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重庆市2016届高考适应性数学试卷(理科)(解析版) - 副本


2016 年重庆市高考适应性数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.设 U=R,集合 A={x∈R| },B={x∈R|0<x<2},则(?UA)∩B=( )

A.(1,2] B.[1,2) C.(1,2) D.[1,2] 2.已知实数 a、b 满足(a+i)(1﹣i)=3+bi,则复数 a+bi 的模为( A. B.2 C. D.5 )

3.据我国西部各省(区、市)2013 年人均地区生产总值(单位:千元)绘制的频率分布直方图如 图所示,则人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是( )

A.0.3

B.0.4

C.0.5

D.0.7 ) C.y=xsinx D.y=log2 )

4.下列函数为奇函数的是( A.y=x3+3x2 B.y=

5. k, 在数列{an}中, 若 a1=2, 且对任意正整数 m、 总有 am+k=am+ak, 则{an}的前 n 项和为 Sn= ( A.n(3n﹣1) B. C.n(n+1) D. )

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

B.

C.

D.

7.已知圆 C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=2 与 y 轴在第二象限所围区域的面积为 S,直线 y=2x+b 分圆 C

的内部为两部分,其中一部分的面积也为 S,则 b=( A. B.± C. D.±



8.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 的值为(



A.﹣7 B.﹣5 C.2

D.9 )

9.设 x0 为函数 f(x)=sinπx 的零点,且满足|x0|+f(x0+ )<33,则这样的零点有( A.61 个B.63 个 C.65 个 D.67 个

10.已知三棱锥 P﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,PC 为球 O 的直径,该三棱锥的体积为 A.4π B.8π ,则球 O 的表面积为( )

C.12π D.16π

11.若以 F1(﹣3,0),F2(3,0)为焦点的双曲线与直线 y=x﹣1 有公共点,则该双曲线的离心率 的最小值为( A. B. ) C. D.

12.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,且 f′(x)>2f(x)(x∈R),f( )=e(e 为自然对数的底 数),则不等式 f(lnx)<x2 的解集为( A.(0, ) B.(0, ) ) D.( , )

C.( , )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若向量 满足:| |=1,| |=2,( ) ,则 的夹角是 .

14.已知 x、y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最小值为



15.某校安排小李等 5 位实习教师到一、二、三班实习,若要求每班至少安排一人且小李到一班, 则不同的安排方案种数为 .(用数字作答) .

16.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 a1= ,an+1=2Sn﹣2n,则 a8= 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.在锐角△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 2cos2 (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)设 a=2 ,△ ABC 的面积为 2,求 b+c 的值.

+sin2A=1.

18.设某人有 5 发子弹,他向某一目标射击时,每发子弹命中目标的概率为 ,若他连续两发命中或 连续两发不中则停止射击,否则将子弹打完. (Ⅰ)求他前两发子弹只命中一发的概率; (Ⅱ)求他所耗用的子弹数 X 的分布列与期望. 19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB∥CD,∠BAD= PC 上一点,PM=2MC. (Ⅰ)证明:BM∥平面 PAD; (Ⅱ)若 AD=2,PD=3,求二面角 D﹣MB﹣C 的正弦值. ,AB=2,CD=3,M 为

20.如图,F 是椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点,O 是坐标原点,|OF|=

,过 F 作 OF 的垂线

交椭圆于 P0,Q0 两点,△ OP0Q0 的面积为



(1)求该椭圆的标准方程; (2)若直线 l 与上下半椭圆分别交于点 P、Q,与 x 轴交于点 M,且|PM|=2|MQ|,求△ OPQ 的面积 取得最大值时直线 l 的方程.

21.设 f(x)=(x+1)eax(其中 a≠0),曲线 y=f(x)在 x= 处有水平切线. (1)求 a 的值; (2)设 g(x)=f(x)+x+xlnx,证明:对任意 x1,x2∈(0,1)有|g(x1)﹣g(x2)|<e﹣1+2e﹣2.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多选,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。 选修 4--1:几何证明选讲

选修 4--4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 (α 为参数),在以坐标原点为极点, )=2 .

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρsin( (Ⅰ)求曲线 C 和直线 l 在该直角坐标系下的普通方程;

(Ⅱ)动点 A 在曲线 C 上,动点 B 在直线 l 上,定点 P 的坐标为(﹣2,2),求|PB|+|AB|的最小值.

2016 年重庆市高考适应性数学试卷(理科)
一、选择题: 1.设 U=R,集合 A={x∈R| },B={x∈R|0<x<2},则(?UA)∩B=( )

A.(1,2] B.[1,2) C.(1,2) D.[1,2] 故选:B.

