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湖北省2015届高三一轮复习质量检测数学(文)试题


稳派湖北省部分学校 2015 届高三一轮复习质量检测

文科数学

本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 1.设 i 是虚数单位,若复数
<

br />A.2
【答案】 A

B . ?2

2 ? mi 为纯虚数,则实数 m 的值为 1? i 1 1 C. D.? 2 2

【解析】依题意

2 ? mi (2 ? mi)(1 ? i) 2 ? m m ? 2 2 ? mi ? ? ? i .由复数 为纯虚数可知 1? i 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2

2?m m?2 ? 0 ,且 ? 0 ,求得 m ? 2 .故选 A . 2 2
【解题探究】 本题主要考查复数的基本概念与复数的运算. 解题的关键是利用复数运算法则进行 复数的乘法、除法运算,求解时注意理解纯虚数的概念. 2.某中学从甲、乙两个艺术班中各选出 7 名学生参加市级才 甲 艺比赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图 所示,其中甲班学生成绩的众数是 85 ,乙班学生成绩的 中位数是 83 ,则 x ? y 的值为 8 5 9 7 8 9 6 1 1 乙

x 0
6 2

y

1 1 6

A.6

B .8

C .9

D . 11

【答案】 B . 【解析】由茎叶图可知,茎为 8 时,甲班学生成绩对应数据只能是 80 , 80 ? x , 85 ,因为甲班 学生成绩众数是 85 , 所以 85 出现的次数最多, 可知 x ? 5 . 由茎叶图可知, 乙班学生成绩为 76 ,81 ,

81 ,80 ? y ,91 ,91 ,96 ,由乙班学生成绩的中位数是 83 ,可知 y ? 3 .所以 x ? y ? 8 .故选 B .
【解题探究】 本题主要考查统计中的众数与中位数的概念. 解题时分别对甲组数据和乙组数据进 行分析,分别得出 x , y 的值,进而得到 x ? y 的值.
·1 ·

3.已知 f ( x) ? 3sin x ? ? x ,命题 p : ?x ? (0,

?
2

) , f ( x) ? 0 ,则

? A .p 是假命题,? p : ?x ? (0, ) ,f ( x) ? 0 2

? B .p 是假命题,? p : ?x0 ? (0, ) ,f ( x0 ) ? 0 2
? ? p : ?x ? (0, ) ,f ( x) ? 0 D .p 是真命题, 2
?
2 ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,即

? ? p : ?x0 ? (0, ) ,f ( x0 ) ? 0 C .p 是真命题,
2
【答案】 C . 【解析】因为 f ?( x) ? 3cos x ? ? ,所以当 x ? (0, 对 ?x ? (0,

?
2

) , f ( x) ? f (0) ? 0 恒成立, 所以 p 是真命题. 又全称命题的否定是特称命题, 所以 ? p ) , f ( x0 ) ? 0 .故选 C .

是 ?x0 ? (0,

?
2

【解题探究】本题考查函数的单调性与全称命题的否定.解题首先判断命题 p 的真假,然后再 将命题 p 写成 ? p 的形式,注意特称命题与全称命题否定形式的基本格式. 4.执行图中的程序框图(其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数) ,则 输出的 S 值为

A.4

B.5

C .6

D .7

【答案】 D . 【解析】每次循环的结果分别为: n ? 0 , S ? 0 ; n ? 1 , S ? 1 ;

n ? 2 , S ? 1?1 ? 2 ; n ? 3 , S ? 2 ?1 ? 3 ; n ? 4 , S ? 3 ? 2 ? 5; n ? 5 , S ? 5 ? 2 ? 7 ,这时 n ? 4 ,输出 S ? 7 .故选 D .
【解题探究】本题考查程序框图的运算和对不超过 x 的最大整数 ? x ? 的理解.要得到该程序运行 后输出的 S 的值,主要依据程序逐级运算,并通过判断条件 n ? 4? 调整运算的继续与结束,注意执 行程序运算时的顺序. 5.一个几何体的三视图如图所示,如该几何体的表面积为

92 cm2 ,则 h 的值为

A.4
【答案】 A

B.5

C .6

D .7

【解析】由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形 的四棱柱,其底面直角梯形的上底为 2 ,下底为 5 ,高为 4 ,
·2 ·

四棱柱的高为 h ,则几何体的表面积 2 ?

