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北师大版 必修1 数学1:4.2.2 用函数模型解决实际问题


第四章 函数应用 §2 实际问题的函数建模 2.2 用函数模型解决实际问题 高中数学必修1· 精品课件 知识回顾 解函数应用题的一般流程 审题 建模 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系. 将文字语言转化为数学语言,用数学知识建 立相应的数学模型. 求解数学模型,得到数学结论. 将用数学方法得到的结论还原为实际问题.? 求模 还原 典例精讲:题型一:二次函数、对勾函数模型 [例1] 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y= -48x+ 8000,已知此生产线年产量最大为210吨. (1)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获 得最大利润?最大利润是多少? (2)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本. 典例精讲:题型一:二次函数、对勾函数模型 [解析](1)设可获得总利润为R(x)万元, 则R(x)=40x-y =40x-+48x-8000 =- +88x-8000 =- (x-220)2+1680 (0≤x≤210). ∵R(x)在[0,210]上是增函数, ∴x=210时,R(x)有最大值为-(210-220)2+1680=1660. 典例精讲:题型一:二次函数、对勾函数模型 (2)每吨平均成本为(万元). 则= + -48 ≥2-48 =32, 当且仅当= ,即x=200时取等号. ∴年产量为200吨时,每吨平均成本最低,最低为32万元. 变式训练 【变式】某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3000 +20x-0.1x2 (0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产 者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( C ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 [解析]设利润为f(x)万元,则 f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-3000 (0<x<240,x∈N*). 令 f(x)≥ 0, 得x≥150, ∴生产者不亏本时的最低产量是150台. 题后反思 规律总结:二次函数、对勾函数模型的应用 二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型后,可利用 配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最 值,从而解决实际问题中的最值问题.解决实际中的优化问题时 ,一定要分析自变量的取值范围. 对勾函数也是高中数学中重要模型,在解题时常利用性质: y=ax≥2(a>0,b>0). 典例精讲:题型二:指数函数、对数函数模型的应用 [ 例 2] 某城市现有人口总数为 100 万人,如果年自然增长率为 1.2% , 试解答以下问题: (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式; (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人). (参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) [解析](1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%). 2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2% =100×(1+1.2%)2. 典例精讲:题型二:指数函数、对数函数模型的应用 3年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2% =100×(1+1.2%)3. x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x

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