2.已知实数 a、b 满足(a+i)(1﹣i)=3+bi,则复数 a+bi 的模为( A. B.2 C. D.5



故选:C. 3.据我国西部各省(区、市)2013 年人均地区生产总值(单位:千元)绘制的频率分布直方图如 图所示,则人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是( )

A.0.3

B.0.4

C.0.5

D.0.7

故选:A. 4.下列函数为奇函数的是( A.y=x3+3x2 B.y= 故选:D. 5. k, 在数列{an}中, 若 a1=2, 且对任意正整数 m、 总有 am+k=am+ak, 则{an}的前 n 项和为 Sn= ( A.n(3n﹣1) 故选:C. 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 故选 B. 7.已知圆 C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=2 与 y 轴在第二象限所围区域的面积为 S,直线 y=2x+b 分圆 C 的内部为两部分,其中一部分的面积也为 S,则 b=( A. 故选:D. 8.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 的值为( ) B.± C. D.± ) B. C. D. ) B. C.n(n+1) D. ) ) C.y=xsinx D.y=log2

A.﹣7 B.﹣5 C.2 故选:A.

D.9

9.设 x0 为函数 f(x)=sinπx 的零点,且满足|x0|+f(x0+ )<33,则这样的零点有( A.61 个B.63 个 C.65 个 D.67 个 故选:C.



10.已知三棱锥 P﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,PC 为球 O 的直径,该三棱锥的体积为 A.4π B.8π ,则球 O 的表面积为( )

C.12π D.16π

【解答】解:设球心为 O,球的半径 r.过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1,则 OO1⊥平面 ABC,延长 CO1 交球于点 D,则 PD⊥平面 ABC. ∵CO1= ,∴OO1= ,∴高 PD=2OO1=2 , ,

∵△ABC 是边长为 1 的正三角形,∴S△ ABC= ∴V 三棱锥 P﹣ABC= × ×2 = ,

∴r=1.则球 O 的表面积为 4π.故选:A. 11.若以 F1(﹣3,0),F2(3,0)为焦点的双曲线与直线 y=x﹣1 有公共点,则该双曲线的离心率 的最小值为( A. B. ) C. D.

故选:B.

12.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,且 f′(x)>2f(x)(x∈R),f( )=e(e 为自然对数的底 数),则不等式 f(lnx)<x2 的解集为( A.(0, ) B.(0, ) ) D.( , )

C.( , )

【解答】解:可构造函数 F(x)=



F′(x)=

=



由 f′(x)>2f(x),可得 F′(x)>0,即有 F(x)在 R 上递增. 不等式 f(lnx)<x2 即为 <1,(x>0),即 <1,x>0.

即有 F( )=

=1,即为 F(lnx)<F( ),

由 F(x)在 R 上递增,可得 lnx< ,解得 0<x< 故不等式的解集为(0, 故选:B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若向量 满足:| |=1,| |=2,( ) ),



,则

的夹角是



14.已知 x、y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最小值为 7 .

15.某校安排小李等 5 位实习教师到一、二、三班实习,若要求每班至少安排一人且小李到一班, 则不同的安排方案种数为 50 .(用数字作答) 【解答】解:若一班安排小李,则其余 4 名安排到二、三班,有 C41+C42+C43=14 种; 若一班安排 2 人,则先从其余 4 名选 1 人,其余 3 名安排到二、三班,有 C41(C31+C32)=24 种; 若一班安排 3 人,则先从其余 4 名选 2 人,其余 2 名安排到二、三班,有 C42A22=12 种; 故共有 14+24+12=50 种. 故答案为:50. 16.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 a1= ,an+1=2Sn﹣2n,则 a8= ﹣592 .

故答案为:﹣592. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.在锐角△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 2cos2 (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)设 a=2 ,△ ABC 的面积为 2,求 b+c 的值. +sin2A=1,可得 cos(B+C)+sin2A=0, . +sin2A=1.

【解答】解:(Ⅰ)在锐角△ ABC 中,由 2cos2

即 sin2A=cosA,即 2sinAcosA=cosA,求得 sinA= ,∴A= (Ⅱ)设 a=2 ,△ ABC 的面积为 2,∴

bc?sinA=2,∴bc=8. bc

再利用余弦定理可得 a2=16﹣8 =(b+c)2﹣16﹣8 ∴b+c=4 . ,

=b2+c2﹣2bc?cosA=(b+c)2﹣2bc﹣

18.设某人有 5 发子弹,他向某一目标射击时,每发子弹命中目标的概率为 ,若他连续两发命中或 连续两发不中则停止射击,否则将子弹打完. (Ⅰ)求他前两发子弹只命中一发的概率; (Ⅱ)求他所耗用的子弹数 X 的分布列与期望. 【解答】解:(Ⅰ)∵某人有 5 发子弹,他向某一目标射击时,每发子弹命中目标的概率为 , ∴他前两发子弹只命中一发的概率: p= = .