2?5 ? 4 ? (2 ? 4 ? 5 2

? 32 ? 42 )h ? 92 ,即 16h ? 64 ,解得 h ? 4 .故选 A .
【解题探究】本题考查立体几何中的三视图及几何体的表面积计算.通过题中给出的三视图,分 析可以得到该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱,然后依据四棱柱的表面积公式进行计算.

C 所对应的边分别为 a , b, B, 6. 在 △ ABC 中, 内角 A , 若 bn s i A ? 3c o a s c,


B 0

且 b2 ? a c , ? ,

a?c 的值为 b

A.

2 2

B. 2

C.2

D.4

【答案】 C .

A? 【 解 析 】 由 正 弦 定 理 得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ? 0 , 因 为 s i n

0 所以 ,

siB n ? 3c oB s?0.
所以 tan B ? 3 , 又0 ? B ?? , 所以 B ?

?
3

2 2 2 2 2 . 由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac ,

2 2 2 2 2 即 b ? (a ? c) ? 3ac ,又 b ? ac ,所以 4b ? (a ? c) ,求得

a?c ? 2 .故选 C . b

【解题探究】本题考查正弦定理、余弦定理得应用.解题先由正弦定理求得角 B ,再由余弦定 理 列出关于 a , c 的关系式,然后进行合理的变形,求出

a?c 的值. b

?y ? x ? 7.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4 ,则 z ?| x ? 3 y | 的 ? x ? ?2 ?
最大值为

A.4

B.6

C .8

D . 10

【答案】C. 【解析】依题意,画出满足条件的可行域如图中阴影部分, 则 对 于 目 标 函 数 z ?| x ? 3 y | , 当 直 线 经 过 点 A(?2, 2) 时 , z ?| x? 3 y |取 得 最 大 值 , 即

zmax ?| ?2 ? 3? 2 |? 8 .故选 B .
【解题探究】本题考查线性规划问题中的最优解.求解先画出满足条件的可行域,再通过平移
·3 ·

直线 y ?

1 x 找到在可行域中满足使 z ?| x ? 3 y | 取得最大值的点. 3

8.函数 f ( x) ? 2 x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 上的图象大致是 2 2

【答案】 D .

, ) 关于原点对称,因为 f (? x) ? ?2 x ? tan x ? ?(2 x ? tan x) ? ? f ( x) , 2 2 ? 2? ? 5? 5? ? tan ? 0 , f ( ) ? ? 所以函数 f ( x ) 为定义域内的奇函数, 可排除 B ,C ; 因为 f ( ) ? 3 3 3 12 6

【解析】定义域 ( ?

? ?

6 ? 5? ? (2 ? 3) ? 0 ,可排除 A .故选 D . ? ? 6 1 ? tan ? tan 4 6 4
【解题探究】本题考查函数图象的识别. 求解这类问题一般先研究函数 y ? f ( x) 的奇偶性、单 调性,如果借助函数的这些性质还不能够区分图象时,不妨考虑取特殊点(或局部范围)使问题求 解得到突破. 9.已知双曲线 C :

tan

?

? tan

?

x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线 2 a b

分别交于 A , B 两点, O 为坐标原点,若双曲线 C 的离心率为 2 , △ AOB 的面积为 3 ,则

△ AOB 的内切圆半径为
A . 3 ?1
【答案】 C .

