,图11是方案一的示意图(AP与直线X垂直,垂足为P),P到A、B的距离之和 S1=PA+PB; 图12是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A',连接BA交 直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB . (1) 求S1 、S2 ,并比较它们的大小. (2) 请你说明S2=PA+PB的值为最小. (3) 拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直,建立如图13所示
5

的直角坐标系,B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、 Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

B A
图11(1)

B

y B
A

Q
x

A P x

P

x

P
图11(2)

A′

O
图13 图11(3)

图11

图12

分析 本题给出了两种设计方案,只要按照方案去求解即可. 第(3)问中,由于AB的长度为50 km,故只要求出BQ+QP+PA的最小值即 可,解决它,可从例3、例5、例6中得到启发.因此有: C B 解 ⑴ 在图11中, 过B作BC⊥AP的延长线, 垂足为C, 如图14 则PC=40,又AP=10,∴AC=30. A 在Rt△ABC 中,AB=50 AC=30 ∴BC=40 ∴ BP= C P 2 ? B C 2 ? 4 0 2 S1= 4 0 2 ? 1 0 .
图11(4) 图14

P

在图12中,过B作BC⊥AA′垂足为C,如图15 则A′C=50,又BC=40 ∴BA'= 4 0 2 ? 5 0 2 ? 1 0 4 1 . 由轴对称知:PA=PA' ∴S2=BA'= 10 41 . ∴ S1 ﹥ S 2 .
P
图15 图11(5)

B

C A x A′

B

A M P A′

图16 图11(6)

(2) 在图12中, 在公路上任找一点M, 连接MA, MB、MA',如图16.由轴对称知MA=MA' ∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B ∴S2=BA'为最 B′ 小. (3) 过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y 轴的对称点B',连接A'B',交X轴于点P,交Y轴于 点Q,则P,Q即为所求(如图17). 过A' 、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G, A'B'= 1 0 0 2 ? 5 0 2 ? 5 0 5 . ∴所求四边形的周长为 5 0 ? 5 0 5 .

y
B Q O P A′ A x

图11(7)

图17

点评 对实际问题的求解, 关键是将实际问题数学化.数学化的一般过程为:
6

实际问题





纯数学问题

解数学问题 注意检验

数学化

问题的答案 .

3.4

变式模型与其它模型的关联

例8 (09 山西省中考题)如图18, 在锐角△ABC中,AB= 4 2 , ∠BAC =45°,∠BAC的角平线交BC于点D,M、N分别是AD和BC上的动点,则BM+ MN的最小值是_______________.
C

C
E M D

M
A N
图12(2) 图18

D

B

A

N 图19 图12(1)

B

分析 本题形似本文中的“变式模型” ,但实为另类问题。因为点 M、N 是动点, 点 B 是定点,它不符合“变式模型”的基本条件。本题提供的条件有:定点 B; 定角∠BAC=45°(可以理解成定线段 AC) ;则可联想到“点到线的最小距离” 的几何模型. 不过,我们可以从本文中的几何模型中得到启发:求 BM+MN 的最小值, 从几何学的角度,就是要将线段 BM、MN 转化到一条线段上,而角平分线的性 质定理为之提供了保证. 因此, 我们可以从 B 作 BE⊥AC, 垂为 E, AD 于 M, 交 再作MN⊥AB于N (如 图 19) ,则 BE 的长即为所求. 点评 模型识别是解数学题的关键之一,因此,在研究任何一个数学命题时,首先 要把握准数学问题的本质所在,在数学模型上做准做好文章. 综上所述,求“线段和最小”的问题,归根结底就是要将这些线段转化到一 条线段上,这是解决该类问题的本质方法.在解题时要注意的是要认清问题的本 质,明晰问题的基本模型,不要犯主观性错误.

7


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