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2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科数学


2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(文科)
2012.4 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的 市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类 型(B)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、 多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 3

S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A 满足 A ? ?1, 2 ? ,则集合 A 的个数为
A. 4 B. 3 C. 2




D.1

2.已知 i 为虚数单位,复数 z 1 ? a ? i , z 2 ? 2 ? i ,且 z 1 ? z 2 ,则实数 a 的值为(
A. 2 B. ? 2
2



C . 2 或 ?2

D. ? 2 或0

3.已知双曲线 x ?

y

2

? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值为
1 4 1 4





m
A. 4

B.

C. ?

D. ? 4

4.某中学高三年级从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得 的成绩(满分 1 0 0 分)的茎叶图如图 1,其中甲班的学生的平均分是 8 5 , 乙班学生成绩的中位数是 8 3 ,则 x ? y 的值为
A. 7 B. 8 C.9






D.10

8 9 7 6 5 x 0 8 1 1 y ) 6 2 9 1 1 6 图1

5.已知向量 O A ? ? 3, ? 4 ? , O B ? ? 6 , ? 3 ? , O C ? ? m , m ? 1 ? ,若 A B // O C ,则实数 m 的值 为
A. ? 3 2 B. ?
x ?x

??? ?

??? ?

????

??? ?

????


1 4 C. 1 2 D.


3 2

6.已知函数 f ? x ? ? e ? e

? 1 ( e 为自然对数的底数) ,若 f

? a ? ? 2 ,则 f ? ? a ? 的值为

A. 3

B. 2

C .1

D. 0

7.已知两条不同的直线 m 、 l ,两个不同的平面 ? 、 ? ,在下列条件中,可得出 ? ? ? 的 是 ( ) , A . m ? l l // ? , l // ? B . m ? l ,? ? ? ? l , m ? ?
C . m / / l, l ? ? , m ? ? D . m // l , m ? ? , l ? ?

8. 下列说法正确的是
A . 函数 f

( 在其定义域上是减函数



?x? ?

1 x

B . 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件

C . 命题“ ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ? x ? R ,
2

x ? x ?1? 0 ”
2

D . 给定命题 p 、 q ,若 p ? q 是真命题,则 A. 9 B.10 C .11

?

p 是假命题

9.阅读图 2 的程序框图, 该程序运行后输出的 k 的值为 (
D.12



10. 已知实数 a 、 b 满足 a 2 ? b 2 ? 4 a ? 3 ? 0 ,函数 f ? x ? ? a sin x ? b co s x ? 1 的最大值记 为 ? ? a , b ? , ? ? a , b ? 的最小值为 则
A. 1 B. 2


C. 3 ?1
D. 3



二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 1
2 11.不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是

.
A

2

12.如图 3, A 、 B 两点之间有 4 条网线连接,每条网线连接的 最大信息量分别为 1 、 2 、 3 、 4 ,从中任取两条网线,则这两 条网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是 . 13.已知点 P 是直角坐标平面 x O y 上的一个动点, O P ?
M

B
3 4 图3

2 (点 O 是坐标原点) ,点

? ? 1, 0 ? ,则 co s ? O P M 的取值范围是

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 A B C (顶点 A 、 B 、 C 按 顺时针方向排列)的顶点 A 、 B 的极坐标分别为 ? 2 ,
? ?

? ?

? 7? ? ? 、? 2 , ? ,则顶点 C 的极坐标为 6 ? ? 6 ?
D

. 15.(几何证明选讲选做题)如图 2, A B 是圆 O 的直 径,延长 A B 至 C ,使 B C ? 2 O B , C D 是圆 O 的切 线 , 切 点 为 D , 连 接 AD 、 BD , 则 为 .
图4

AD BD

的值

A

O

B

C

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? co s x ? sin x ? ? ? co s x ? sin x ? . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 0 ? ? ?
?
2

,0 ? ? ?

?
2

,且 f ?

2 ?? ? 1 ? ? ? ,求 s in ? ? ? ? ?? , f ? ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ?

? 的值.

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表: 食物类型 甲 维生素 C (单位 / k g ) 300 维生素 D (单位 / k g ) 成本(元 / k g )
x kg 、 y kg 、 z kg .
700
5


500


300

100
4

300
3

某工厂欲将这三种食物混合成 1 0 0 k g 的混合食物,设所用食物甲、乙、丙的重量分别为 (1)试用 x 、 y 表示混合食物的成本 P ; (2)某混合食物至少需要含 3 5 0 0 0 单位维生素 C 和 4 0 0 0 0 单位维生素 D ,问 x 、 y 、 z 取 什么值时,混合食物的成本最少? 18.(本小题满分 14 分) 某建筑物的上半部分的多面体 M N ? A B C D ,下半部分是长方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 (如图 5).该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 6,其中正(主)视图由正方形和等腰梯 形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. (1)求线段 A M 的长; (2)求证:平面 A B N M ? 平面 C D M N ; (3)求该建筑物的体积.

M D A

N C B

2 1 1

4 侧视

4

D1 A1
正视 图5

C1
2

B1

正(主)视图

侧(左)视图

图6

19.(本小题满分 14 分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C 1 与抛物线 C 2 : x 2 ? 4 y 有一个相同的焦点 F1 ,直线 l :
y ? 2 x ? m 与抛物线 C 2 只有一个公共点.

(1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C 1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C 1 的长轴长取得最小值时,求椭圆 C 1 的方程 及点 P 的坐标.

20.(本小题满分 14 分)
? 已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,对任意 n ? N ,都有 a n ? 0 且 S n ?

? an

? 1? ? a n ? 2 ? 2

,令

bn ?

ln a n ? 1 ln a n

.

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式;
? (2) 使乘积 b1 ? b 2 ? ? ? b k 为整数的 k ? k ? N ? 叫 “龙数” 求区间 ?1, 2 0 1 2 ? 内的所有 , “龙数”

之和; (3)判断 b n 与 b n ? 1 的大小关系,并说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?
1 2 ax ? x , a ? R .
2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使得函数 f ? x ? 的极值大于 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不存 在,说明理由.


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