B . 3 ?1

C . 2 3 ?3

D .2 3 ?3

b ? y?? x ? b p bp c a ?b b ? a 【解析】 由e ? ? 可得 ? 3 . 由? , 求得 A( ? , ) , ? 1 ? ( )2 ? 2 , 2 a 2 2a a a a ?x ? ? p ? 2 ?
2 2

·4 ·

B(?

p bp 1 bp p b , ? ) ,所以 S△ AOB ? ? ? ? 3 .将 ? 3 代入,得 p 2 ? 4 ,解得 p ? 2 .所以 2 2a 2 a 2 a

A(?1, 3), B(?1, ? 3) ,则 △ AOB 的三边分别为 2 , 2 , 2 3 ,设 △ AOB 的内切圆半径为 r ,


1 (2 ? 2 ? 2 3)r ? 3 ,解得 r ? 2 3 ? 3 .故选 C . 2
【解题探究】 本题考查双曲线和抛物线的综合应用. 求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关

系,找到它们对应的几何量,然后利用图形中的平面几何性质解答问题. 10.定义:如果函数 f ( x ) 在 ? a, b? 上存在 x1 , x2 ( a ? x1 ? x2 ? b ) ,满足 f ?( x1 ) ?

f (b) ? f (a ) , b?a

f (b) ? f (a ) ,则称数 x1 , x2 为 ? a, b? 上的“对望数” ,函数 f ( x ) 为 ? a, b? 上的“对望 b?a 1 3 2 函数” .已知函数 f ( x) ? x ? x ? m 是 ?0, m? 上的“对望函数” ,则实数 m 的取值范围是 3 3 3 3 3 C . (1, 2) U (2,3) A . (1, ) B . ( ,3) D . (1, ) U ( ,3) 2 2 2 2 f ?( x2 ) ?
【答案】 B . 【解析】由题意可知,在 ?0, m? 上存在 x1 , x2 ( 0 ? x1 ? x2 ? m ) ,满足 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ?

1 3 m ? m2 1 f (m) ? f (0) 3 1 ? ? m2 ? m , 因 为 f ?( x) ? x2 ? 2 x, 所 以 方 程 x 2 ? 2 x ? m 2 ? m 在 3 m?0 m 3
4 2 ? ?△? 4 ? 3 m ? 4m ? 0 ? ? g (0) ? ? 1 m 2 ? m ? 0 ? 1 3 ,则 ? , ?0, m? 上有两个不同的根.令 g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 m2 ? m ( 0 ? x ? m ) 2 2 ? g ( m) ? m ? m ? 0 ? 3 ? ?m ? 1 ?
解得

3 3 ? m ? 3 ,所以实数 m 的取值范围是 ( ,3) .故选 B . 2 2
【解题探究】本题是一道新定义函数问题,考查对函数性质的理解和应用.解题时首先求出函

数 f ( x ) 的导函数,再将新定义函数的性质转化为导函数的性质,进而结合函数的零点情况确定参数

m 所满足的条件,解之即得所求.

第Ⅱ卷(非选择题
·5 ·

共 100 分)

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.) 11.已知集合 A ? ? x | y ?

? ?

? ? , B ? ?x | y ? log2 (2 ? x)? ,则 A I ??R B ? ? 6 ? x ? x2 ? 1



【答案】 2,3? . 【解析】 因为 A ? ? x | y ?

?

? ?

? 则 ?R B ? ? (?2,3) ,B ? ?x | y ? log2 (2 ? x)? ? ? ??,2? , 6 ? x ? x2 ? 1

? ?2, ??? ,所以 A I ??R B ? ? ?2,3? .故填 ? 2,3? .
【解题探究】本题主要考查函数定义域的求解和集合的补集、交集运算.求解集合 A 时要注意 两点:一是根式有意义的条件,二是分母不能为 0 ;求解集合 B 的补集,要注意区间端点的取值. 12.某研究机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析,得到如下数据: 记忆能力 x 识图能力 y

4

6
5

8
6

10
8

3

y? 由表中数据,求得线性回归方程为 $
为 . 【答案】 9.5 .

