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高考数学一轮复习数列--通项公式的求法


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【知识回顾】数列的通项公式的概念
一个数列?a n ? 的第n项a n与项数n之间的函数关系, 若能用 一个式子a n ? f ( n)来表示,则把这个式子 叫做这个数列 的通项公式!

并非所有的数列都有通项公式; 注① ② 有的数列可能有多个通项公式;



③数列的通项就是一

种特殊的函数关系式; ④ 注意区别数列的通项公式和递推公式!

一、公式法

S1 (n=1), 1)an= Sn-Sn-1 (n≥2).

2)等差数列的通项公式 3)等比数列的通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m )d
n ?1

an ? a1 ? q

? am ? q

n? m

(q ? 0)

Ex1、已知下面各数列 {an} 的前 n 项和 Sn 的公式, 求 {an} 的通项公式: (1) Sn=2n2-3n; (2) Sn=3n2+n+1; (3) Sn=3n-2. 解: (1)当 n=1 时, a1=S1=-1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n-5, (2)当 n=1 时, a1=S1=5; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6n-2, 5 (n=1) ∴ an= 6n-2 (n≥2) (3)当 n=1 时, a1=S1=1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=2?3n-1, 1 ( n=1) ∴ an= 2?3n-1 (n≥2)

∴ an=4n-5 (n?N+)

Ex2已知数列 {2n-1?an} 的前 n 项和 Sn=9-6n. (1)求数列 {an} 的通 |a | 1 } 的前 n 项和. 项公式; (2)设 bn=n(3-log2 n ), 求数列 { b 3 n 解: (1)当 n=1 时, 20?a1=S1=9-6=3, ∴a1=3 当 n≥2 时, 2n-1?an=Sn-Sn-1=-6, ∴ an=- 3 2n-2 3 ( n=1) 故 an= - 3 (n≥2) n 2 2 1=1 (2)当 n=1 时, b1=3-log21=3, ∴ b 3 1 1 1 1 3 当 n≥2 时, bn=n(3-log2 n-2 )=n(n+1) ∴ b = n - n+1 . 3? 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ∴ b + b +…+ b = 3 +( 2 - 3 )+…+( n - n+1 ) = 6 - n+1 . 1 2 n

二、迭加法
原理: an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? ? ? ? ? (an ? an?1 ) 形式: an?1 ? an ? f ?n?

三、叠乘法
an a2 a3 原理: a n ? a1 ? ? ? ? ? ? ? a1 a2 a n ?1 形式: a n ?1 ? g ( n)a n

Ex3、已知a1 ? 5, an ? 2an?1 ? 3( n ? 2),求an
答案:

an ? 2

n? 2

?3
方法总结:

形如an ? Aan?1 ? B
常用(1)迭乘法;

四、化归法
通过恰当的恒等变形, 如配方、因式分解、取对数、取倒 数等, 转化为等比数列或等差数列.

常用的转化途径有:

① 拼凑、消项变换: 形式: an?1 ? qan ? d (q, d为常数, q ? 0, q ? 1)
d d ? q( a n ? ), 变成: an?1 ? q ?1 q ?1

四、化归法
② 倒数变换:
形式: an?1
a n?1 ③ 对数变换: 1

can ? (c , d为非零常数) an ? d
d 1 1 ? ? ? c an c
p

变成:

形式: an?1 ? can ?an ? 0, c ? 0, p ? 0, p ? 1? 变成: lg an?1 ? p lg an ? lg c

四、化归法
④ 换元变换: n a ? qa ? d (q, d为非零常数,且q ? 1, d ? 1) 形式: n?1 n
a n?1 q a n 1 an 变成: n?1 ? ? ? 令bn ? n 转化为 ① d d dn d d

x Ex4、已知f ( x ) ? , 数列?an ?满足an ? f ?an?1 ?( n ? 1, n ? N ? ), 2x ? 1

且a1 ? f ?2?,求数列?an ? 的通项公式.

2 答案: an ? 4n ? 1

Sn-1 1.在数列 {an} 中, a1=1, Sn= 2S +1(n≥2), 求 an. n-1 Sn-1 解: 由 Sn= 2S +1 知: 1 - 1 =2. n-1 Sn Sn-1 1 }是以 1 = 1 =1 为首项, 公差为 2 的等差数列. ∴{ S S1 a 1 n 1 =1+2(n-1)=2n-1. ∴S = 1 . ∴S n 2 n- 1 n 2 ∵a1=1, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=- (2n-1)(2n-3) . 1, n=1, ∴an= 2 - (2n-1)(2n-3) , n≥2.

典型例题

构造转化法!

*), 求 a . 2.已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 a +1( n ? N n 2 n *), 解法1 ∵an+1= 1 a +1( n ? N n 2 1 a +1. ∴an= 1 a +1, a = n-1 2 n-2 2 n-1 两式相减得: an-an-1= 1 2 (an-1-an-2) 1 ∴{an-an-1} 是以 a2-a1= 1 为首项 , 公比为 2 的等比数列. 2 1 )n-2=( 1 )n-1. ∴an-an-1= 1 ( 2 2 2 ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) 1 1 1 2 =1+ 2 +( 2 ) +…+( 2 )n-1 =2-21-n. 即 an=2-21-n.

典型例题

*), 求 a . 2.已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 a +1( n ? N n 2 n 解法2 由解法1知 an-an-1=21-n, 又 an= 1 2 an-1+1,

典型例题

消去 an-1 得 an=2-21-n. 1 (a +?), 解法3 ∵ an= 1 a +1, 令 a + ? = 则 ?=-2. n 2 n-1 2 n-1 ∴ an-2= 1 2 (an-1-2). 1 ∴{an-2} 是以 a1-2=-1 为首项, 公比为 2 的等比数列. ∴an-2=-( 1)n-1. 2 即 an=2-21-n.

待定系数法!

典型例题
3.设数列 {an} 是公差不为 0 的等差数列, Sn 是数列 {an} 的前 n 项和, 且 S32=9S2, S4=4S2, 求数列 {an} 的通项公式. 解: 设等差数列 {an} 的公差为 d, n(n-1)d 2=9(2a +d), ① (3 a +3 d ) 由 Sn=na1+ 及已知条件得 : 1 1 2 4a1+6d=4(2a1+d), ② 2 由 ② 得: d=2a1, 代入 ① 有: 9a1 =4a1. 4 解得: a1=0 或 a1= 9 . 当 a1=0 时, d=0, 与已知条件矛盾, 舍去; 4 8 4 8 8 4 当 a1= 9 时, d= 9 . ∴an= 9 + 9 (n-1)= 9 n- 9 . 4 故数列 {an} 的通项公式为 an= 8 n 9. 9

4.已知数列 {an} 是等差数列, 且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)令 bn=an?3n, 求数列 {bn} 前 n 项和的公式. 解: (1)设数列 {an} 的公差为 d, 则由已知得 3a1+3d=12, 又 a1=2, ∴d=2. 故数列 {an} 的通项公式为 an=2n. (2)由 bn=an?3n=2n?3n 得数列 {bn} 前 n 项和 Sn=2?3+4?32+…+(2n-2)?3n-1+2n?3n ① ∴3Sn=2?32+4?33+…+(2n-2)?3n+2n?3n+1 ② 将 ① 式减 ② 式得: -2Sn=2(3+32+…+3n)-2n?3n+1=3(3n-1)-2n?3n+1. 3(1-3n) ∴Sn= +n?3n+1. 2

典型例题


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