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高一数学必修二课件2.2.2平面与平面平行的判定


新课导入
我们已经学过直线与平面平行的判定:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行,则该直线与此平面平行。
a

?
空间问题

b

平面问题

在现实生活中我们也经常要判断平面与 平面是否平行。 如建筑师是如何检验屋顶平面是与水平面平行。
<

br /> 是否可以将平面与平面之间的平行判定 这个空间问题也转化为平面问题呢?

是否可以将平面与平面之间的平行判定 这个空间问题也转化为平面问题呢?

2.2.2 平面与平面平行的判定

学习目标
知识与能力
?理解并掌握两平面平行的判定定理。

教学重难点
重点 ?两个平面平行的判定。 难点

?判定定理、例题的证明。

可以根据定义判定平面与平面是否平行,即 判定它们是否有公共点。 公共点

α β

α

β

但是,平面无限延展,用定义判定平面与 平面平行的可行性不大。

若一个平面内所有直线都与另一平面平行,那 么这两个平面一定不可能相交,所以两面平行。只 要有一条直线与另一面相交,则两面不平行。 面面问题
转化为

线面问题

但是,依然要判断一个平面内所有直线都与 另一平面平行,这是很难操作的,能不能根据某 几条直线的平行与面平行来判定面面平行呢?

探 究 1、若平面α内有一条直线a平行于平面β, 则能保证 ? ∥β吗?
a a

?
β

?

β

如图可知,平面α与平面β不一定平行。

2、若平面 ? 内有两条直线a、b都平行于平 面β,能保证 ? ∥β吗?

a

b

?
β β

b

a

?

左图中,平面 ? 内两直线平行,两平面不平行。

右图中,平面 ? 内两直线相交,两平面平行。

平面和平面平行的判定定理:

定理证明

一个平面内有两条相交直线与此另 一平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:

a ? ? ,b ? ? ? ? a ? b ? p ? ? ? //? ? a //? , b //? ?
面面平行

线线相交、线面平行

解决问题的数学思想:
面面问题
转化为

线面问题

转化为

线线问题

空间问题

转化为

平面问题

判断 (1)平行于同一条直线的两平面平行。

错误
α a β

(2)若平面α内有两条直线都平行于平面 错误 β,则α∥β。

a b α β

(3)若平面α内有无数条直线都平行于平 错误 面β,则α∥β。

α

β

(4)过平面外一点,只可作1个平面与已知 平行。 正确

使

(5)设a、b为异面直线,则存在平面α、β, a ? ? , b ? β且α / /β。 正确

α

a

β

b

例三

已知 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , 求证:平面B1AD1//平面BC1D
D1 A1 D A C1

分析:

B1

B

在四边形ABC1D1中, AB∥C1D1且AB=C1D1故四边 C 形ABC1D1为平行四边形。 即AD1∥BC1

证明: ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体, D1 ∴D1C1//A1B1,D1C1=A1B1, AB//A1B1,AB=A1B1, A1 ∴D1C1//AB,D1C1=AB, ∴D1C1BA为平行四边形, D ∴ D1A//C1B, 又D1A? 平面C1BD, A C1B ? 平面C1BD, ∴D1A//平面C1BD。

C1
B1

C B

同理D1B1//平面C1BD, A1 又D1A ?D1B1=D1, D1A ? 平面AB1D1 , D1B1? 平面AB1D1, ∴平面AB1D1//平面C1BD。
A

D1

C1

B1
D

C

B

例四 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P、Q、R分 别为A1A、AB、AD的中点 .求证:平面PQR∥ 平面CB1D1。 连结A1B,BD。 因为PQ∥ A1B且A1B ∥CD1。 P R Q

故PQ∥CD1。
同理可得,RQ//B1D1。

所以平面PQR∥平面CB1D1。

正方体中面与面的平行关系有还有这些:
D1

C1 B1
A1

D1

C1 B1
A1
E

F

D1
E

C1 B1
N

A1

Q

P

D

F

C

D

C

D

A
D1
N

B
C1 B1
M

A
D1

B
C1

A
D1

B

M

C

C1
E F

E

A1

A1

A1

B1

B1

F

D
E
B

C
A

D

D
C

C

A

B

F

A

B

课堂小结
证明平面与平面平行的方法: (1)利用定义: 平面与平面没有公共点 (2)利用判定定理: 线面平行 平面和平面平行的判定定理: 一个平面内有两条相交直线与此另 一平面平行,则这两个平面平行。 面面平行

利用判定定理证明两个平面平行,必须 具备以下的两个条件: (1)有两条直线平行于同一个平面。 (2)这两条直线必须相交。

α
β

b

a

平面与平面平行的判定

在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、P 分别 是 C1C、B1C1、C1D1 的中点,求证:平面 MNP∥平面 A1BD.

【思路探究】 由于 M、N、P 都为中点,故添加 B1C、 B1D1 作为联系的桥梁.