4 x ?$ a ,若某儿童的记忆能力为12 时,则他的识图能力 5

y? 【解析】由表中数据得 x ? 7 , y ? 5.5 ,由 ( x, y ) 在直线 $ y? 归方程为 $

4 1 x ?$ a ,得 $ a ? ? ,即线性回 5 10

4 1 4 1 x? . y ? ?12 ? ? 9.5 , 所以当 x ? 12 时,$ 即他的识图能力为 9.5 . 故填 9.5 . 5 10 5 10

【解题探究】 本题考查统计知识中的线性回归方程的应用. 解题关键是求出线性归回方程中的 $ a 值,方法是利用样本点的中心 ( x, y ) 在线性归回方程对应的直线上. 13.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S6 ? S7 ? S5 ,则满足 Sk Sk ?1 ? 0 的正整数 k ? 【答案】 12 . 【解析】 依题意 a6 ? S6 ? S5 ? 0 , 则 S11 ? a7 ? S7 ? S6 ? 0 ,a6 ? a7 ? S7 ? S5 ? 0 , .

11(a1 ? a 1 1 ) 2

? 11a6 ? 0 , S12 ?

13(a1 ? a13 ) 12(a1 ? a12 ) 12(a6 ? a7 ) ? ? 0 ,S13 ? ? 13a7 ? 0 ,所以 S12 S13 ? 0 , 2 2 2

即满足 Sk Sk ?1 ? 0 的正整数 k ? 12 .故填 12 .
·6 ·

【解题探究】本题考查数列的前 n 项和与通项 an 关系的应用.解题首先由 S6 ? S7 ? S5 得到 a6 ,

a7 的符号,进而推理出 S12 S13 ? 0 .
14.过点 P(2,3) 的直线 l 将圆 Q : ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 16 分成两段弧,当形成的优弧最长时,则 (1)直线 l 的方程为 (2)直线 l 被圆 Q 截得的弦长为 【答案】 x ? 2 y ? 8 ? 0 ; 2 11 . 【解析】 ( 1 )设圆心为 Q(1,1) ,由圆的性质得,当直线 l ? PQ 时,形成的优弧最长,此时 ; .

k PQ ?

3 ?1 1 1 ? 2 ,所以直线 l 的斜率为 k ? ? .于是有点斜式得直线 l 的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 2) , 2 ?1 2 2

即 x ? 2 y ? 8 ? 0 .故填 x ? 2 y ? 8 ? 0 . (2)圆心 Q(1,1) 到直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 的距离为 d ?

|1 ? 2 ?1 ? 8 | 12 ? 22

? 5 ,设直线 l 与圆 Q 相交于点

A , B ,则弦长 | AB |? 2 42 ? ( 5) 2 ? 2 11 .故填 2 11 .
【解题探究】本题考查直线与圆的位置关系和直线被圆截得弦长的计算.第( 1)问利用直线

l ? PQ 时,形成的优弧最长可求出直线的斜率,进而求出直线 l 的方程;第(2)问先求出圆心到直
线 l 的距离,再计算直线 l 被圆 Q 截得的弦长. 15.已知正实数 a , b 满足 【答案】

1 2 ? ? 3 ,则 (a ? 1)(b ? 2) 的最小值是 a b



50 . 9

【解析】因为 a ? 0 , b ? 0 ,所以 3 ?

1 2 1 2 8 2 2 ? ? 2 ? ,即 ab ? ,求得 ab ? ,当且 9 3 a b a b

2 ?1 2 ? ? a? ? ? 8 1 2 b ? 2a ?a b ? 3 ?3, 仅当 ? , 即? 时等号成立, 所以 ab 的最小值是 . 又 ? ? 即 2a ? b ? 1 2 4 9 a b ab ? ? ?3 ?b ? ? ? 3 ?a b ?
8 50 50 3ab ,所以 (a ? 1)(b ? 2) ? ab ? 2a ? b ? 2 ? 4ab ? 2 ? 4 ? ? 2 ? .故填 . 9 9 9
·7 ·

【解题探究】 本题考查二元均值不等式的应用.首先由条件

1 2 8 ? ? 3 得到 ab ? ,再对 a b 9

(a ? 1)( b ? 2)展开求出其最小值.
16.我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前 5 ? 6 世纪)提出了一条原理“幂势既同,则积不容异. ”这 句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截, 如果截得的两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等.设由曲线 x2 ? 4 y 和直线

x ? 4 , y ? 0 所围成的平面图形,绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为 Г1 ;由同时满足 x ? 0 ,

x2 ? y 2 ? 16 , x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的点 ( x, y ) 构成的平面图形,绕 y 轴旋转一
周所得到的旋转体为 Г 2 ,根据祖暅原理等知识,通过考察 Г 2 可以得到 Г1 的体积为 【答案】 32? . 【解析】作出两曲线所表示的可行区域知, Г 2 的轴截面为一半径为 4 的半圆内切两半径为 2 的 小圆所形成,面积近似为 Г1 的轴截面面积的两倍,符合祖暅原理.又 Г 2 的体积为 V ? .