(Ⅱ)由已知得他所耗用的子弹数 X 的可能取值为 2,3,4,5, P(X=2)=( )2+( )2= , P(X=3)= P(X=4)= P = (X=5) = , = , = , + +

∴X 的分布列为:

X P ∴EX=

2

3

4

5

=

. ,AB=2,CD=3,M 为

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB∥CD,∠BAD= PC 上一点,PM=2MC. (Ⅰ)证明:BM∥平面 PAD; (Ⅱ)若 AD=2,PD=3,求二面角 D﹣MB﹣C 的正弦值. DE=AB, 【解答】 证明: (1) 在 DC 上取点 E, 使 DE=2, 则 DE∥AB, 则四边形 ABED 是平行四边形,则 EB∥AD, ∵ ,∴PD∥ME,则平面 PAD∥平面 MBE,

∵BM?平面 MBE,BM?平面 PAD,∴BM∥平面 PAD (2)△ ABD 是正三角形,建立以 D 为坐标原点的空间直角坐标系如图: 则 B( =( ,1,0),P(0,0,3),C(0,3,0),M(0,2,1), ,1,0), =(0,2,1),

设平面 DBM 的法向量为 =(x,y,z), 则由 ? = x+y=0, ,z=2 ? =2y+z=0,得 则 =(1,﹣ ,2 =(﹣ , ), ,2,0),

令 x=1,则 y=﹣

设平面 MBC 的法向量为 =(x,y,z), =(0,1,﹣1), 则 ? =﹣ x+2y=0, ,z= , ), = ? , =y﹣z=0,

令 x=2,则 y= 即 =(2,

则 cos< , >=

=



则二面角 D﹣MB﹣C 的正弦值 sinα= 即平面 ACD 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值是

=

. .

20.如图,F 是椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点,O 是坐标原点,|OF|=

,过 F 作 OF 的垂线

交椭圆于 P0,Q0 两点,△ OP0Q0 的面积为 (1)求该椭圆的标准方程;



(2)若直线 l 与上下半椭圆分别交于点 P、Q,与 x 轴交于点 M,且|PM|=2|MQ|,求△ OPQ 的面积 取得最大值时直线 l 的方程.

【解答】解:(1)由题意可得 c=

,将 x=c 代入椭圆方程可得 y=±b = ,且 a2﹣b2=5,





即有△ OP0Q0 的面积为 |PQ|?c= 解得 a=3,b=2,即有椭圆方程为

,即

+

=1;

(2)设 M(t,0),且

<1,即﹣3<t<3.

直线 PQ:x=my+t,代入椭圆方程,可得(4m2+9)y2+8mty+4t2﹣36=0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),y1+y2=﹣ 由|PM|=2|MQ|,可得 =2 , ,y1y2= <0,

即有﹣y1=2y2,代入韦达定理可得, t2= ,即有 m2= ,即有 1<t2<9.

则△ OPQ 的面积为 S= |t|?|y1﹣y2|= |t|? =6|t|? =



当 t2=5<9,由图示可得 t<0,此时 m2= ,△ OPQ 的面积取得最大值,且为 ×4=3. 故所求直线方程为 x=± y﹣ .

21.设 f(x)=(x+1)eax(其中 a≠0),曲线 y=f(x)在 x= 处有水平切线. (1)求 a 的值; (2)设 g(x)=f(x)+x+xlnx,证明:对任意 x1,x2∈(0,1)有|g(x1)﹣g(x2)|<e﹣1+2e﹣2. 【解答】(1)解:f(x)=(x+1)eax(其中 a≠0),x∈R.f′(x)=(ax+a+1)?eax. ∵曲线 y=f(x)在 x= 处有水平切线. ∴ =(a+2)e=0,解得 a=﹣2.

证明:对任意 x1,x2∈(0,1)有|g(x1)﹣g(x2)|<e﹣1+2e﹣2?g(x)max﹣g(x)min<e﹣1+2e﹣2. g(x)=f(x)+x+xlnx= +x+xlnx,g′(x)= +2+lnx,

可知:g′(x)在 x∈(0,1)上单调递增; ∵x∈(0,1),∴x→0 时,g′(x)→﹣∞;x=1 时,g′(x)= ∴必然存在 t∈(0,1),使得 g′(t)=0. 由于 = +2﹣ln4<0, = +2﹣ln2>0,∴t∈ . >0.

由 g′(t)=0,可得

+2+lnt=0,可得:lnt=

﹣2,

∴g(x)min=g(t)= ∴函数 u(t)在 t∈

+t+tlnt=

﹣t=u(t),u′(t)=

﹣1<0,

单调递减.其最小值 +1>g(x)max. +1﹣ <e﹣1+2e﹣2.

=



而当 x=1 时,函数 g(1)= ∴g(x)max﹣g(x)min<

选修 4--4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 (α 为参数),在以坐标原点为极点, )=2 .

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρsin( (Ⅰ)求曲线 C 和直线 l 在该直角坐标系下的普通方程;

(Ⅱ)动点 A 在曲线 C 上,动点 B 在直线 l 上,定点 P 的坐标为(﹣2,2),求|PB|+|AB|的最小值.

【解答】解:(Ⅰ)∵曲线 C 的参数方程为 ∴曲线 C 的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1. ∵直线 l 的极坐标方程为 ρsin( ∴ ρsinθ+ρcosθ=4, ∴直线 l 直角坐标方程为 x+y﹣4=0. (Ⅱ)如图,P 关于 y=﹣x+4 对称点 P'(x,y), |P'C|﹣r=P'A=P'A=|P'B|=P'B|+|A'B|, 此时 P'BA 共成共线,|PB|+|AB|取最小值, 又 ∴|PA'|= ∴ . .. ,解得 x=2,y=6, ﹣1= , )=2 =2 , ,

(α 为参数),

∴|PB|+|AB|的最小值是


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