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福建省三明一中2013-2014学年高二11月阶段性考试数学(理)试题 Word版含答案(


福建省三明市第一中学 2013-2014 学年度高二上学期 11 月阶段性考试

数学试题(理科)
(考试时间:120 分钟,总分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) x2 y2 1. 椭圆 + =1 的右焦点到直线 y= 3x 的距离是 4 3

/>
A. 2

1

B.

3 2

C .1

D. 3

2.某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生.随机询问了该班五名男生和五名女 生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分 别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是

A .这种抽样方法是一种分层抽样

B .这种抽样方法是一种系统抽样

C .这五名男生成绩的方差小于这五名女生成绩的方差
D .该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
3.直线 y ? x ? 1 被 y 2 ? x 截得的弦长为

A .3

B .2 3

C.

10

D .4

4.用秦九韶算法求多项式 f ( x) ? x 6 ? 5x 5 ? 6x 4 ? x 2 ? 0.3x ? 2 ,在 x ? ?2 时,? 2 的值 为

A . ? 161 .7

B . ? 40

C . 20

D . 81

5.在装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取两个球,那么对立的两个事件是

A .至少有一个黑球与都是黑球

B .至少有一个黑球与至少有一个红球 D .至少有一个黑球与都是红球
? ?

C .恰有一个黑球与恰有一个红球
? ?

6.若 a ? ( 2 x , 1, 3 ) , b ? ( 1 ,?2 y , 9 ) ,若 a 与 b 为共线向量,则

A . x ?1, y ?1

B . x ? 1 ,y ??1 2 2

C. x? 1 ,y ??3 6 2
7. 已知椭圆

D. x ? ?1 ,y ? 3 6 2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A , B 在椭圆上, BF ? x 点 且 a 2 b2

轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是

??? ?

??? ?

1 世纪教育网

A.

1 3

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2
x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01

8. 在某种新型材料的研制中, 实验人员获得了下面 一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个 近似地表示这些数据的规律,其中表示效果最好 的一个是

A . y ? 2x ? 2

B . y ? 1 ( x 2 ? 1) 2 D . y ? (1)x 2

C . y ? log x 2

9.过双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左焦点 F 作圆 O : x 2 ? y 2 ? a 2 的两条切线, 2 a b
?

切点为 A , B ,双曲线左顶点为 C ,若 ?ACB ? 120 ,则双曲线的渐近线方程为

A . y ? ? 3x

B.

y??

3 x 3

C . y ? ? 2x

D. y??

2 x 2

x2 ? y 2 ? 1 的左右顶点,在长轴 A1 A2 上随机任取点 M ,过 M 作 10.已知 A1 , A2 为椭圆 4
垂直于 x 轴的直线交椭圆于点 P ,则使 ?PA A2 ? 45 的概率为 1
0

A.

1 5

B.

3 10

C.

7 10

D.

4 5

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.命题“ ?x ? R, x ? 0 ”的否定是
2

****
2

12.命题 P“曲线 sin ? ? x ? cos? ? y ? 1为焦点在 y 轴上的椭圆” ,写出让命题 P 成立的
2

一个充分条件

****

(请填写关于 ? 的值或区间)

13.如下左图,某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米, 在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,则其中最长的支柱的 长为 **** .

(第 13 题图)

14.如右图若某算法框图如图所示,则输出的结果 为 **** ;

15.给出以下判断: (1) b ? 0 是函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 为偶函数的充要条件;

(2)椭圆

x2 y2 ? ? 1 中,以点 ( 1 , 1 ) 为中点的弦所在直线 4 3
(第 14 题图)
? ? ?

方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 ; (3)回归直线 y ? b x ? a 必过点 ( x , y ) ; (4)如图,在四面体 ABCD 中,设 E 为 ?BCD 的重心, 则 AE ? AB ?
? ?

?

?

A C B

D x2 y2 (5)双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的两焦点为 F1 , F2 , P 为右支是异于右顶点的任 a b
一点, ?PF F2 的内切圆圆心为 T ,则点 T 的横坐标为 a . 1 其中正确命题的序号是 **** .