4 ? ? 43 ? 3

4 2 ? ? ? 23 ? 64? ,于是 Г1 所表示几何体的体积应为 32? .故填 32? . 3
【解题探究】本题以数学史中祖暅原理为命题背景,考查旋转体的体积求解和类比推理能力.解 题时首先由问题给出的图形旋转,求出旋转体 Г 2 的体积,然后利用祖暅原理分析出旋转体 Г1 的体积 与旋转体 Г 2 的体积之间的关系,进而得到 Г1 的体积.

? 上的任意一点. 17.在正方形 ABCD 中, E 为 AB 的中点, P 是以 A 为圆心, AB 为半径的圆弧 BD
(1) 若向正方形 ABCD 内撒一枚幸运小花朵, 则小花朵落在扇形 ABD 内的概率为 (2)设 ?PAB ? ? ,向量 AC ? ? DE ? ? AP ( ? , ? ? R ),若 ? ? ? ? 1,则 ? ? 【答案】 ; .

uuu r

uuu r

uu u r

? ? ; . 4 2
y D

【解析】 (1)所求概率为扇形 ABD 的面积与正方形 ABCD 的面积的比值,设正方形边长为 a ,

1 2 ?a ? ? 则所求概率为 P ? 4 2 ? .故填 . 4 a 4
uuu r 1 AD 所在直线为 x 轴, y 轴建立直角坐标系,则 DE ? ( , ?1) , 2
·8 ·

C
P

(2)不妨设正方形边长为 1 ,以 A 为坐标原点, AB ,

A

E

B

x

uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r AC ? (1,1) , AP ? (cos? ,sin ? ) .由 AC ? ? DE ? ? AP ,得
2sin ? ? 2 cos ? ? ?1 ?? ? ? ? cos ? ? 1 ? ? ? ? ?2 ? sin ? ? 2 cos ? , 解得 ? .由 ? ? ? ? 1 , 求得 sin ? ? 1 , 从而 ? ? .故填 . ? 3 2 2 ? ?? ? ? sin ? ? 1 ?? ? ? ? ? sin ? ? 2 cos ? ?
【解题探究】本题是一道涉及几何概型和向量知识的综合问题.第(1)题是几何概型问题,求解 转化为扇形的面积与正方形面积的比来解决;第(2)问是关于平面向量线性运算的考题,解题时可 建立适当的坐标系,用向量的坐标运算来实现转化.若假设正方形边长为1 ,则点 P 在单位圆上,就 可以考虑引入三角函数来表示点 P 的坐标. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( x ? R , A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2



的部分图象如图所示,P 是图象的最高点,Q 为图象与 x 轴的交点,O 为坐标原点. 若 OQ ? 4 ,

OP ? 5 , PQ ? 13 .
(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 2 个单位后得到函 数 y ? g ( x) 的图象,当 x ? (?1, 2) 时,求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的值域.

42 ? ( 5)2 ? ( 13)2 5 【解析】 (1)由条件知 cos ?POQ ? ,所以 P(1, 2) . (2 分) ? 5 2? 4? 5
由此可得振幅 A ? 2 ,周期 T ? 4 ? (4 ? 1) ? 12 ,又 将点 P(1, 2) 代入 f ( x) ? 2sin( 因为 0 ? ? ?

2?

?
6

x ? ? ) ,得 sin(

?
6

?

? 12 ,则 ? ?

?
6



x ? ?) ? 1,

?
2

,所以 ? ?