【自主解答】 如图所示,连接 B1D1、B1C. ∵P、N 分别是 D1C1、B1C1 的中点, ∴PN∥B1D1. 又 B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又 PN?面 A1BD, ∴PN∥平面 A1BD. 同理 MN∥平面 A1BD,又 PN∩MN=N, ∴平面 PMN∥平面 A1BD.

1.本例的证明体现了证明面面平行的常用方法,解决此 类问题的关键是选择或添加适当的辅助线(或辅助面), 使问题 转化为证线面平行或线线平行. 2.判定平面与平面平行的四种常用方法 (1)定义法: 证明两个平面没有公共点, 通常采用反证法. (2)利用判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行 于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则,即先在一个 平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再 作辅助线.

(3)转化为线线平行:平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的两条相交直线分别平行,则 α∥β. (4)利用平行平面的传递性:若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ.

(2013· 肇庆高一检测 ) 已知 P 是 ? ABCD 所在平面外一 点.E,F,G 公别是 PB,AB,BC 的中点.

图 2-2-4 证明:平面 PAC∥平面 EFG.

【证明】 因为 EF 是△PAB 的中位线,所以 EF∥PA. 又 EF?平面 PAC,PA?平面 PAC, 所以 EF∥平面 PAC. 同理得 EG∥平面 PAC. 又 EF?平面 EFG, EG?平面 EFG,EF∩EG=E, 所以平面 PAC∥平面 EFG.

线面平行、面面平行判定定理的综合应用

如图 2-2-5,已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,点 M,N,Q 分别在 PA,BD,PD 上, 且 PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面 MNQ∥平面 PBC.

图 2-2-5

【思路探究】

依据比例关系得出线线平行关系,再得

出线面平行关系,最后得出面面平行关系.

【自主解答】 ∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD, ∴MQ∥AD,NQ∥BP. ∵BP?平面 PBC,NQ?平面 PBC, ∴NQ∥平面 PBC. 又底面 ABCD 为平行四边形, ∴BC∥AD, ∴MQ∥BC.

∵BC?平面 PBC,MQ?平面 PBC, ∴MQ∥平面 PBC. 又 MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,得 平面 MNQ∥平面 PBC.

1.求解本题的关键是依据 PM∶MA= BN∶ND= PQ∶ QD 建立 MQ∥BC 及 NQ∥PB. 2.证明线线、线面以及面面平行时,常进行如下转化: 线面平行的判定 面面平行的判定 线线平行 ―――――――→ 线面平行 ―――――――→ 面 面平行.

已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E, F 分别是 AA1, CC1 的中点,求证:平面 BDF∥平面 B1D1E.

【证明】 如图,取 BB1 的中点 G,连接 EG,GC1,

则有 EG 綊 A1B1.又 A1B1 綊 C1D1,∴EG 綊 C1D1.

∴四边形 EGC1D1 是平行四边形,∴D1E 綊 GC1.

又 BG 綊 C1F,∴四边形 BGC1F 为平行四边形,

∴BF∥C1G,∴BF∥D1E. 又 BF?平面 B1D1E,D1E?平面 B1D1E, ∴BF∥平面 B1D1E. 又 BD∥B1D1,同理可得 BD∥平面 B1D1E. 又∵BF∩BD=B, ∴由平面与平面平行的判定定理得,平面 BDF∥平面 B1D1E.

1.能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( A.b?α,a∥b B.b?α,c∥α,a∥b,a∥c C.b?α,A、B∈a,C、D∈b,且 AC=BD D.a?α,b?α,a∥b

)

【解析】 A 错误,若 b?α,a∥b,则 a∥α 或 a?α;B 错误,若 b?α,c∥α,a∥b,a∥c,则 a∥α 或 a?α;C 错 误,若满足此条件,则 a∥α 或 a?α 或 a 与 α 相交;D 正确.
【答案】 D

2.下列说法中正确的是(

)

A. 如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行, 那么 这两个平面平行 B. 如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行, 那 么这两个平面平行 C. 如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行, 那 么这两个平面平行 D.如果两个平面平行于同一直线,则这两个平面平行

【解析】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 BC ∥平面 A1C1,但平面 A1C1 与平面 BC1 相交,故 A 错误;同 理平面 BC1 中有无数条直线与平面 A1C1 平行,但平面 A1C1 与平面 BC1 相交,故 B 错误;又 AD∥平面 A1C1,AD∥平面 BC1 但平面 BC1 与平面 A1C1 相交,故 D 错误.

【答案】 C

3.若 a,b,c,d 是直线,α,β 是平面,且 a,b?α;c, d?β,且 a∥c,b∥d,则平面 α 与平面 β( A.平行 C.异面 B.相交 D.不能确定 )

【解析】 若直线 a,b 是相交直线,则可得出平面 α 与 平面 β 平行,若 a∥b 则平面 α 与平面 β 可能平行,也可能相 交(如图所示).

【答案】 D

4.如图 2-2-6,在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中, E、F 分别是 PC、PD 的中点,求证:EF∥平面 PAB.

图 2-2-6

【证明】 ∵E、F 分别是 PC,PD 的中点, ∴EF∥CD,∵CD∥AB,∴EF∥AB, ∵EF?面 PAB,AB?平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB.


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