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广东省惠州市惠阳高级中学2014-2015学年高二上学期10月月考数学试卷(理科)


广东省惠州市惠阳高级中学 2014-2015 学年高二上学期 10 月月考 数学试卷(理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,3,5},B={1,2},?U(A∪B)等 于( A.{4} B.{6} C.{4,6} D.? 2. (5 分)函数 y= A.(﹣∞,2]

+ 的定义域是() B.(﹣∞,0)∪() ,2] C. (0,2] D. [2,+∞)

3. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f(2) )=()

A.

B.

C. 2

D.﹣2

4. (5 分)在空间直角坐标系中,点 A(0,2,1) ,点 A 关于平面 xoy 对称的点为 A′,则 A′, A 两点间的距离|A′A|为() A. B. 2 C. 4 D.2 5. (5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是()

A.15

B.105

C.120

D.720

6. (5 分)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方形,俯视图是一 个圆,那么这个几何体的体积为()

A.

B. π
2 2

C . 2π

D.4π

7. (5 分)动点 A 在圆 x +y =1 上移动时,它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是() A.(x+3) +y =4
2 2

B.(x﹣3) +y =1

2

2

C.(2x﹣3) +4y =1 D.(x+3) +y =

2

2

2

2

8. (5 分)某学校在校学生 2000 人,为了迎接 2010 年亚运会,学校举行了亚运会跑步和爬山 比赛活动,每人都参加而且只参加其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表: 2014-2015 学年高一级2014-2015 学年高二级2015 届高三级 跑步a b c 爬山x y z 其中 a:b:c=2:5:3,全校参与爬山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的满意 程度,从中抽取一个 200 人的样本进行调查,则 2015 届高三参与跑步的学生中应抽取() A.15 人 B.30 人 C.40 人 D.45 人

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. (5 分)已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环体的判断 框内①处应填.

10. (5 分)某单位 200 名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取 40 名职工作样本、用系统 抽样法, 将全体职工随机按 1~200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组 (1~5 号, 6~10 号, …, 196~200 号) .若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是.若用分层抽样方法, 则 40 岁以下年龄段应抽取人.

11. (5 分)经过圆 x +2x+y =0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是. 12. (5 分)圆心在 y 轴上,且与直线 y=x 相切于点(1,1)的圆的方程为. 13. (5 分)集合 A={(x,y)|x +y =4},B={(x,y)|(x﹣3) +(y﹣4) =r },其中 r>0, 若 A∩B 中有且仅有一个元素,则 r 的值是. 14. (5 分)α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论 断: ①m⊥n ②α⊥β ③m⊥β ④n⊥α 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .
2 2 2 2 2

2

2

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (12 分)已知函数 f(x)=2sin( x﹣ (1)求 f( )的值; ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ) ,x∈R

(2)设 α,β∈[0,

16. (14 分)已知直线 l 经过 A(4,0) 、B(0,3) ,求直线 l1 的一般方程,使得: (1)l1∥l,且经过两直线 3x+y=0 与 x+y=2 交点; (2)l1⊥l,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6. 17. (14 分)在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日, 评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计, 绘制了频率分布直方图 (如 图) ,已知从左到右各长方形的高的比为 2:3:4:6:4:1,第三组的频数为 12,请解答下 列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比? (2)哪组上交的作品数量最多?共有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,问这两组哪组获奖率高?

18. (14 分) 在直三棱柱 (侧棱与底面垂直的三棱柱) ABC﹣A1B1C1 中, AB=8, AC=6, BC=10, A1A=6,D 是 BC 边的中点. (1)求证:AB⊥A1C; (2)求证:A1C∥面 AB1D; (3)求点 A 到面 A1BC 的距离.

19. (14 分)已知圆 O 以原点为圆心,且过 A(2 (1)求圆 O 的方程; (2)求圆 O 关于直线 x+y=2 对称的圆的方程; (3)经过点 P(3,1)且与圆 O 相切的直线方程 (4)若直线 x+2y+c=0 与圆 O 相交所截得的弦长是

,1)

,求 c.
2

20. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,记二次函数 f(x)=x +2x+b(x∈R)与两坐标轴有三 个交点.经过三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 的无关)?请证明你的结论.

