重庆市2016届高考适应性数学试卷(理科)(解析版) - 副本

2016 年重庆市高考适应性数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．设 U=R，集合 A={x∈R| }，B={x∈R|0＜x＜2}，则（?UA）∩B=（ ）

A．（1，2] B．[1，2） C．（1，2） D．[1，2] 2．已知实数 a、b 满足（a+i）（

1﹣i）=3+bi，则复数 a+bi 的模为（ A． B．2 C． D．5 ）

3．据我国西部各省（区、市）2013 年人均地区生产总值（单位：千元）绘制的频率分布直方图如 图所示，则人均地区生产总值在区间[28，38）上的频率是（ ）

A．0.3

B．0.4

C．0.5

D．0.7 ） C．y=xsinx D．y=log2 ）

4．下列函数为奇函数的是（ A．y=x3+3x2 B．y=

5． k， 在数列{an}中， 若 a1=2， 且对任意正整数 m、 总有 am+k=am+ak， 则{an}的前 n 项和为 Sn= （ A．n（3n﹣1） B． C．n（n+1） D． ）

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

A．

B．

C．

D．

7．已知圆 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2 与 y 轴在第二象限所围区域的面积为 S，直线 y=2x+b 分圆 C

的内部为两部分，其中一部分的面积也为 S，则 b=（ A． B．± C． D．±

）

8．执行如图所示的程序框图，则输出的 s 的值为（

）

A．﹣7 B．﹣5 C．2

D．9 ）

9．设 x0 为函数 f（x）=sinπx 的零点，且满足|x0|+f（x0+ ）＜33，则这样的零点有（ A．61 个B．63 个 C．65 个 D．67 个

10．已知三棱锥 P﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ ABC 是边长为 1 的正三角形，PC 为球 O 的直径，该三棱锥的体积为 A．4π B．8π ，则球 O 的表面积为（ ）

C．12π D．16π

11．若以 F1（﹣3，0），F2（3，0）为焦点的双曲线与直线 y=x﹣1 有公共点，则该双曲线的离心率 的最小值为（ A． B． ） C． D．

12．设 f′（x）是函数 f（x）的导函数，且 f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（ ）=e（e 为自然对数的底 数），则不等式 f（lnx）＜x2 的解集为（ A．（0， ） B．（0， ） ） D．（ ， ）

C．（ ， ）

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．若向量 满足：| |=1，| |=2，（ ） ，则 的夹角是 ．

14．已知 x、y 满足约束条件

，则 z=2x+y 的最小值为

．

15．某校安排小李等 5 位实习教师到一、二、三班实习，若要求每班至少安排一人且小李到一班， 则不同的安排方案种数为 ．（用数字作答） ．

16．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 a1= ，an+1=2Sn﹣2n，则 a8= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在锐角△ ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 2cos2 （Ⅰ）求 A； （Ⅱ）设 a=2 ，△ ABC 的面积为 2，求 b+c 的值．

+sin2A=1．

18．设某人有 5 发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为 ，若他连续两发命中或 连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完． （Ⅰ）求他前两发子弹只命中一发的概率； （Ⅱ）求他所耗用的子弹数 X 的分布列与期望． 19．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，AB∥CD，∠BAD= PC 上一点，PM=2MC． （Ⅰ）证明：BM∥平面 PAD； （Ⅱ）若 AD=2，PD=3，求二面角 D﹣MB﹣C 的正弦值． ，AB=2，CD=3，M 为

20．如图，F 是椭圆

+

=1（a＞b＞0）的右焦点，O 是坐标原点，|OF|=

，过 F 作 OF 的垂线

交椭圆于 P0，Q0 两点，△ OP0Q0 的面积为

．

（1）求该椭圆的标准方程； （2）若直线 l 与上下半椭圆分别交于点 P、Q，与 x 轴交于点 M，且|PM|=2|MQ|，求△ OPQ 的面积 取得最大值时直线 l 的方程．

