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已知单位反馈系统的开环传递函数为


1 绪论
(1) 控制系统的组成

被控对象

控制系统
控制装置

测量元件 比较元件 放大元件 执行机构 校正装置 给定元件

(2) 由系统工作原理图绘制方框图

(3) 对控制系统的要求 (4) 控制系统的分类 (5) 负反馈原理 将系统的输出信号引回

输入端,与输入信号相比较,利用 所得的偏差信号进行控制,达到减小偏差、消除偏差的目的。

2 数学模型
?时域:微分方程 ? ?复域:传递函数 ?频域:频率特性 ?

2-1

试建立图 2-27 所示各系统的微分方程。其中外力 F (t ) ,位移 x(t ) 为输入量;位

移 y (t ) 为输出量; k (弹性系数) f (阻尼系数)和 m (质量)均为常数。 ,

解 (a)以平衡状态为基点,对质块 m 进行受力分析(不再考虑重力影响) ,如图解 2-1(a) 所示。根据牛顿定理可写出

dy d2y F (t ) ? ky(t ) ? f ?m 2 dt dt

整理得

d 2 y (t ) f dy(t ) k 1 ? ? y (t ) ? F (t ) 2 m dt m m dt
(b)如图解 2-1(b)所示,取 A,B 两点分别进行受力分析。对 A 点有

k1 ( x ? x1 ) ? f (
对 B 点有

dx1 dy ? ) dt dt

(1)

f(

dx1 dy ? ) ? k2 y dt dt

(2)

联立式(1)(2)可得: 、

k1 k 2 k1 dx dy ? y? dt f (k1 ? k 2 ) k1 ? k 2 dt

2.1 拉氏变换的几个重要定理 (1)线性性质: L?af1 (t ) ? bf2 (t )? ? aF1 (s) ? bF2 (s) (2)微分定理: L?f ??t ?? ? s ? F?s? ? f ?0? ? 例:求 L?cos?t ? 解:? cos?t ?
1

1 1 ?-1? (3)积分定理: L ? f ?t ?dt ? ? F?s ? ? f ?0? s s 1 零初始条件下有: L ? f ?t ?dt ? ? F?s ? s

?

?

?

L?sin??t ? ?

1

?

?s?

? s ? 2 2 s ?? s ? ?2
2

?

?

? 例:求 L[t]=? 解:? t ? ? 1?t ?dt
1 1 1 1 ? L?t ? ? L ? 1?t ?dt ? ? ? t t ?0 ? 2 s s s s
?t2 ? L? ? ? 例:求 ?2?

?

?

t2 解:? ? ? tdt 2
?t2 ? 1 1 1 t2 ? L ? ? ? L ? tdt ? ? 2 ? ? s s s 2 ?2?

? ?

?
t ?0

1 s3

(4)位移定理 实位移定理: L?f ?t - ?
?0 t ? 0 ? ? 例: f ?t ? ? ?1 0 ? t ? 1 ?0 t ? 0 ? 求F?s ?

?? ? e ??s ? F?s ?

解: f (t) ? 1(t) ? 1(t ? 1)
? F?s ? ? 1 1 ?s 1 ? ? e ? 1 ? e ?s s s s

?

?

虚位移定理: L?e at ? f ?t ?? ? F?s - a ? (证略) ? 例:求 L?e at ?
1 解 : L e at ? L 1?t ? ? e at ? s?a

? ? ?

?

(5)终值定理(极限确实存在时)
lim f ?t ? ? f ?? ? ? lim s ? F?s ?
t ?? s ?0

? 例: F?s ? ?

1 s?s ? a ??s ? b ?

求 f ???

解: ?? ? ? lim s f
s ?0

1 1 ? s?s ? a ??s ? b ? ab

例: F(s) ? 解: F(s) ?
c1 ? lim (s ? 1)
s ??1

s?2 s ? 4s ? 3
2

求 f (t) ? ?

s?2 c c ? 1 ? 2 (s ? 1)(s ? 3) s ? 1 s ? 3
s?2 ?1 ? 2 1 ? ? (s ? 1)(s? 3) ? 1 ? 3 2
s?2 ?3? 2 1 ? ? (s ? 1)(s? 3) ? 3 ? 1 2

c 2 ? lim (s ? 3)
s ??3

? F(s) ?

12 12 ? s ?1 s ? 3 1 1 ? f ( t ) ? e ? t ? e ?3t 2 2

● 例: F(s) ? 解 1:

c1 c2 s?3 s?3 ? ? ? s ? 2s ? 2 (s ? 1 - j)(s ? 1 ? j) s ? 1 - j s ? 1 ? j
2

c1 ? lim (s ? 1 - j)
s ??1? j

s?3 2? j ? (s ? 1 - j)(s ? 1 ? j) 2j s?3 2- j ? (s ? 1 - j)(s ? 1 ? j) ? 2j

c 2 ? lim (s ? 1 ? j)
s ? ?1- j

? f (t ) ?