广东省惠州市惠阳高级中学 2014-2015 学年高二上学期 10 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,3,5},B={1,2},?U(A∪B)等 于( A.{4} B.{6} C.{4,6} D.? 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可.

解答: 解:∵集合 A={1,3,5},B={1,2}, ∴A∪B={1,2,3,5}, 则?U(A∪B)={4,6}, 故选:C 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

2. (5 分)函数 y= A.(﹣∞,2]

+ 的定义域是() B.(﹣∞,0)∪() ,2] C. (0,2] D. [2,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由根式内部的代数式大于等于 0,分式的分母不等于求解 x 的取值集合得答案. 解答: 解:由 ∴函数 y= ,解得:x≤2 且 x≠0. + 的定义域是(﹣∞,0)∪(0,2].

故选:B. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了不等式的解法,是基础题.

3. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f(2) )=()

A.

B.

C. 2

D.﹣2

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 2>1,结合分段函数的性质得 f(2)=﹣2,由﹣2≤1,结合分段函数的性质得 f(f (2) )=f(﹣2)=3 = .
﹣2

解答: 解:∵函数 f(x)= ∴f(2)=﹣2, f(f(2) )=f(﹣2)=3 = .
﹣2



故选:B. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合 理运用. 4. (5 分)在空间直角坐标系中,点 A(0,2,1) ,点 A 关于平面 xoy 对称的点为 A′,则 A′, A 两点间的距离|A′A|为() A. B. 2 C. 4 D.2

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

空间两点间的距离公式. 空间位置关系与距离. 先求出点 P 关于坐标平面的对称点,进而即可求出向量的坐标及模. 解:∵点 A(0,2,1) ,关于 xoy 平面的对称点 A′(0,2,﹣1) , =(0,0,﹣2) , = =2.

∴A′,A 两点间的距离|A′A|=

故选:D. 点评: 考查空间点的对称性以及空间距离公式的应用,熟练掌握向量的模的求法是解题的 关键. 5. (5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是()

A.15

B.105

C.120

D.720

考点: 程序框图. 专题: 计算题;图表型. 分析: 根据题中的流程图,依次求出 p 和 k 的值,根据 k 的值判断是否符合判断框中的条 件,若不符合,则结束运行,输出 p. 解答: 解:输入 N=6,则 k=1,p=1, 第一次运行 p=1×1=1,此时 k=1<6, 第二次运行 k=1+2=3,p=1×3=3; 第三次运行 k=3+2=5,p=3×5=15; 第四次运行 k=5+2=7,P=15×7=105; 不满足条件 k<6,程序运行终止,输出 P 值为 105, 故选 B. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,利用程序框图中框图的含义运行解答. 6. (5 分)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方形,俯视图是一 个圆,那么这个几何体的体积为()

A.

B. π

C . 2π

D.4π

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 计算题. 由三视图可知: 该几何体是一个圆柱, 高和底面直径都是 2. 据此即可计算出其体积. 解:由三视图可知:该几何体是一个圆柱,高和底面直径都是 2.
2

∴V=π×1 ×2=2π. 故选 C. 点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 7. (5 分)动点 A 在圆 x +y =1 上移动时,它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是() A.(x+3) +y =4
2 2 2 2