21．设 f（x）=（x+1）eax（其中 a≠0），曲线 y=f（x）在 x= 处有水平切线． （1）求 a 的值； （2）设 g（x）=f（x）+x+xlnx，证明：对任意 x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2．

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多选，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。 选修 4--1：几何证明选讲

选修 4--4：坐标系与参数方程 23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （α 为参数），在以坐标原点为极点， ）=2 ．

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ρsin（ （Ⅰ）求曲线 C 和直线 l 在该直角坐标系下的普通方程；

（Ⅱ）动点 A 在曲线 C 上，动点 B 在直线 l 上，定点 P 的坐标为（﹣2，2），求|PB|+|AB|的最小值．

2016 年重庆市高考适应性数学试卷（理科）
一、选择题： 1．设 U=R，集合 A={x∈R| }，B={x∈R|0＜x＜2}，则（?UA）∩B=（ ）

A．（1，2] B．[1，2） C．（1，2） D．[1，2] 故选：B．

2．已知实数 a、b 满足（a+i）（1﹣i）=3+bi，则复数 a+bi 的模为（ A． B．2 C． D．5

）

故选：C． 3．据我国西部各省（区、市）2013 年人均地区生产总值（单位：千元）绘制的频率分布直方图如 图所示，则人均地区生产总值在区间[28，38）上的频率是（ ）

A．0.3

B．0.4

C．0.5

D．0.7

故选：A． 4．下列函数为奇函数的是（ A．y=x3+3x2 B．y= 故选：D． 5． k， 在数列{an}中， 若 a1=2， 且对任意正整数 m、 总有 am+k=am+ak， 则{an}的前 n 项和为 Sn= （ A．n（3n﹣1） 故选：C． 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A． 故选 B． 7．已知圆 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2 与 y 轴在第二象限所围区域的面积为 S，直线 y=2x+b 分圆 C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为 S，则 b=（ A． 故选：D． 8．执行如图所示的程序框图，则输出的 s 的值为（ ） B．± C． D．± ） B． C． D． ） B． C．n（n+1） D． ） ） C．y=xsinx D．y=log2

A．﹣7 B．﹣5 C．2 故选：A．

D．9

9．设 x0 为函数 f（x）=sinπx 的零点，且满足|x0|+f（x0+ ）＜33，则这样的零点有（ A．61 个B．63 个 C．65 个 D．67 个 故选：C．

）

10．已知三棱锥 P﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ ABC 是边长为 1 的正三角形，PC 为球 O 的直径，该三棱锥的体积为 A．4π B．8π ，则球 O 的表面积为（ ）

C．12π D．16π

【解答】解：设球心为 O，球的半径 r．过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1⊥平面 ABC，延长 CO1 交球于点 D，则 PD⊥平面 ABC． ∵CO1= ，∴OO1= ，∴高 PD=2OO1=2 ， ，

∵△ABC 是边长为 1 的正三角形，∴S△ ABC= ∴V 三棱锥 P﹣ABC= × ×2 = ，

∴r=1．则球 O 的表面积为 4π．故选：A． 11．若以 F1（﹣3，0），F2（3，0）为焦点的双曲线与直线 y=x﹣1 有公共点，则该双曲线的离心率 的最小值为（ A． B． ） C． D．

故选：B．

12．设 f′（x）是函数 f（x）的导函数，且 f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（ ）=e（e 为自然对数的底 数），则不等式 f（lnx）＜x2 的解集为（ A．（0， ） B．（0， ） ） D．（ ， ）

C．（ ， ）

【解答】解：可构造函数 F（x）=

，

F′（x）=

=

，

由 f′（x）＞2f（x），可得 F′（x）＞0，即有 F（x）在 R 上递增． 不等式 f（lnx）＜x2 即为 ＜1，（x＞0），即 ＜1，x＞0．

即有 F（ ）=

=1，即为 F（lnx）＜F（ ），

由 F（x）在 R 上递增，可得 lnx＜ ，解得 0＜x＜ 故不等式的解集为（0， 故选：B． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．若向量 满足：| |=1，| |=2，（ ） ），

