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2012年广州二模数学文科试题答案


试卷类型:B

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(文科)
2012.4 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的 市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类 型(B)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、 多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
参考公式:锥体的体积公式 V

?

1 Sh ,其中 S 3

是锥体的底面积, h 是锥体的高。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A 满足 A ? ?1,2? ,则集合 A 的个数为 ( )

A. 4

B. 3

C. 2

D.1


2.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? i , z2 ? 2 ? i ,且 z1 ? z2 ,则实数 a 的值为(

A. 2
3.已知双曲线 x ?
2

B. ? 2

C. 2 或 ?2

D. ? 2 或 0
( )

y2 ? 1的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值为 m
B. 1 4 C. ? 1 4

A. 4

D. ? 4
甲 乙

4.某中学高三年级从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得 的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图 1,其中甲班的学生的平均分是 85 , 乙班学生成绩的中位数是 83 ,则 x ? y 的值为 (

8 9 7 6 5 x 0 8 1 1 y ) 6 2 9 1 1 6 图1

A. 7

B. 8

C. 9

D.10

5.已知向量 OA ? ? 3, ?4 ? , OB ? ? 6, ?3? , OC ? ? m, m ? 1? ,若 AB //OC ,则实数 m 的值 为
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??? ?

??? ?

????

??? ???? ?





A. ?

3 2
x ?x

B. ?

1 4

C.

1 2

D.

3 2

6.已知函数 f ? x ? ? e ? e

,若 f ? a ? ? 2 ,则 f ? ?a ? 的值为 ?1 ( e 为自然对数的底数)

A. 3

B. 2

C .1

D. 0

7.已知两条不同的直线 m 、 l ,两个不同的平面 ? 、 ? ,在下列条件中,可得出 ? ? ? 的 是 ( ) , A. m? l l //? , l //? B. m ? l , ? ? ? ? l , m ? ? , C . m / /l l ? ? , m ? ? 8. 下列说法正确的是 (

D. m//l , m ? ? , l ? ?


A. 函数 f ? x ? ?

1 在其定义域上是减函数 x

B. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C. 命题“ ?x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,

x2 ? x ? 1 ? 0 ” D. 给定命题 p 、 q ,若 p ? q 是真命题,则 ? p 是假命题 9.阅读图 2 的程序框图, 该程序运行后输出的 k 的值为 ( ) A. 9 B.10 C.11 D.12

10. 已知实数 a 、 b 满足 a 2 ? b2 ? 4a ? 3 ? 0 ,函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ?1 的最大值记 为 ? ? a, b? , ? ? a, b? 的最小值为 则 ( )

A.1

B. 2

C. 3 ? 1

D. 3

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 1
2 11.不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是

.
A

2

12.如图 3, A 、 B 两点之间有 4 条网线连接,每条网线连接的 最大信息量分别为 1 、 2 、 3 、 4 ,从中任取两条网线,则这两 条网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是 . 13.已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点, OP ?

B
3 4 图3

,点 2 (点 O 是坐标原点) .

M ? ?1,0? ,则 cos ?OPM 的取值范围是

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC (顶点 A 、 B 、 C 按 顺时针方向排列)的顶点 A 、 B 的极坐标分别为 ? 2,

? ?

??

? 7? ? 、 ? 2, 6? ? 6

? ? ,则顶点 C 的极坐标为 ?
D

. 15.(几何证明选讲选做题)如图 2, AB 是圆 O 的直 径,延长 AB 至 C ,使 BC ? 2OB , CD 是圆 O 的切
数学(文科)试卷 B

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O

B

C

图4

线,切点为 D ,连接 AD 、 BD ,则

AD 的值为 BD

.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? cos x ? sin x ? ? ? cos x ? sin x ? . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,且 f ?

?? ? 1 ?? , ?2? 3

?? ? 2 f ? ? ? ,求 sin ?? ? ? ? 的值. ?2? 3

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表: 食物类型 甲 维生素 C (单位 /kg ) 300 维生素 D (单位 /kg )





700 成本(元 /kg ) 5 某工厂欲将这三种食物混合成 100 kg 的混合食物,设所用食物甲、乙、丙的重量分别为 x kg 、 y kg 、 z kg . (1)试用 x 、 y 表示混合食物的成本 P ; (2)某混合食物至少需要含 35000 单位维生素 C 和 40000 单位维生素 D ,问 x 、 y 、 z 取
什么值时,混合食物的成本最少? 18.(本小题满分 14 分) 某建筑物的上半部分的多面体 MN ? ABCD ,下半部分是长方体 ABCD ? A B1C1D1 (如图 1 5).该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 6,其中正(主)视图由正方形和等腰梯 形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. (1)求线段 AM 的长; (2)求证:平面 ABNM ? 平面 CDMN ; (3)求该建筑物的体积.

500 100 4

300 300 3

M D A

N C B

2 1 1

4 侧视

4

D1 A1
正视 图5

C1
2

B1

正(主)视图

侧(左)视图

图6

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19.(本小题满分 14 分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 有一个相同的焦点 F1 ,直线 l :

y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C1 的长轴长取得最小值时,求椭圆 C1 的方程 及点 P 的坐标.

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N ,都有 an ? 0 且 Sn ?
?

? an ? 1?? an ? 2 ? ,令
2

bn ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

ln an?1 . ln an

? (2) 使乘积 b1 ? b2 ??? bk 为整数的 k k ? N 叫 “龙数” 求区间 ?1, 2012? 内的所有 , “龙数”

?

?

之和; (3)判断 bn 与 bn ?1 的大小关系,并说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; 在,说明理由.

1 2 ax ? x , a ? R . 2

(2)是否存在实数 a ,使得函数 f ? x ? 的极值大于 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不存

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