?
3

,于是 f ( x) ? 2sin(

?

x? ). 6 3

?

(6 分)

(2)由题意可得 g ( x) ? 2sin ?

?? ? ?? ( x ? 2) ? ? ? 2sin x . 3? 6 ?6
?
x ? ) ? sin x ? 2sin 2 x ? 2 3 sin x ? cos x 6 3 6 6 6 6

所以 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 4sin(

?

?

?

?

?

? 1 ? cos

?
3

x ? 3 sin

?
3

x ? 1 ? 2sin(

?

x? ). 3 6
·9 ·

?

(9 分)

当 x ? (?1, 2) 时, 即 1 ? 2 sin(

?
3

x?

?
6

? (-

? ?

?
3

x?

?

,) ( - 1,1 ) ,所以 sin( x ? ) ? , 2 2 3 6
(12 分)

?

?

6

)? ( - 1,3) .于是函数 h( x) 的值域为(-1,3) .

【命题立意】本题主要考查三角函数的图象和性质.第(1)问从给出的三角函数图象中给出三 个线段信息,从中可以求出图象最高点的坐标, T 的长度,由此推理出三角函数的解析式;第(2) 问考查三角函数图象的平移、三角函数的恒等变换及三角函数的值域等知识,求解三角函数的值域, 关注自变量 x 的取值范围是解题的关键, 同时还要结合三角函数的图象进行分析, 才能准确求出其函 数值域. 19. (本小题满分 12 分) 设二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 2( x ? R ,a ? 0 ) , 关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素. (1)设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? f (n) ( n ? N ) ,求数列 ?an ? 的通项公式;
?

1 4

(2)记 bn ? 理由.

f (n) ?2 ? (n?N ) ,则数列 ?bn ? 中是否存在不同的三项能组成等比数列?请说明 n

【解析】 (1)因为关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素, 所以二次函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 ( x ? R )的图象与 x 轴相切,
2 2 则 △? (?a) ? 4 ? 2 ? 0 ,考虑到 a ? 0 ,所以 a ? ?2 2 .

从而 f ( x) ? x2 ? 2 2x ? 2 ? ( x ? 2)2 , 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n ? 2) ( n ? N ) .
2
?

(3 分)
2

于是当 n ? 2 , n ? N 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (n ? 2) ? ?(n ? 1) ? 2 ? ? 2n ? 2 2 ? 1 ,
?

2

?

?

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? (1 ? 2) ? 3 ? 2 2 ,不适合上式.
2

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? (2) bn ?

? ?3 ? 2 2,

n ?1

? ? ?2n ? 2 2 ? 1, n ? 2, n ? N



(6 分)

f ( n) ? 2 ? n?2 2 . n

2 假设数列 ?bn ? 中存在三项 bp ,bq ,br (正整数 p ,q ,r 互不相等)成等比数列,则 bq ? bpbr ,

·10·

即 (q ? 2 2)2 ? ( p ? 2 2)(r ? 2 2) ,整理得 ( pr ? q)2 ? 2 2( p ? r ? 2q) ? 0 . (9 分)

? pr ? q 2 ? 0 因为 p , q , r 都是正整数,所以 ? , ? p ? r ? 2q ? 0
于是 pr ? (

p?r 2 ) ? 0 ,即 ( p ? r )2 ? 0 ,从而 p ? r 与 p ? r 矛盾. 2
(12 分)

故数列 ?bn ? 中不存在不同的三项能组成等比数列.

【命题立意】 本题主要考查数列通项公式的求解及等比数列性质的研究.第(1)问由不等式

f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素,得到 Sn ? f (n) ,然后由此求出数列 ?an ? 的通项公式,由 Sn 求
通项 an 时注意检验初始项 a1 是否满足;第(2)问判断数列 ?bn ? 中是否存在不同的三项能组成等比 数列,基本方法是先假设它们成等比数列,再证明问题是否有解. 20. (本小题满分 13 分) 如图,AB 为圆 O 的直径,E 是圆 O 上不同于 A ,B 的动点, 四边形 ABCD 为矩形,且 AB ? 2 , AD ? 1 ,平面 ABCD ? 平面 ABE . (1)求证: BE ? 平面 DAE ;