．

，则

的夹角是

．

14．已知 x、y 满足约束条件

，则 z=2x+y 的最小值为 7 ．

15．某校安排小李等 5 位实习教师到一、二、三班实习，若要求每班至少安排一人且小李到一班， 则不同的安排方案种数为 50 ．（用数字作答） 【解答】解：若一班安排小李，则其余 4 名安排到二、三班，有 C41+C42+C43=14 种； 若一班安排 2 人，则先从其余 4 名选 1 人，其余 3 名安排到二、三班，有 C41（C31+C32）=24 种； 若一班安排 3 人，则先从其余 4 名选 2 人，其余 2 名安排到二、三班，有 C42A22=12 种； 故共有 14+24+12=50 种． 故答案为：50． 16．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 a1= ，an+1=2Sn﹣2n，则 a8= ﹣592 ．

故答案为：﹣592． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在锐角△ ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 2cos2 （Ⅰ）求 A； （Ⅱ）设 a=2 ，△ ABC 的面积为 2，求 b+c 的值． +sin2A=1，可得 cos（B+C）+sin2A=0， ． +sin2A=1．

【解答】解：（Ⅰ）在锐角△ ABC 中，由 2cos2

即 sin2A=cosA，即 2sinAcosA=cosA，求得 sinA= ，∴A= （Ⅱ）设 a=2 ，△ ABC 的面积为 2，∴

bc?sinA=2，∴bc=8． bc

再利用余弦定理可得 a2=16﹣8 =（b+c）2﹣16﹣8 ∴b+c=4 ． ，

=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣2bc﹣

18．设某人有 5 发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为 ，若他连续两发命中或 连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完． （Ⅰ）求他前两发子弹只命中一发的概率； （Ⅱ）求他所耗用的子弹数 X 的分布列与期望． 【解答】解：（Ⅰ）∵某人有 5 发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为 ， ∴他前两发子弹只命中一发的概率： p= = ．

（Ⅱ）由已知得他所耗用的子弹数 X 的可能取值为 2，3，4，5， P（X=2）=（ ）2+（ ）2= ， P（X=3）= P（X=4）= P = （X=5） = ， = ， = ， + +

∴X 的分布列为：

X P ∴EX=

2

3

4

5

=

． ，AB=2，CD=3，M 为

19．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，AB∥CD，∠BAD= PC 上一点，PM=2MC． （Ⅰ）证明：BM∥平面 PAD； （Ⅱ）若 AD=2，PD=3，求二面角 D﹣MB﹣C 的正弦值． DE=AB， 【解答】 证明： （1） 在 DC 上取点 E， 使 DE=2， 则 DE∥AB， 则四边形 ABED 是平行四边形，则 EB∥AD， ∵ ，∴PD∥ME，则平面 PAD∥平面 MBE，

∵BM?平面 MBE，BM?平面 PAD，∴BM∥平面 PAD （2）△ ABD 是正三角形，建立以 D 为坐标原点的空间直角坐标系如图： 则 B（ =（ ，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），M（0，2，1）， ，1，0）， =（0，2，1），

设平面 DBM 的法向量为 =（x，y，z）， 则由 ? = x+y=0， ，z=2 ? =2y+z=0，得 则 =（1，﹣ ，2 =（﹣ ， ）， ，2，0），

令 x=1，则 y=﹣

设平面 MBC 的法向量为 =（x，y，z）， =（0，1，﹣1）， 则 ? =﹣ x+2y=0， ，z= ， ）， = ? ， =y﹣z=0，

令 x=2，则 y= 即 =（2，

则 cos＜ ， ＞=

=

，

则二面角 D﹣MB﹣C 的正弦值 sinα= 即平面 ACD 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值是

