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必修1:3.2.2 函数模型的应用实例


第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例

复习引入
一次函数、二次函数的 解析式及图象与性质.

分段函数模型的应用 例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率 与时间的关系如图所示. h-1) (1) 求图中阴影部分 v/(km· 100 的面积,并说明所 90 求面积的实际含义; 80 70
60 50 4

0 30 20 10
10

O 1 2 3 4 5 t/h

解:(1)阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内 行驶的路程为360km.

3. 分段函数模型的应用 例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率 与时间的关系如图所示. (2)假设这辆汽车的里 v/(km· h-1) 程表在汽车行驶这段 100 90 路程前的读数为2004 80 70 km, 试建立行驶这段 60 路程时汽车里程表读 50 40 数skm与时间th的函 30 20 数解析式, 并作出相 10 O 1 2 3 4 5 t/h 应的图象.
10

(2)

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
10

?50t ? 2004, ?80( t ? 1) ? 2054, 函数解析式 ? ? s ? ?90( t ? 2) ? 2134, ?75( t ? 3) ? 2224, ? - 1 v/(km· h ) ? ?65( t ? 4) ? 2299,

0 ? t ? 1, 1 ? t ? 2, 2 ? t ? 3, 3 ? t ? 4, 4 ? t ? 5.

O 1 2 3 4 5 t/h

(2)

2400 2300

?50t ? 2004, ?80( t ? 1) ? 2054, 函数解析式 ? ? s ? ?90( t ? 2) ? 2134, ?75( t ? 3) ? 2224, ? s ? ?65( t ? 4) ? 2299,

0 ? t ? 1, 1 ? t ? 2, 2 ? t ? 3, 3 ? t ? 4, 4 ? t ? 5.

2200
2100 2000

函数图象

O

1

2

3

4

5

t

归纳
解题方法:

归纳
解题方法:
1. 读题,找关键点;

归纳
解题方法:
1. 读题,找关键点;

2. 抽象成数学模型;

归纳
解题方法:
1. 读题,找关键点;

2. 抽象成数学模型;
3. 求出数学模型的解;

归纳
解题方法:
1. 读题,找关键点;

2. 抽象成数学模型;
3. 求出数学模型的解; 4. 做答.

总结
解决应用用问题的步骤:

总结
解决应用用问题的步骤: 读题

总结
解决应用用问题的步骤: 读题—列式

总结
解决应用用问题的步骤: 读题—列式—解答.

复习
1. 一次函数模型的应用 2. 二次函数模型的应用 3. 分段函数模型的应用

讲授新课
指数函数模型的应用
例2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题. 认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人 口增长提供依据.早在1798年,英国经济学家马 尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然 状态下的人口增长模型:y=y0ert,其中t表示经 过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口 的年平均增长率.

下表是1950~1959年我国的人口数据资料:
年 份 人数/万人 年 份 1950 55196 1955 1951 56300 1956 1952 57482 1957 1953 58796 1958 1954 60266 1959

人数/万人

61456

62828

64563

65994

67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率(精确到 0.0001),用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人 口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据 是否相符;

解: (1)设1951~1959年的人口增长率 分别为r1,r2,…,r9. 由 55196(1+r1)=56300, 可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200. 同理可得, r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0.0250, r5≈0.0197,r6≈0.0223,r7≈0.0276, r8≈0.0222,r9≈0.0184.

于是,1951~1959年期间,我国人口的 年均增长率为 r=(r1+r2+… +r9) ÷9≈0.0221. 令y0=55196,则我国在1950~1959年期 间的人口增长模型为 y=55196e0.0221t,t∈N.

根据表3-8中的数据作出散点图,并作 出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象 (如图).
s 7000 6500 6000 5500 5000 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t

由图可以看出,所得模型与1950~1959年 的实际人口数据基本吻合.

下表是1950~1959年我国的人口数据资料:
年 份 人数/万人 年 份 1950 55196 1955 1951 56300 1956 1952 57482 1957 1953 58796 1958 1954 60266 1959

人数/万人

61456

62828

64563

65994

67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率(精确到 0.0001),用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人 口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据 是否相符; (2)如果按表的增长趋势,大约在哪一年我国的 人口达到13亿?

(2)将y=130000代入 y=55196e0.0221t(t∈N), 由计算器可得 t≈38.76.

所以,如果按上表的增长趋势,那 么大约在1950年后的第39年(即1989 年)我国的人口就已达到13亿.由此可 以看到如果不实行计划生育,而是让人 口自然增长,今天我国将面临难以承受 的人口压力.

小 结:
用已知的函数模型刻画实际的问题 时,由于实际问题的条件与得出已知模 型的条件会有所不同,因此往往需要对 模型进行修正.

例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均 值如下表
身高/cm
体重/kg 身高/cm 体重/kg

60
6.13 120 20.92

70
7.90 130 26.86

80
9.90 140 31.11

90
12.15 150 38.85

100
15.02 160 47.25

110
17.50 170 55.05

(1) 根据表提供的数据,能否建立恰当的函数模 型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男 性体重 ykg 与身高 xcm 的函数关系?试写出这 个函数模型的解析式.

例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均 值如下表
身高/cm
体重/kg 身高/cm 体重/kg

60
6.13 120 20.92

70
7.90 130 26.86

80
9.90 140 31.11

90
12.15 150 38.85

100
15.02 160 47.25

110
17.50 170 55.05

(1) 根据表提供的数据,能否建立恰当的函数模 型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男 性体重 ykg 与身高 xcm 的函数关系?试写出这 个函数模型的解析式.

y=2×1.02x

例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均 值如下表
身高/cm
体重/kg 身高/cm 体重/kg

60
6.13 120 20.92

70
7.90 130 26.86

80
9.90 140 31.11

90
12.15 150 38.85

100
15.02 160 47.25

110
17.50 170 55.05

(2) 若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么这个地区 一名身高为 175cm,体重为 78kg 的在校男生的 体重是否正常?

(2)将x=175代入y=2×1.02x,得 y=2×1.02175,
由计算器算得

y≈63.98. 由于 78÷63.98≈1.22>1.2,

所以,这个男生偏胖.

小 结:
通过建立函 数模型,解决实 际问题的基本过 程:

小 结:
通过建立函 数模型,解决实 际问题的基本过 程:

收集数据

小 结:
通过建立函 数模型,解决实 际问题的基本过 程:

收集数据 画散点图

小 结:
通过建立函 数模型,解决实 际问题的基本过 程:

收集数据 画散点图 选择函数模型

小 结:
通过建立函 数模型,解决实 际问题的基本过 程:

收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型

小 结:
通过建立函 数模型,解决实 际问题的基本过 程:

收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型

检验

小 结:
通过建立函 数模型,解决实 际问题的基本过 程:

收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型

检验 符合实际 用函数模型解释实际问题

小 结:

收集数据

画散点图 通过建立函 数模型,解决实 不 选择函数模型 际问题的基本过 符 合 程: 求函数模型 实 际 检验 符合实际 用函数模型解释实际问题

课堂小结
1. 注意培养制表,读表,读图,画图的

能力;

课堂小结
1. 注意培养制表,读表,读图,画图的

能力;
2. 分段函数是刻画现实问题的重要模型;

课堂小结
1. 注意培养制表,读表,读图,画图的

能力;
2. 分段函数是刻画现实问题的重要模型;

3. 用已知的函数模型刻画实际的问题的
重要模型.


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