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两角和与差的余弦


两角和与差的余弦
数学组

孙璐

a b cos ? a, b ?

a1b1 ? a 2 b 2
2 2 3 2

cos(45? ? 30?) ?

已知向量OP ? (cos 45?,sin 45?), OQ ? (cos 30?,sin 30?),

用坐标法表示OP ? OQ ? _______________________ cos 45? cos 30? ? sin 45? sin 30?
用定义法表示 OP ? OQ ? __________ __________ _______ 1?1cos ? OP , OQ ?? cos( 45? ? 30?)
O
y
P(cos 45?,sin 45?)
Q(cos30?,sin30?)

x

cos(45? ? 30?) ? cos45? cos30? ? sin 45? sin 30? cos( 45 ? ? 30 ??) ? cos 45 ? cos 30 ?? ? sin 45 ? sin 30 ? ?

?

?

?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
cos(? ? ?) ? cos[? ? (?? )] ? cos? cos(? ? ) ? sin ? sin(? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

两角差的余弦公式:C? ? ?

即得两角和的余弦公式:C? ? ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

两角和与差的余弦公式:
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

注:cc ss,符号相反

例1

应用两角和与差的余弦公式求值

6- 2 4 (1) cos 75? ? _______________________

1 2 (2) cos 27? cos33? ? sin 27? sin 33? ? __________ 1 2 (3) cos80? cos 20? ? cos10? cos 70? ? __________

2? 6 (1)cos105 ________ 4
6? 2 ? (2)cos(-165 )_________ 4

课下总结:我 们能由三个特 殊角求出哪些 角的余弦值?

cosx

4 ? ? ? 例2 已知 cos ? ? ? ( ? ? ? ? ), 求cos ( ? ? ), cos( ? ? ) 5 2 6 6

注意符号!

求证 : cos ? ? sin ? ? 2 cos( ? ? ) 4 ? 证明 : 右边 ? 2 cos( ? ? )
? 2(cos

?

?
4

4

cos ? ? sin

?
4

sin ? )

2 2 ? 2( cos ? ? sin ? ) 2 2 ? cos ? ? sin ? ? 左边
故原式得证

A 在△ABC中,若 cosAcosB ? sinAsinB ,则△ABC是_____. (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定.

知 识 网 络

向量 数量积

C α-β

用-β代β

C α+β

赋值

求cos15°等

化简、证明

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?

1、P135-B组
2、你能用两角和与差 的余弦推导出两角和 与差的正弦吗?

不 见 其 增 , 日 有 所 长 。

学 习 如 春 起 之 苗


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