B.(x﹣3) +y =1

2

2

C.(2x﹣3) +4y =1 D.(x+3) +y =

2

2

2

2

考点: 轨迹方程;中点坐标公式. 专题: 计算题. 分析: 根据已知,设出 AB 中点 M 的坐标(x,y) ,根据中点坐标公式求出点 A 的坐标, 2 2 根据点 A 在圆 x +y =1 上,代入圆的方程即可求得中点 M 的轨迹方程. 2 2 解答: 解:设中点 M(x,y) ,则动点 A(2x﹣3,2y) ,∵A 在圆 x +y =1 上, 2 2 ∴(2x﹣3) +(2y) =1, 2 2 即(2x﹣3) +4y =1. 故选 C. 点评: 此题是个基础题.考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式,体现了数形结合的思想 以及分析解决问题的能力. 8. (5 分)某学校在校学生 2000 人,为了迎接 2010 年亚运会,学校举行了亚运会跑步和爬山 比赛活动,每人都参加而且只参加其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表: 2014-2015 学年高一级2014-2015 学年高二级2015 届高三级 跑步a b c 爬山x y z 其中 a:b:c=2:5:3,全校参与爬山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的满意 程度,从中抽取一个 200 人的样本进行调查,则 2015 届高三参与跑步的学生中应抽取() A.15 人 B.30 人 C.40 人 D.45 人 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 先求出参与爬山的人数,再求得参与跑步的总人数,再乘以抽样比例,得出 2015 届 高三参与跑步的人数,进而根据抽取的人数得到样本中参与跑步的人数. 解答: 解:因为学校在校学生 2000 人,并且全校参与爬山的人数占总人数的 , 所以全校参与爬山的人数为 500, 所以全校参与跑步的人数为 1500,即 a+b+c=1500.

又因为 a:b:c=2:5:3, 所以 c=450. 又因为从中抽取一个 200 人的样本进行调查, 所以 2015 届高三参与跑步的学生中应抽取的人数为:45 人. 故选 D. 点评: 本题主要考查分层抽样方法. 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. (5 分)已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环体的判断 框内①处应填 3.

考点: 循环结构. 专题: 阅读型. 1 分析: a=1 时进入循环此时 b=2 =2,依此类推,当 a=4 时应跳出循环,从而得到循环满足 的条件. 1 解答: 解:a=1 时进入循环此时 b=2 =2, 2 a=2 时再进入循环此时 b=2 =4, 4 a=3 时再进入循环此时 b=2 =16, ∴a=4 时应跳出循环, ∴循环满足的条件为 a≤3, 故答案为:3 点评: 本题主要考查了当型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环 结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断.算法和程序框图是新课标新增 的内容,在近两年的新课标地区 2015 届高考都考查到了,这启示我们要给予高度重视,属于 基础题. 10. (5 分)某单位 200 名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取 40 名职工作样本、用系统 抽样法, 将全体职工随机按 1~200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组 (1~5 号, 6~10 号, …, 196~200 号) .若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 37.若用分层抽样方法, 则 40 岁以下年龄段应抽取 20 人.

考点: 系统抽样方法;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 由分组可知,抽号的间隔为 5,第 5 组抽出的号码为 22,第 6 组抽出的号码为 27, 第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37.可以一次加上 5 得到下一组的编号,根据 图中 40 岁以下的所占的比例,得到结果. 解答: 解:∵将全体职工随机按 1~200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组, 由分组可知,抽号的间隔为 5, ∵第 5 组抽出的号码为 22, ∴第 6 组抽出的号码为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37. 40 岁以下的年龄段的职工数为 200×0.5=100, 则应抽取的人数为 ×100=20(人) .

故答案为:37;20 点评: 本题考查系统抽样,在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号,注意 要能从一系列样本中选择出来.本题还考查分层抽样,是一个抽样的综合题目. 11. (5 分)经过圆 x +2x+y =0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是 x﹣y+1=0. 考点: 直线的点斜式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 分析: 先求圆心,再求斜率,可求直线方程. 解答: 解: 易知点 C 为 (﹣1, 0) , 而直线与 x+y=0 垂直, 我们设待求的直线的方程为 y=x+b, 将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b=1,故待求的直线的方程为 x﹣y+1=0. 故答案为:x﹣y+1=0. 点评: 明确直线垂直的判定,会求圆心坐标,再求方程,是一般解题思路. 12. (5 分)圆心在 y 轴上,且与直线 y=x 相切于点(1,1)的圆的方程为 x +(y﹣2) =2. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 由圆心在 y 轴上,设圆心坐标为(0,b) ,半径为 r,表示出圆的标准方程,由直线 y=x 与圆相切于点(1,1) ,得到圆心与此点的连线与 y=x 垂直,根据两点的坐标表示出此直 线的斜率,利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1 列出关于 b 的关系式,再将切点的坐标代入圆 的方程得到关于 b 与 r 的关系式,联立两关系式求出 b 与 r 的值,即可确定出圆的方程. 2 2 2 解答: 解:设圆心为(0,b) ,半径为 r,则圆的方程为 x +(y﹣b) =r ,
2 2 2 2

