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15.2 二倍角公式


15.2二倍角公式

一、复习两角和的三角公式
S( ? ?? )
C( ???)

sin? α ?β ? ? sinα cosβ ? cosα sinβ
cos? α ?β ? ? cosα cosβ ? sinα sinβ

探究:我们如何根据公式 二倍角公式
sin( ? ? ?? ) 2sin ? sinα ? cos cos α ? ? sin ? cos ? sin2α
利用α的正弦和余弦来 同上理令β ?α,可求 求sin2α的值。
2 解: 只要使 β ? α 即可得 cos2α?

cos α? sin α
2

2tanα sin2 α ? sin tan2α? α cosα ? cosα sinα 1 - tan α
2

? 2sinα cosα 需注意正切公式成立的 条件: π kπ π α? kπ? 且α ? ? 2 2 4

二倍角公式
二倍角公式:
注意: 公式的特征与记法
sin2α ? 2sinα cosα cos2α ? cos 2 α ? sin 2 α

(1)左边角是右边角 的二倍

(2)左边是2α的三 角函数的一次式, 右边是α的三角函数的 二次式。

即 - - - -左到右:升幂缩角;右到左:降幂扩角

二倍角公式
根据公式口答下列各题 :
sin2α ? 2sinα cosα cos2α ? cos 2 α ? sin 2 α
1 (1)2sin15 cos15 ? 2 1 2π 2π (2)cos ? sin ? 6 6 2
? ?

2tan30 (3) ? 3 2 ? 1 ? tan 30

?

1、应用公式求三角函数值
5 ?π ? 例1. 已知sinα? ,α? ? ,π?.求sin2α、cos2α、tan2α的 值. 13 ?2 ?
5 ? 5 ? 144 2 2 解: 由sinα? ? cos α? 1 ? sin α? 1 ? ? ? ? 13 ? 13 ? 169 ?π ? ?α? ? ,π? ?2 ? 12 ? cosα? ? 13
2

5 ? 12 ? 120 sin2α? 2sinαcosα? 2 ? ? ? ? ? ? ? 13 ? 13 ? 169
119 ? 12 ? ? 5 ? cos2α ? cos α? sin α? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 ? ? 13 ? 169
2 2 2 2

1、应用公式求三角函数值
例1. 已知sinα ?
2

5 ?π ? , α ?? , π ?.求sin2α 、co s2α 、tan2α . 13 ?2 ?
2 2 2

? 12 ? ? 5 ? 119 cos2α ? cos α ? sin α ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 ? ? 13 ? 169 思考:求解cos2α 还有没有别的方法? 已知sinα 的值,能否根据sinα 直接求解cos2α 的值?
把公式cos2α ? cos 2 α ? sin 2 α 中的cosα 换掉,则 由同角三角函数关系: sin 2 α ? cos 2 α ?1
? cos2α ?(1 ? sin 2 α )? sin 2 α ? 1 ? 2sin 2 α

1、应用公式求三角函数值

5 ?π ? 例1. 已知sinα ? , α ?? , π ?.求sin2α 、co s2α 、tan2α . 13 ?2 ?

由求解cos2α 的第二种方法可知: 二倍角的余弦公式的变形式为
cos2α ? cos2 α ? sin 2 α ? 1 ? 2sin 2 α ? 2cos α ? 1
2

1、应用公式求三角函数值

5 ?π ? 例1. 已知sinα ? , α ?? , π ?.求sin2α 、co s2α 、tan2α 的值 13 ?2 ? 120 ? 120 ? 169 119 120 120 sin2α 答案:sin2α tan2α ? ? tan2α? ? ? ? , ? ? cos2α ?? ? ? ? , 169 ? 169 ? 119 169 119 119 cos2α
思考:求解tan2α 还有没有别的方法? 思考: 若求sin4α, cos4α, tan4α呢

2tanα 利用本节课所学二倍角 的正切公式: tan2α ? 2 1 ? tan α 二倍角的含义:二倍角具有相对性.
5 由sinα? 13 5 ? tanα ? ? 12

5 2 ?( ? ) 120 12 故可求得:tan2α ? ?? 5 2 119 1 ?(? ) 12

12 cosα ? ? 13

1、应用公式求三角函数值
α 4 α ? 3π ? 练习. 1、已知:cos ? ? , ? ?π , ?, 2 5 2 ? 2 ? 求:sinα 、cosα 、tanα 的值.
24 答案:sinα ? , 25 7 cosα ? , 25 24 tanα ? 7

二倍角具有相对性.

1、应用公式求三角函数值
2 1 ? 例2. (1). sin22 30 cos22 30 ? sin45 ? 2 4
? ' ? '

分析:对比公式 sin 2? ? 2 sin ? cos?

1 sin ? cos ? ? sin 2? 2

1、应用公式求三角函数值

π π π π 4. (2) 8sin 例2. cos cos cos 48 48 24 12 π π π 解:原式 ? 4sin cos cos 请用二倍角的正弦公式: 24 24 12 sin2α? 2sinαcosα π π ? 2sin cos π π 12 12 可得到8sin cos 48 48 π ? sin π π 6 ? 4 ? 2sin cos 48 48 1 π ? ? 4 ? sin2? 2 48 π ? 4 ? sin 24

再用两次这个方法,问题就解决咯~

3.

1、应用公式求三角函数值
π π 2 2π 例3.(1) sin ? cos ? ? cos ? ? 4 2 8 8 公式:利用
2

cos2α? cos α? sin α
2 2

试着找出解题的办法~

1、应用公式求三函数值
π 2 π ? 例3. (2) 2cos ? 1 ?cos 4 2 8
2

从公式

cos2α ? 2cos2 α ?1 cos2α ? 1 ? 2sin α 中,你是否找到了解题 的方法呢?
2

3.

1、应用公式求三角函数值
练习 1 ? 2sin 2 75? ?

3 1 ? 2sin 75 ? cos150 ? ?cos30 ? ? 2
2 ? ? ?

1、应用公式求三角函数值
tan22.5 例4. 求值: 2 ? 1 ? tan 22.5
1 解: 原式 ? tan(2? 22.5? ) 2 1 ? tan45? 2 1 ? 2
?

你想到利用公式
2tanα tan2α ? 1 ? tan2α

了吗?

3.

1、应用公式求三角函数值
2tan15 ? 练习: ? 2 ? 1 - tan 15

3 tan(2 ? 15 ) ? tan30 ? 3
? ?

书面作业
α 4 α α α 1:已知cos ? ? ,8π ?α ? 12π ,求sin ,cos ,tan 的值。 8 5 4 4 4
3 2:已知sin(α ?π ) ? ,求cos2α 的值。 5
π 3:已知sin2α ? ?sinα , α ?( , π ),求tanα 的值。 2

1 4:已知tan2α ? ,求tanα 的值。 3

二倍角公式的推导
cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 令:β?α cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

利用 sin

2

? ? cos ? ? 1变形为
2

? 2 cos ? ? 1
2

? 1 ? 2 sin 2 ?

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 令:β?α sin2α? 2sinαcosα
tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 令:β?α 1 ? tan ? tan ? tan2α?

π kπ π 注:α ? kπ? 且α ? ? 2 2 4

2tanα 1 ? tan2α


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