=

． ．

20．如图，F 是椭圆

+

=1（a＞b＞0）的右焦点，O 是坐标原点，|OF|=

，过 F 作 OF 的垂线

交椭圆于 P0，Q0 两点，△ OP0Q0 的面积为 （1）求该椭圆的标准方程；

．

（2）若直线 l 与上下半椭圆分别交于点 P、Q，与 x 轴交于点 M，且|PM|=2|MQ|，求△ OPQ 的面积 取得最大值时直线 l 的方程．

【解答】解：（1）由题意可得 c=

，将 x=c 代入椭圆方程可得 y=±b = ，且 a2﹣b2=5，

=±

，

即有△ OP0Q0 的面积为 |PQ|?c= 解得 a=3，b=2，即有椭圆方程为

，即

+

=1；

（2）设 M（t，0），且

＜1，即﹣3＜t＜3．

直线 PQ：x=my+t，代入椭圆方程，可得（4m2+9）y2+8mty+4t2﹣36=0， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），y1+y2=﹣ 由|PM|=2|MQ|，可得 =2 ， ，y1y2= ＜0，

即有﹣y1=2y2，代入韦达定理可得， t2= ，即有 m2= ，即有 1＜t2＜9．

则△ OPQ 的面积为 S= |t|?|y1﹣y2|= |t|? =6|t|? =

，

当 t2=5＜9，由图示可得 t＜0，此时 m2= ，△ OPQ 的面积取得最大值，且为 ×4=3． 故所求直线方程为 x=± y﹣ ．

21．设 f（x）=（x+1）eax（其中 a≠0），曲线 y=f（x）在 x= 处有水平切线． （1）求 a 的值； （2）设 g（x）=f（x）+x+xlnx，证明：对任意 x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2． 【解答】（1）解：f（x）=（x+1）eax（其中 a≠0），x∈R．f′（x）=（ax+a+1）?eax． ∵曲线 y=f（x）在 x= 处有水平切线． ∴ =（a+2）e=0，解得 a=﹣2．

证明：对任意 x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2?g（x）max﹣g（x）min＜e﹣1+2e﹣2． g（x）=f（x）+x+xlnx= +x+xlnx，g′（x）= +2+lnx，

可知：g′（x）在 x∈（0，1）上单调递增； ∵x∈（0，1），∴x→0 时，g′（x）→﹣∞；x=1 时，g′（x）= ∴必然存在 t∈（0，1），使得 g′（t）=0． 由于 = +2﹣ln4＜0， = +2﹣ln2＞0，∴t∈ ． ＞0．

由 g′（t）=0，可得

+2+lnt=0，可得：lnt=

﹣2，

∴g（x）min=g（t）= ∴函数 u（t）在 t∈

+t+tlnt=

﹣t=u（t），u′（t）=

﹣1＜0，

单调递减．其最小值 +1＞g（x）max． +1﹣ ＜e﹣1+2e﹣2．

=

，

而当 x=1 时，函数 g（1）= ∴g（x）max﹣g（x）min＜

选修 4--4：坐标系与参数方程 23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （α 为参数），在以坐标原点为极点， ）=2 ．

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ρsin（ （Ⅰ）求曲线 C 和直线 l 在该直角坐标系下的普通方程；

（Ⅱ）动点 A 在曲线 C 上，动点 B 在直线 l 上，定点 P 的坐标为（﹣2，2），求|PB|+|AB|的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵曲线 C 的参数方程为 ∴曲线 C 的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1． ∵直线 l 的极坐标方程为 ρsin（ ∴ ρsinθ+ρcosθ=4， ∴直线 l 直角坐标方程为 x+y﹣4=0． （Ⅱ）如图，P 关于 y=﹣x+4 对称点 P'（x，y）， |P'C|﹣r=P'A=P'A=|P'B|=P'B|+|A'B|， 此时 P'BA 共成共线，|PB|+|AB|取最小值， 又 ∴|PA'|= ∴ ． ．． ，解得 x=2，y=6， ﹣1= ， ）=2 =2 ， ，

（α 为参数），

∴|PB|+|AB|的最小值是