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2010年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及答案


声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》

2010 年全国高中数学联赛湖北省预赛

2010 年全国高中数学联赛湖北省预赛由湖北省数学竞赛组织委员会主办并具体组织活 动,委托华中师范大学数学竞赛与普及研究所命题。 试题以《高中数学竞赛大纲(2006 年修订稿)

》为依据,所涉及的知识范围不超出现行 《全日制普通高级中学数学教学大纲》和《普通高中数学课程标准》中所规定的教学内容和 要求, 在数学思想方法的要求上有所提高, 主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况, 以及综合、 灵活运用知识的能力, 适当考虑全国联赛对参赛学生的要求。 湖北省预赛按高一、 高二年级分开命题,试题包括 8 道填空题和 4 道解答题,全卷满分 120 分,考试时间为 120 分钟。 湖北省预赛于 2010 年 5 月 16 日(星期日)上午 8:00 至 10:00 举行,约 5 万名学生 参加,由各地市(州)安排考试并组织阅卷,从中选出约 9000 人参加全国高中数学联赛。


一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)



1.数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ? 3 ,且 an?2 ?| an?1 | ?an (n ? N * ) .记 {an } 前 n 项的 和为 S n ,则 S100 ? .

2.在△ ABC 中,已知 ? B 的平分线交 AC 于 K.若 BC=2,CK=1, BK ? △ ABC 的面积为 .
n

3 2 ,则 2

0 0 , 3. 设n ?1 则使得 (a ? b) 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 n
为 . 4.在小于 20 的正整数中,每次不重复地取出 3 个数,使它们的和能被 3 整除,不同的 取法种数为 .

( z ? 1) 2 5.若 x, y , z 均为正实数,且 x ? y ? z ? 1,则 S ? 的最小值为 2 xyz
2 2 2



x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,M 为椭圆上异于长轴端点的一点, 6.设椭圆 4

?F1MF2 ? 2? ,△ MF1F2 的内心为 I,则 | MI | cos? ?
1 2



3 2 7 .对于一切 x ? [ ?2, ] ,不等式 ax ? x ? x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围



. 8.将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上,且任意三个相邻的数之和不小 于 58.所有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 .

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二、解答题(本大题共 3 小题,共 56 分)
9. (16 分)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象经过点 (?2,0) ,且不等式

2 x ? f ( x) ?

1 2 x ? 2 对一切实数 x 都成立. 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若对一切 x ? [?1,1] ,不等式 f ( x ? t ) ? f ( ) 恒成立,求实数 t 的取值范围. 10. (20 分)设 P ? x ? 6 x ? 11x ? 3x ? 31,求使 P 为完全平方数的整数 x 的值.
4 3 2

x 2

11. (20 分)已知直线 y ? x 与椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 交于 A, B 两点,过椭圆 C 的右焦 16 11

点 F 、倾斜角为 ? 的直线 l 交弦 AB 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (1)用 ? 表示四边形 MANB 的面积; (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程.


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