依题意有



解得


2 2

所以圆的方程为 x +(y﹣2) =2. 2 2 故答案为:x +(y﹣2) =2 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,两直线垂直时斜 率满足的关系,切线的性质,以及直线斜率的求法,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等 于圆的半径,且切线垂直于过切点的半径. 13. (5 分)集合 A={(x,y)|x +y =4},B={(x,y)|(x﹣3) +(y﹣4) =r },其中 r>0, 若 A∩B 中有且仅有一个元素,则 r 的值是 3 或 7. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 集合 A 中的元素其实是圆心为坐标原点,半径为 2 的圆上的任一点坐标,而集合 B 的元素是以(3,4)为圆心,r 为半径的圆上点的坐标,因为 r>0,若 A∩B 中有且仅有一个 元素等价与这两圆只有一个公共点即两圆相切,则圆心距等于两个半径相加得到 r 的值即可. 解答: 解:据题知集合 A 中的元素是圆心为坐标原点,半径为 2 的圆上的任一点坐标, 集合 B 的元素是以(3,4)为圆心,r 为半径的圆上任一点的坐标, 因为 r>0,若 A∩B 中有且仅有一个元素,则集合 A 和集合 B 只有一个公共元素即两圆有且 只有一个交点,则两圆相切, 圆心距 d=R+r 或 d=R﹣r; 根据勾股定理求出两个圆心的距离为 5,一圆半径为 2,则 r=3 或 7 故答案为 3 或 7 点评: 考查学生运用两圆位置关系的能力,理解集合交集的能力,集合的包含关系的判断 即应用能力. 14. (5 分)α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论 断: ①m⊥n ②α⊥β ③m⊥β ④n⊥α 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:若②③④ 则①或若①③④则②. 考点: 平面与平面垂直的判定. 专题: 探究型. 分析: 根据线面垂直、线线垂直、面面垂直的判定与性质,分别探究①②③?④, ①②④?③,①③④?②,②③④?①的真假,即可得到答案. 解答: 解:若①m⊥n,②α⊥β,③m⊥β 成立, 则 n 与 α 可能平行也可能相交,也可能 n?α,即④n⊥α 不一定成立; 若①m⊥n,②α⊥β,④n⊥α 成立, 则 m 与 β 可能平行也可能相交,也可能 m?β,即③m⊥β 不一定成立;
2 2 2 2 2

若①m⊥n,③m⊥β,④n⊥α 成立,则②α⊥β 成立 若②α⊥β,③m⊥β,④n⊥α 成立,则①m⊥n 成立 故答案为:若②③④则①或若①③④则② 点评: 本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的判定,其中熟练掌握空间直线与平面垂 直关系的判定定理、性质定理、及几何特征是解答本题的关键. 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (12 分)已知函数 f(x)=2sin( x﹣ (1)求 f( )的值; ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ) ,x∈R

(2)设 α,β∈[0,

考点: 两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)把 x= 出对应的函数值; (2)分别把 x=3α+ 和 x=3β+2π 代入 f(x)的解析式中,化简后利用诱导公式即可求出 sinα 代入函数 f(x)的解析式中,化简后利用特殊角的三角函数值即可求

和 cosβ 的值,然后根据 α 和 β 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 和 sinβ 的 值,然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后,将各自的值代入即可求出值. 解答: 解: (1)把 x= f( )=2sin( × )= ﹣ 代入函数解析式得: )=2sin = ;

(2)由 f(3α+ 2sin[ (3α+ sinα=

,f(3β+2π)= ,代入得: ]=2sinα= ,2sin[ (3β+2π)﹣ ], ]=2sin(β+ )=2cosβ=

)﹣

,cosβ= ,又 α,β∈[0, ,sinβ= ,

所以 cosα=

则 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=

× ﹣

× =



点评: 此题考查学生掌握函数值的求法,灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系 化简求值,是一道中档题. 16. (14 分)已知直线 l 经过 A(4,0) 、B(0,3) ,求直线 l1 的一般方程,使得: (1)l1∥l,且经过两直线 3x+y=0 与 x+y=2 交点; (2)l1⊥l,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6.