C

3 (2)当点 E 在 ? . AB 的什么位置时,四棱锥 E ? ABCD 的体积为 3
【解析】 (1)因为四边形 ABCD 为矩形,所以 DA ? AB , 又平面 ABCD ? 平面 ABE , 且平面 ABCD I 平面 ABE ? AB , 所以 DA ? 平面 ABE , 而 BE ? 平面 ABE ,所以 DA ? BE . (3 分) 又因为 AB 为圆 O 的直径, E 是圆 O 上不同于 A , B 的 动点,所以 AE ? BE . 因为 DA I AE ? A ,所以 BE ? 平面 DAE . (6 分) 在 Rt △BAE 中,记 ?BAE ? ? ( 0 ? ? ?

D B

O

?

A

E

(2) 因为平面 ABCD ? 平面 ABE , 过点 E 作 EH ? AB 交 AB 于点 H , 则 EH ? 平面 ABCD .

?

2 因为 AB ? 2 ,所以 AE ? 2 cos ? , HE ? AE ? sin ? ? 2cos ? sin ? ? sin 2? , 1 1 2 所以 VE ? ABCD ? S ABCD ? HE ? ? 2 ?1? sin 2? ? sin 2? . 3 3 3
由已知 VE ? ABCD ? 因为 0 ? ? ?

) ,

(10 分)

C

3 3 2 3 ,所以 sin 2? ? ,即 sin 2? ? . 2 3 3 3

?
2

,所以 2? ?

?
3

,即 ? ?

?
6



D B

·11·

O
H

?

或 2? ?

2? ? ,即 ? ? . 3 3

于是点 E 在 ? AB 满足 ?EAB ?

?
6

或 ?EAB ?

?
3

时,四棱锥

E ? ABCD 的体积为

3 . 3

(13 分)

【命题立意】本题考查立体几何中的线面关系的证明和四棱锥体积的计算.第(1)问先证明线 线垂直, 再证明线面垂直; 第 (2) 问探求点 E 在 ? 四棱锥 E ? ABCD 的体积为 AB 的什么位置时, 从研究 ?BAE ? ? 的大小着手思考,通过体积建立关系求出 ? 的大小. 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , g ( x) ? ex . (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的最值; (2)当 a ? 0 时,过原点分别作曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的切线 l1 , l2 ,已知两切线的斜率互

3 , 3

为倒数,证明:

e ?1 e2 ? 1 ?a? . e e

【解析】 (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? 2( x ? 1) ,定义域为 (0, ??) .

1 1? 2x ?2? . (2 分) x x 1 1 1 当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,即函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增, 2 2 2 1 在 ( , ??) 上单调递减. 2 1 1 1 所以 f ( x) max ? f ( ) ? ln ? 2( ? 1) ? 1 ? ln 2 ,没有最小值. (5 分) 2 2 2
对 f ( x ) 求导,得 f ?( x) ? (2)设切线 l2 的方程为 y ? k2 x ,切点为 ( x2 , y2 ) ,则 y2 ? ex2 ,

k2 ? g ?( x2 ) ? e x2 ?

y2 ,所以 x2 ? 1 , y2 ? e ,则 k2 ? ex2 ? e . x2
1 1 1 ? , l1 的方程为 y ? k1 x ? x . e k2 e

由题意知,切线 l1 的斜率为 k1 ?

设 l1 与曲线 y ? f ( x) 的切点为 ( x1 , y1 ) ,则 k1 ? f ?( x1 ) ?
·12·

1 1 y ?a ? ? 1 , x1 e x1

所以 y1 ?

x1 1 1 ? 1 ? ax1 , a ? ? . e x1 e

又因为 y1 ? ln x1 ? a( x1 ? 1) ,消去 y1 和 a 后,整理得 ln x1 ? 1 ? 令 m( x) ? ln x ? 1 ?