1 ? 2 ? AC ? AD ; 2 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 13 分)
2 已知命题 p :方程 4x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根;命题 q :| m ? 3 | ? 1 。若“ p 或

q ”为真命题, p 且 q ”为假命题,求 m 的取值范围。 “
17.(本小题满分 13 分) 在某次综合素质测试中,共设有 40 个考室,每个考室 30 名考生.在考试结束后,为调 查其测试前的培训辅导情况与测试成绩的相关性,抽取每个考室中座位号为 05 的考生,统 计了他们的成绩,得到如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)在这个调查采样中,用到的是什么抽样方法? (Ⅱ)写出这 40 个考生成绩的众数、中位数; (Ⅲ)若从成绩在 [60, 70) 的考生中任抽取 2 人,求 成绩在 [65, 70) 的考生至少有一人的概率. 18.(本小题满分 13 分)

已知椭圆与双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 有公共的焦点,且椭圆过点 P(0,2) 。 3

(1)求椭圆方程的标准方程; (2)若直线 l 与双曲线的渐近线平行,且与椭圆相切,求直线 l 的方程。 19.(本小题满分 13 分) 一所中学共有学生 1000 名,各年级男女生人数如下表:已知在全校学生中随机抽取一 名,抽到高二女生的概率是 0.20 (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽

高一年 级 女 生 188 182

高 二 高 三 年级 年级 y x 180

取 48 名学生,问应在高三年级抽取多少名学生? 男

z

(3)已知 y ≥ 120 , z ≥ 120 ,求高三年级中女生比男生多的概率. 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 ? :



x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且椭圆 ? 的右焦点 F 与抛物线 2 a b 2

y 2 ? 4x 的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆 ? 的标准方程; (Ⅱ)过左焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 A , B 两点, 是否存在直线 l ,使得 OA ? OB , O 为 坐标原点,若存在,求出 l 的方程,若不存在,说明理由。 21.如图,抛物线 C1 : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,椭圆 C 2 :
2

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b2

的离心率 e ?

1 3 , C1 与 C 2 在第一象限的交点为 P? 3,2?. ? ? 2

(1)求抛物线 C1 及椭圆 C 2 的方程; (2)已知直线 l : y ? kx ? t ( k ? 0 , t ? 0 ) 与椭圆 C 2 交于不同 两点 A , B ,点 M 满足 AM ? BM ? 0 ,直线 FM 的斜率为 k 1 ,试证明 k ? k1 ? ?
? ? ?

1 . 4

四、附加题(本小题 6 分,1、18 班学生做) 长为 2、4 的线段在 AB 、CD 分别在 x 轴、 y 轴上滑动,且 A 、 B 、C 、 D 四点共圆, 求此动圆圆心 P 的轨迹。

参考答案
一、选择题

题号 答案

1 B

2 D

3 C

4 C

5 D

6 C

7 B

8 B

9 A

10 D

二、填空题
2 11. ?x0 ? R , x0 ? 0
0 0 12. ? ? ( 45 , 90 ) 的任意一个子集,如 ? ? 60
0

13. 3.84 米 三、解答题

(或

96 米) 25

14. 63

15. (1)(3)(5) , ,

16.解: (法一) p 为真: ? ? 16( m ? 2 ) 2 ? 4 ? 4 ? 1? 0 ? 1 ? m ? 3 ??3 分

q 为真: | m ? 3 | ? 1 ? m ? 3 ? ?1 或 m ? 3 ? 1 ? m ? 2 或 m ? 4 ??6 分
∵“ p 或 q ”为真命题, p 且 q ”为假命题 ∴ p , q 一真一假??9 分 “

1

2

3

4

m

??11 分 ??13 分

∴ m 的取值范围 m ≤ 1 或 2 ≤ m < 3 或 m ? 4

2 (法二) p 为真: ? ? 16( m ? 2 ) ? 4 ? 4 ? 1? 0 ? 1 ? m ? 3 ??3 分

q 为真: | m ? 3 | ? 1 ? m ? 3 ? ?1 或 m ? 3 ? 1 ? m ? 2 或 m ? 4 ??6 分
∵“ p 或 q ”为真命题, p 且 q ”为假命题 ∴ p , q 一真一假??9 分 “ ∴?