考点: 直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)联立 设直线 l1 的方程为 (2)设直线 l1 的方程为 围成的三角形的面积为 ,解得交点 C(﹣1,3) .由截距式可得直线 l 的方程为 .把 C 代入即可. ,当 x=0 时,y=﹣4n;当 y=0 时,x=3n.直线 l1 与两坐标轴 ,解得即可. ,

解答: 解: (1)联立

,解得

,即交点 C(﹣1,3) .

直线 l 的方程为 设直线 l1 的方程为

, .

∵直线 l1 经过两直线的交点 C(﹣1,3) , ∴ . ,即 3x+4y﹣9=0. ,

故直线 l1 的方程为 (2)设直线 l1 的方程为

当 x=0 时,y=﹣4n;当 y=0 时,x=3n. 直线 l1 与两坐标轴围成的三角形的面积为 解得 n=±1. 故直线 l1 的方程为 ,即 4x﹣3y﹣12=0 或 4x﹣3y+12=0. ,即 n =1.
2

点评: 本题考查了直线的截距式、相互平行与垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能 力与计算能力,属于基础题. 17. (14 分)在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日, 评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计, 绘制了频率分布直方图 (如 图) ,已知从左到右各长方形的高的比为 2:3:4:6:4:1,第三组的频数为 12,请解答下 列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比? (2)哪组上交的作品数量最多?共有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,问这两组哪组获奖率高?

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: (1)利用高之比等于频率之比,根据第三组的频率建立等量关系,求出样本容量即 可. (2)矩形高最高的就是上交作品数最多的,根据第四组的频率建立等量关系,即可求得频数. (3)先求出第四组和第六组的作品数,再根据第四组和第六组的作品获奖数求出获奖概率, 比较大小即可. 解答: 解: (1)因为 所以本次活动共有 60 件作品参加评比. (4 分) (2)因为 所以第四组上交的作品数量最多,共有 18 件. (8 分) (3)因为 所以 ,所以第六组获奖率高.

点评: 本题考查频数,频率及频率分布直方图,考查运用统计知识解决简单实际问题的能 力,数据处理能力和运用意识.在频率分布表中,频数的和等于样本容量,频率的和等于 1, 每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量. 频率分布直方图中, 小矩形的高等于每一组 的频率/组距,它们与频数成正比,小矩形的面积等于这一组的频率.对于开放性问题的回答, 要选择适当的数据特征进行考查,根据数据特征分析得出实际问题的结论. 18. (14 分) 在直三棱柱 (侧棱与底面垂直的三棱柱) ABC﹣A1B1C1 中, AB=8, AC=6, BC=10, A1A=6,D 是 BC 边的中点. (1)求证:AB⊥A1C; (2)求证:A1C∥面 AB1D; (3)求点 A 到面 A1BC 的距离.

考点: 直线与平面平行的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 转化思想;空间位置关系与距离. 分析: (I)由已知及勾股定理可得 AC⊥AB,又 A1A⊥平面 ABC,可得 A1A⊥AB,又 A1A∩AC=A,即可判定 AB⊥面 C1A,从而可证 AB⊥A1C. (2)设 A1B 与 AB1 的交点为 E,连结 DE,可证 DE∥A1C,又 DE?平面 ADB1,A1C?平面 ADB1,从而可证明 A1C∥平面 ADB1. (3)用等体积法即可求得点 A 到面 A1BC 的距离. 解答: (本小题满分 14 分) 证明: ( I)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,底面三边长 AB=8,AC=6,BC=10, ∴AC⊥AB,…(2 分) 又 A1A⊥平面 ABC,∴A1A⊥AB,A1A∩AC=A, ∴AB⊥面 C1A ∴AB⊥A1C…(5 分) (2)设 A1B 与 AB1 的交点为 E,连结 DE…. (6 分) ∵D 是 BC 的中点,E 是 AB1 的中点,∴DE∥A1C…(8 分) ∵DE?平面 ADB1,A1C?平面 ADB1, ∴A1C∥平面 ADB1 …(10 分) (3)∵由已知可得:A1B=10,A1C=6 ,BC=10 ∴S△ ABC= =2 , = ∴A 到面 A1BC 的距离 d= = =48. .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)

点评: 本题主要考查了直线与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算,考查了转化思 想,属于中档题. 19. (14 分)已知圆 O 以原点为圆心,且过 A(2 (1)求圆 O 的方程; (2)求圆 O 关于直线 x+y=2 对称的圆的方程; (3)经过点 P(3,1)且与圆 O 相切的直线方程 (4)若直线 x+2y+c=0 与圆 O 相交所截得的弦长是 ,1)

,求 c.