2 ? j ( ?1? j) t 2 - j ( ?1? j)t e ? e 2j 2j

?

1 ?t e (2 ? j)e jt ? (2 ? j)e- jt 2j

?

?

(?

e jt ? e ? jt e jt ? e ? jt ? sin t , ? cos t ) 2j 2j

?

1 ?t e ?2cost ? 4sint?j ? e ? t (cost ? 2sint) 2j s?3 s ?1? 2 s ?1 2 ? ? ? 2 2 2 (s ? 1) ? 1 (s ? 1) ? 1 (s ? 1) ? 1 (s ? 1) 2 ? 1
虚位移定理

? F(s) ?

? f (t)

?

cost.e ? t ? 2sint.e ? t

解 2:
F(s) ? s?3 s ?1? 2 s ?1 1 ? ? ?2 2 2 2 2 2 2 (s ? 1) ? 1 (s ? 1) ? 1 (s ? 1) ? 1 (s ? 1) 2 ? 12 (复位移定理)

f ( t ) ? e ? t .cost ? 2e ? t .sint

●例

F(s) ?

s?2 s(s ? 1) 2 (s ? 3)

求 f (t) ? ?

解: F(s) ?
IV

c c2 c c ? 1 ? 3? 4 2 (s ? 1) s ?1 s s ? 3 s?2 ?1 ? 2 1 ? ?? 2 s(s ? 1) (s ? 3) (?1)( ?1 ? 3) 2

c 2 ? lim (s ? 1) 2
s ??1
IV

c1 ? lim

s ? ?1

? d ? s?2 s ( s ? 3) ? ( s ? 2)[( s ? 3) ? s ] 3 2 ?? ?(s ? 1) ? ? slim1 2 2 2 ?? ds ? 4 s(s ? 1) (s ? 3) ? s ( s ? 3)

c3 ? lim s.
s ?0

s?2 2 ? 2 s(s ? 1) (s ? 3) 3 s?2 1 ? 2 s(s ? 1) (s ? 3) 12

c 4 ? lim (s ? 3).
s ?-3

1 1 3 1 2 1 1 1 ? F(s) ? ? . ? . ? . ? . 2 2 (s ? 1) 4 s ? 1 3 s 12 s ? 3
1 3 2 1 ? f ( t ) ? ? te ? t ? e ? t ? ? e ?3t 2 4 3 12

? 例.化简结构图:求

C (s) . R(s)

3 时域

G ( s) ?

1 m s ? Bs ? k
2

?

2 ?n 2 s 2 ? 2?? n s ? ? n

?n ?
??

k m
B

2 mk
常见的性能指标有:上升时间 tr、峰值时间 tp、调整时间 ts、 最大超调量 Mp、振荡次数 N。

c(t)
允许误差

M 1
0.9
p

??=0.05或0.02
0.1

0

tr tp

ts

t

欠阻尼二阶系统的阶跃响应为:
e ??? nt 1??
2

c(t ) ? 1 ?

sin(? n 1 ? ? t ? tg
2

?1

1?? 2

?

), t ? 0

上升时间
? ? arctg
tr ? 1?? 2

?

?n 1 ? ? 2

?

? ? arccos? ?n 1 ? ? 2

峰值时间
tp ?

? ?n 1 ? ? 2

最大超调量

Mp ?

c(t p ) ? c(?) c (? )
??? 1?? 2

? 100%

?e

? 100%

调整时间 ts
? ln ? ? ln 1 ? ? 2 ? 4 ? ?? , ? n ?? ? 3 , ? ?? n ? ? ? 0.02 ? ? 0.05

ts ?

?? n

已知系统传递函数:
G( s) ? 2s ? 1 ( s ? 1) 2

求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。

解:1)单位阶跃输入时
C ( s ) ? G ( s ) R( s ) ? 2s ? 1 s( s ? 1) 2 ? 1 1 1 ? ? s ( s ? 1) 2 s ?1

c(t ) ? L[C ( s)] ? 1 ? te ?t ? e ?t

2) 单位脉冲输入时,由于

? (t ) ?

d [1(t )] dt

c(t ) ?

d c(t ) ? 2e ?t ? te ?t dt

3.1

单位反馈系统的开环传递函数为
G( s) ? 25 s ( s ? 5)

求各静态误差系数和 r (t ) ? 1 ? 2t ? 0.5t 2 时的稳态误差 e ss ;

解1

G( s) ?

25 s( s ? 5) K p ? lim G ( s) ? lim
s ?0 s ?0

?K ? 5 ? ? v ?1

25 ?? s( s ? 5)

K v ? lim s G( s) ? lim
s ?0 s ?0

25 ?5 s?5 25 s K a ? lim s 2 G( s) ? lim ?0 s ?0 s ?0 s ? 5
1 ?0 1? K p
A 2 ? ? 0.4 Kv 5

r1 (t ) ? 1(t ) 时, e ss1 ? r2 (t ) ? 2t 时,

e ss 2 ?

r3 (t ) ? 0.5t 2 时, ess 3 ?