1 1 ? ? 0. x1 e

(8 分)

1 1 1 1 x ?1 ? ? 0 , 则 m' ( x) ? ? 2 ? 2 , m( x) 在 (0,1) 上 单 调 递 减 , 在 x e x x x

(1, ??) 上单调递增.
若 x1 ? (0,1) ,因为 m( ) ? ?2 ? e ?

1 e

1 1 1 ? 0 , m(1) ? ? ? 0 ,所以 x1 ? ( ,1) , e e e
(10 分)

e ?1 e2 ? 1 1 1 1 ?a? 而 a ? ? 在 x1 ? ( ,1) 上单调递减,所以 . e e e x1 e
若 x1 ? (1, ??) ,因为 m( x) 在 (1, ??) 上单调递增,且 m(e) ? 0 ,则 x1 ? e , 所以 a ?

1 1 . ? ? 0 (舍去) x1 e

(13 分)

综上可知,

e ?1 e2 ? 1 ?a? . e e

(14 分)

【命题立意】本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题.第(1) 问利用导数求函数的单调区间, 求解函数的最值; 第 (2) 问背景为指数函数 y ? e 与对数函数 y ? ln x
x

关于直线 y ? x 对称的特征,得到过原点的切线也关于直线 y ? x 对称,主要考查利用导函数研究曲 线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题,得到不等式的证明. 22.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,且 a 2 b2
3 . 4

| A1 A2 |? 4 , P 为椭圆上异于 A1 , A2 的点, PA1 和 PA2 的斜率之积为 ?

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 O 为椭圆中心, M , N 是椭圆上异于顶点的两个动点,求 △OMN 面积的最大值.

a ? 2 ,所以 A1 (?2,0) , A2 (2,0) . 【解析】 (1)由 | A 1A 2 |? 2a ? 4 ,得

·13·

? y0 y 3 ? 0 ?? ? 4 ? x0 ? 2 x0 ? 2 设 P( x0 , y0 ) ,则 ? 2 ,解得 b2 ? 3 . 2 ? x0 ? y0 ? 1 2 ? ?4 b
x2 y2 ? ? 1. 于是椭圆 C 的标准方程为 4 3
(2)①当直线 MN 垂直于 x 轴时,设 MN 的方程为 x ? n , (5 分)

? x2 y2 ? ?1 ? 3 2 3 2 ?4 3 由? ,得 M (n, 3 ? n ) , N (n, ? 3 ? n ) , 4 4 ?x ? n ? ?
从而 S△OMN ?

1 3 3 ? n ? 2 3 ? n2 ? 3n2 ? n4 , 2 4 4
(7 分)

当 n ? ? 2 时, △OMN 的面积取得最大值 3 . ②当直线线 MN 与 x 轴不垂直时,设 MN 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 y2 ? ?1 ? ?4 3 2 2 2 由? 消去 y ,得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 . ? y ? kx ? m ? ?

△? 64k 2m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,化简得 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0 .
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

(9 分)

4m 2 ? 12 ?8km x x ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

| MN |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 4 3 ? 1 ? k 2 ?
原点 O 到直线 MN 的距离 d ?

3 ? 4k 2 ? m2 , 3 ? 4k 2

|m| 1? k 2



所以 S△OMN

1 3 ? 4k 2 ? m 2 ? m 2 1 ? | MN | ?d ? 2 3 ? ? 2 3? ? 3. 2 2 3 ? 4k 2
(13 分)

2 2 当且仅当 3 ? 4k ? 2m 时, S△OMN 取得最大值 3 .

·14·

综合①②知, △OMN 的面积取得最大值 3 .

(14 分)

【命题立意】本题考查椭圆标准方程的求解及研究直线和椭圆相交时对应三角形面积的最值讨 论.第(1)问首先由 | A 1A 2 |? 4 得到椭圆左、右顶点的坐标,再由 PA 1 和 PA2 的斜率之积为 ?

3 求 4

出几何量 b 的值即得椭圆标准方程;第(2)问先列出 △OMN 的面积,需要求直线被椭圆截得的弦 长,计算点到直线的距离,再讨论 △OMN 的面积最值. 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·15·


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