考点: 直线与圆相交的性质.

专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)求出圆的半径,可得圆的方程; (2)求出圆 O 关于直线 x+y=2 对称点坐标,可得圆的方程; (3)分类讨论,利用直线到圆的距离等于半径,可得直线方程; (4) 求出圆心到直线 x+2y+c=0 的距离, 利用直线 x+2y+c=0 与圆 O 相交所截得的弦长是 可求 c. 解答: 解: (1)∵圆 O 以原点为圆心,且过 A(2 ,1) ∴r=3, 2 2 ∴圆的方程为 x +y =9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) (2)圆 O 关于直线 x+y=2 对称点坐标为(2,2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ∴圆的方程为(x﹣2) +(y﹣2) =9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) (3)当过点 P 的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为 k,﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 由点斜式可得切线方程为 y﹣1=k(x﹣3) ,即 kx﹣y﹣3k+1=0,﹣﹣﹣﹣(9 分) ∴k2+1=3,解得 k=﹣3. 故所求切线方程为﹣3x﹣y+4+1=0,即 4x+3y﹣15=0.﹣﹣﹣﹣(10 分) 当过点 P 的切线斜率不存在时,方程为 x=3,也满足条件. 故所求圆的切线方程为 4x+3y﹣15=0 或 x﹣3=0.﹣﹣﹣﹣﹣(11 分) (4)圆心到直线 x+2y+c=0 的距离 d= , ,
2 2



∵直线 x+2y+c=0 与圆 O 相交所截得的弦长是

∴2

=

,…(13 分)

∴c=±3.…(14 分) 点评: 本题考查直线与圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 20. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,记二次函数 f(x)=x +2x+b(x∈R)与两坐标轴有三 个交点.经过三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 的无关)?请证明你的结论. 考点: 二次函数的图象;圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意知,由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即 b 不等于 0, 然后抛物线与 x 轴有两个交点即令 f(x)=0 的根的判别式大于 0 即可求出 b 的范围; (2)设出圆的一般式方程,根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知:令 y=0 得到与 f(x)=0 一样的方程;令 x=0 得到方程有一个根是 b 即可求出圆的方程; 2 2 (3)设圆的方程过定点(x0,y0) ,将其代入圆的方程得 x0 +y0 +2x0﹣y0+b(1﹣y0)=0,因 2 2 为 x0,y0 不依赖于 b 得取值,所以得到 1﹣y0=0 即 y0=1,代入 x0 +y0 +2x0﹣y0=0 中即可求出 定点的坐标.
2

解答: 解: . (1)令 x=0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ; 令 f(x)=x +2x+b=0,由题意 b≠0 且△ >0,解得 b<1 且 b≠0. 2 2 (2)设所求圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0 2 2 令 y=0 得 x +Dx+F=0 这与 x +2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b. 2 令 x=0 得 y +Ey+F=0,方程有一个根为 b,代入得出 E=﹣b﹣1. 2 2 所以圆 C 的方程为 x +y +2x﹣(b+1)y+b=0. (3)圆 C 必过定点,证明如下: 假设圆 C 过定点(x0,y0) (x0,y0 不依赖于 b) ,将该点的坐标代入圆 C 的方程, 2 2 并变形为 x0 +y0 +2x0﹣y0+b(1﹣y0)=0(*) 2 2 为使(*)式对所有满足 b<1(b≠0)的 b 都成立,必须有 1﹣y0=0,结合(*)式得 x0 +y0 +2x0 ﹣y0=0,解得 经检验知, (﹣2,1)和(0,1)均在圆 C 上,因此圆 C 过定点(﹣2,1)和(0,1) . 点评: 本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.是一道综合题.
2


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