A 1 ? ?? Ka 0
ess ? ess1 ? ess 2 ? ess 3 ? ?

由叠加原理

解 2:
R( s ) ? 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 0.5 3 s s s

代入

3.2

已知单位反馈系统的开环传递函数为
G( s) ? 7( s ? 1) s( s ? 4)( s 2 ? 2s ? 2)

试分别求出当输入信号 [ e(t ) ? r (t ) ? c(t ) ]。 解 1:
G( s) ?

r (t ) ? 1(t ), t

和 t2 时 系 统 的 稳 态 误 差

7( s ? 1) s( s ? 4)( s 2 ? 2s ? 2)

?K ? 7 8 ? ?v ?1

由静态误差系数法 r (t ) ? 1(t ) 时, ess ? 0
r (t ) ? t 时,
r (t ) ? t 2 时,

A 8 ? ? 1.14 K 7 e ss ? ? ess ?

解 2:

ess ? lim e(t ) ? lim sE ( s) ? lim
t ?? s ?0

sR ( s) s ?0 1 ? G ( s ) H ( s )

1 1 1 R( s)分别为 、 2 、 3 s s s
代入计算

R(s)

?

E (s)

G(s) H(s)

C(s)

B(s)

E ( s) 1 ? R( s ) 1 ? G( s) H ( s)
C ( s) G( s) ? R( s ) 1 ? G( s) H ( s)

误差传递函数 闭环传递函数 开环传递函数

B( s ) ? G( s) H ( s) E ( s)

稳态误差

ess ? lim e(t ) ? lim sE ( s) ? lim
t ?? s ?0

sR ( s) s ?0 1 ? G ( s ) H ( s )

静态位置误差即单位阶跃输入下的稳态误差
R( s) ? 1 s

ess ? lim

sR ( s) 1 ? lim s ?0 1 ? G ( s ) H ( s ) s ?0 1 ? G ( s ) H ( s )

静态速度误差即单位速度输入下的稳态误差
R( s ) ? 1 s2

ess

1 sR ( s) 1 s2 ? lim ? lim ? lim s ?0 1 ? G ( s ) H ( s ) s ?0 1 ? G ( s ) H ( s ) s ?0 sG ( s ) H ( s ) s?

静态加速度误差即单位加速度输入下的稳态误差
R( s ) ? 1 s3

ess

1 sR ( s) 1 s3 ? lim ? lim ? lim 2 s ?0 1 ? G ( s ) H ( s ) s ?0 1 ? G ( s ) H ( s ) s ?0 s G ( s ) H ( s ) s?

静态位置误差系数K p ? 静态速度误差系数K v ?

lim G(s)H(s) ? G(0)H(0)
s ?0

lim sG(s)H(s)
s ?0

静态加速度误差系数Ka ?

lim
s ?0

s2G(s)H(s)

3.3
某典型二阶系统的单位阶跃响应如图所示。试确定系统的闭环传递函数。



解 依题,系统闭环传递函数形式应为

G( s) ?
由阶跃响应曲线有:

K?. 2 n
2 s 2 ? 2?? n s ? ? n

1 h(?) lim s G(s) R(s) ? lim s ?(s) ? ? K ? 2 ? s ?0 s ?0 s

? ? ?2 ? tp ? 2 ? ?n 1? ? ? ?M ? e ??? 1?? 2 ? 2.5 ? 2 ? 25 o o ? p 2 ?
联立求解得

? ? ? 0.404 ? ?? n ? 1.717
G( s) ? 2 ?1.7172 s 2 ? 2 ? 0.404?1.717s ? 1.7172 ? 5.9 s 2 ? 1.39s ? 2.95

所以有

3.4
如图所示系统,假设该系统在单位阶跃响应中的超调量 M0=25%,峰值时间 t m =0.5 秒,试 确定 K 和τ 的值。

解: 系统结构图可得闭环传递函数为

G B ( s) ?

Y ( s) K K ? ? 2 X ( s) s( s ? 1) ? K (?s ? 1) s ? (1 ? K? ) s ? K

2 ?n 与二阶系统传递函数标准形式 2 相比较,可得 2 s ? 2?? n s ? ? n

2 ? n ? K ; 2?? n ? 1 ? K? 或 ? ?

2?? n ? 1
2 ?n

?? ?

M0 ? e
?? ?

1?? 2

?100% ? 25%



e

1?? 2

? 0.25

两边取自然对数可得

? ??

1?? 2
1.3863

? ln 0.25 ? ?1.3863

? ?

? ? 1.3863 2
2

? 0.4

依据给定的峰值时间:
tp ?

? ?n 1? ? 2

? 0.5 (秒)

所以 故可得

?n ?

?
0. 5 1 ? ? 2

? 6.85 (弧度/秒)

2 K ? ? n ? 46.95 ? 47

τ ≈0.1

4 稳定性


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