?1 ? m ? 3 ?m ? 1或m ? 3 或? ?2 ? m ? 4 ?m ? 2或m ? 4

??11 分 ??12 分 ??13 分

∴ 2 ≤ m ? 3 或 m ≤1 或 m ? 4

∴ m 的取值范围 m ≤ 1 或 2 ≤ m ? 3 或 m ? 4

17.解: (Ⅰ)系统抽样. (Ⅱ)众数是

????2 分

75 ? 80 ? 77.5 , 2 0.5 ? 0.05 ? 0.1 ? 0.2 ? 75 ? 2.5 ? 77.5 .…………6 分 中位数是 75 ? 0.060
(Ⅲ)从图中可知,成绩在 [60, 65) 的人数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (人) ,??7 分 成绩在 [65, 70) 的人数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (人) .????8 分 设事件 A 表示成绩在 [65, 70) 的考生至少有一人, ??9 分 (法一)设成绩在 [60, 65) 的考生为 a, b ,成绩在 [65, 70) 的考生为 c, d , e, f , 则所有基本事件有: a, b ), ( a, c) , ( a , d ) , ( a, e) , ( a , f ) , (b, c) , (b, d ) , (b, e) , (b, f ) , (

(c, d ) , (c, e) , (c, f ) , ( d , e) , (d , f ) , (e, f ) ,共 15 种, ?????????10 分
其中成绩在 [65, 70) 的考生至少有一人的事件有:

( a, c) , ( a , d ) , ( a, e) , ( a , f ) , (b, c) , (b, d ) , (b, e) , (b, f ) , (c, d ) , (c, e) , (c, f ) , ( d , e) , (d , f ) , (e, f ) ,共 14 种.
∴ P ( A) ? ??11 分

14 ?????? 12 分 15 14 . 15
?????? 13 分

答:成绩在 [65, 70) 的考生至少有一人的概率为

2 (法二)从成绩在 [60, 70 ) 的考生中任取 2 人共有 C6 ? 15种情况,??10 分

成绩在 [65, 70) 的考生至少有一人共有 C4 ? C2 ? C4 ? 14 种情况,??11 分
1 1 2

∴ P ( A) ?

14 ?????? 12 分 15 14 . 15
?????? 13 分

答:成绩在 [65, 70) 的考生至少有一人的概率为

18. 解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a >b>0) . a2 b2
??2 分

? 双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的焦点坐标分别为(– 2 ,0) (2,0) , 3

(2,0) ,∴c=2,即 a2 = b2 + 4,??4 分 ? 椭圆焦点坐标分别为(– 2 ,0) 又椭圆过点 P(0,2) ,∴b2 = 4,得 a2 = 8 ∴ 所求椭圆方程的标准方程为

x2 y2 ? ?1. 8 4

?? 6 分

(2)双曲线渐近线方程:y = ? 3 x , 故设直线 l :y = ? 3 x + m, 代入椭圆方程得:7x2 ?4 3 mx + 2m2 – 8 =0, 由相切得:△=48m2 – 28(2m2 – 8 )= 0, 解得 m = ? 2 7 ∴直线 l 的方程是:y = ? 3 x ? 2 7 ?? 8 分 ??10 分 ??12 分 ?? 13 分

19. 解: (1) x ? 1000 ? 0.20 ? 200 ∴ x 的值为 200 ??2 分 (2)高一共有学生 182 ? 188 ? 370 人,高二共有学生 200 ? 180 ? 380 人,则高三有学生 1000 ? 370 ? 380 ? 250 人,??5 分 设高三年级抽取 m 名学生,则

m 250 ? ? m ? 12 48 1000

??7 分

∴应在高三年级抽取 12 名学生??8 分

( ( ( (3) 高三女生与男生人数的基本事件为 (120,130) , 121,129) , 122,128) , 123,127) , (124,126) ,(125,125) ,(126,124) ,(127,123) ,(128,122) ,(129,121) ,(130,120) ,
共有 11 种情况,??9 分

( ) ( ( 高三年级中女生比男生多的基本事件为 (126,124) , 127,123 , 128,122) , 129,121) , (130,120) ,共有 5 种情况,??10 分
设事件 A 表示高三年级中女生比男生多,则 P ( A ) ? 答:高三年级中女生比男生多的概率为

5 ??12 分 11

5 ??13 分 11

20. 解: (1)设 F (c, 0) ,易知 c ? 1 ,又 e ?

c 2 ,得 a ? 2 ,??2 分 ? a 2
x2 ? y 2 ? 1 。??4 分 2

于是有 b ? a ? c ? 1。故椭圆 ? 的标准方程为
2 2 2

(2)假设存在直线 l 满足题意
? ? 1 1 2 2 ) , B ( ? 1, ? ) , OA? OB ? 1 ? ? ? 0 ,此时 2 2 2 2

① 当直线 l 为 x ? ?1 时, A( ? 1,

OA ? OB 不成立,与已知矛盾,舍去。??6 分
② 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入

x2 ? y 2 ? 1 消去 y 得, 2

( 2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ??7 分
设 A( x1 ,y1 ) , B( x2 ,y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?
? ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x 2 ? ,??8 分 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
2 2 2

∴ OA? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ( k ? 1) x1 x 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? k ? ( k ? 1)
2

2k 2 ? 2 2k 2 ? 1

? 4k 2 k2 ?2 2 ?k ? 2 ? 0 ? k ? ? 2 ??10 分 ?k 2k 2 ? 1 2k ? 1
2

∴直线 l 的方程为 y ? ? 2 ( x ? 1) ,??12 分 即 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0 ??14 分 21. 解: (1)∵

? 3,1?为 C 与 C 在第一象限的交点 2 1 2? ?

∴3 ? 2 p ?

1 ? p ??1 分 2

∴抛物线 C1 的方程为 x 2 ? 6 y ??2 分 ∵椭圆 C 2 的离心率 e ? ∴b ? a ? c ? a ?
2 2 2 2

3 c 3 ?c? a ??3 分 ? 2 a 2
3 2 1 2 1 a ? a ? b ? a ? a ? 2b ??4 分 4 4 2

? 3,1?为 C 与 C 在第一象限的交点 2 1 2? ? 1 3 1 2 ∴ 2 ? 4 ? 2 ? 1 ? b 2 ? 1 ? a ? 4 ??5 分 2 4b b b
又∵

x2 ? y 2 ? 1 ??6 分 ∴椭圆 C 2 的方程 4
(2)把 y ? kx ? t 代入

x2 ? y 2 ? 1 得, (4k 2 ? 1) x 2 ? 8ktx ? 4( t 2 ? 1) ? 0 ??7 分 4

? ? ( 8kt ) 2 ? 16 ? (4k 2 ? 1) ? ( t 2 ? 1) ? 0 ? t 2 ? 4k 2 ? 1??8 分
设 A( x1 ,y1 ) , B( x2 ,y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? ∵ AM ? BM ? 0 ∴ M 为 AB 的中点 ∴点 M 的坐标为 ( ?
? ? ?

4( t 2 ? 1) 8kt , x1 x 2 ? ??9 分 4k 2 ? 1 2k 2 ? 1
4kt t , yM ? 2 2 4k ? 1 4k ? 1

∴ xM ? ? ??10 分

4kt t , 2 ) 2 4k ? 1 4k ? 1

t 3 3 ? t ? ( 4k 2 ? 1 ) 2 3 2 ∵ F ( 0, ) ∴ k1 ? 4k ? 1 2 ? ??11 分 4kt 2 ? 4kt ? 2 4k ? 1 3 t ? ( 4k 2 ? 1) 1 3 4k 2 ? 1 2 ∴ k ? k1 ? ??12 分 ?? ? ? ? 4t 4 8 t
∵t ? 0 ∴

4k 2 ? 1 ?0 t

∴ k ? k1 ? ?

1 ??14 分 4

四.解: (法一)设圆心 P 的坐标为 ( x , y ) , 则 A( x ? 1, 0) , B( x ? 1, 0) , C ( 0 , y ? 2 ) , D( 0 , y ? 2 ) ,??2 分 由圆幂定理得, | OA | ? | OB |?| OC | ? | OD |

| x ? 1 | ? | x ? 1 |?| y ? 2 | ? | y ? 2 |?| x 2 ? 1 |?| y 2 ? 4 | ??3 分
即 x 2 ? y 2 ? 5 ? 0 或 y 2 ? x 2 ? 3 ??4 分 经检验: 动圆圆心 P 的轨迹方程为 y 2 ? x 2 ? 3 , 其轨迹为焦点在 y 轴的实轴长为 2 3 等轴 双曲线。??6 分 (法二)设圆心 P 的坐标为 ( x , y ) , 由垂径定理可知, r ? x ? 2 ? y ? 1 ,即 y ? x ? 3 ??4 分
2 2 2 2 2 2

∴动圆圆心 P 的轨迹方程为 y 2 ? x 2 ? 3 ,其轨迹为焦点在 y 轴的实轴长为 2 3 等轴双曲 线。??6 分


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