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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《第二章 随机变量及其分布》章末质量评估


章末质量评估(二)
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设随机变量 X 的概率分布列为 X P 则 E(X+2)的值为 11 A. 3 解析 B.9 13 C. 3 7 D.3 1 1 6 2 1 3 3 1 2 ( ).

>
1 1 1 1 2 3 14 7 ∵E(X)=1×6+2×3+3×2=6+3+2= 6 =3.

7 13 ∴E(X+2)=E(X)+2=3+2= 3 . 答案 C

2.某一供电网络,有 n 个用电单位,每个单位在一天中使用电的机会是 p,供 电网络中一天平均用电的单位个数是 A.np(1-p) 解析 答案 B.np C.n D.p(1-p) ( ).

供电网络中一天用电的单位个数服从 B(n,p),故所求为 np. B

3.口袋中有 5 只白色乒乓球,5 只黄色乒乓球,从中任取 5 次,每次取 1 只后 又放回, 5 次中恰有 3 次取到白球的概率是 则 1 A.2 解析 答案 3 B.5
3 C5 C.C5 10

( D.C3·0.55 5

).

任意取球 5 次,取得白球 3 次的概率为 C3·0.53·(1-0.5)2=C30.55. 5 5 D ( ).

1 4. 设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=7(k=0, 2, 7), E(X)为 1, ?, 则 1 A.7 5 B.7 C.1 D.4

解析 答案

1 依分布列特点知 E(X)=7(1+2+3+4+5+6+7)=4. D

5.对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出 2 件. 在第一次摸出正品的条件下, 第二次也摸到正品的概率是 3 A.5 解析 2 B.5 1 C.10 5 D.9 ( ).

记“第一次摸出正品”为事件 A,“第二次摸到正品”为事件 B,则

1 C6C1 3 9 P(A)=C1 C1=5, 10 9

C1C1 1 6 5 P(AB)=C1 C1=3. 10 9 故 P(B|A)= 答案 D ( ). P(AB) 5 = . P(A) 9

6. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0, P(ξ>1)=p, P(-1<ξ<0)等于 1), 则 1 A.2p 解析 B.1-p C.1-2p 1 D.2-p

本题主要考查了正态分布及随机变量的

概率问题.由随机变量服从正态分布 N(0,1), 由标准正态分布图可得 P(-1<ξ<0) 1 1 =2-P(ξ<-1)=2-P(ξ>1) 1 =2-p. 答案 D

7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜”,即以先赢 2 局者为 胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率 是 A.0.216 解析 B.0.36 C.0.432 ( D.0.648 ).

甲获胜有两种情况,一是甲以 2∶0 获胜,此时 p1=0.62=0.36;二是

甲以 2∶1 获胜,此时 p2=C1·0.6×0.4×0.6=0.288,故甲获胜的概率为 p1 2 +p2=0.648.

答案

D

8.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生成绩 X~N(110,52),据此估计,大 约有 57 人的分数所在的区间为 A.(90,100] C.(100,120] 解析 ∵X~N(110,52), B.(95,125] D.(105,115] ( ).

∴μ=110,σ=5, 57 又60=0.95≈P(μ-2σ<X≤μ+2σ) =P(100<X≤120). 答案 C

9. 将三颗骰子各掷一次, 记事件 A 表示“三个点数都不相同”, 事件 B 表示“至 少出现一个 3 点”, 则概率 P(A|B)等于 91 A.216 解析 5 B.18 60 C.91 1 D.2 ( ).

三颗骰子各掷一次,点数共有 6×6×6=216 种,事件-表示“三次 B

125 - 都没有出现 3 点”,共有 5×5×5=125 种,则 P(B)=1-P( B )=1-216= 5×4×C3 5 91 ,P(AB)= 216 =18, 216 所以 P(A|B)= 答案 C P(AB) 60 = . P(B) 91
1

10.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的 概率为 c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2(不计其他得分 情况), ab 的最大值为 则 1 A.48 解析 1 B.24 1 C.12 1 D.6 ( ).

由已知,得 3a+2b+0×c=2,得 3a+2b=2,

1 1?3a+2b?2 1 ? = . 所以 ab=6×3a×2b≤6? 6 ? 2 ? 答案 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 11.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层停靠,若该电梯在 1 底层载有 5 位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为3,用 X 表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数,则 P(X=4)=________. 解析 考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验,这是 5 次独立重复

1? ? 试验,故 X~B?5,3?, ? ? ?1?k ?2?5-k 即有 P(X=k)=Ck ?3? ×?3? , 5 ? ? ? ? k=0,1,2,3,4,5. 4 ?2?1 10 4?1? ∴P(X=4)=C5?3? ×?3? = . 243 ? ? ? ? 答案 10 243
1 2

1 1 12.两个人射击,甲,乙各射击一次中靶的概率分别是 p1,p2,且p ,p 是关于 x 的方程 x2-5x+m=0(m∈R)的两个根,若两人各射击 5 次,甲射击 5 次中 靶的期望是 2.5.则 p1=________.p2=________. 解析 由题意知甲服从 X~B(5,p1),

∴E(X)=5p1=2.5 1 ∴p1=2, 1 1 又∵p +p =5.
1 2

1 ∴p2=3. 答案 1 2 1 3

13.若 100 件零件中包含 10 件废品,现从中任取两件,已知取出的两件中有废 品,则两件都是废品的概率为________. 解析 设事件 A 为“取出的两件中有废品”,事件 B 为“取出的两件都是

废品”,由题意,显然,A∩B=B,

1 2 2 C10·C1 +C10 C10 90 而 P(A)= ,P(B)=C2 , 2 C100 100

故 P(B|A)= 答案 1 21

P(B) C2 1 10 = 2 1 1 = . P(A) C10+C10·C90 21

5 14.设 l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率等可能的取-2 2,- 3,- 2 , 5 0, 2 , 3,2 2.用 ξ 表示坐标原点到 l 的距离,则随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ)=________. 解析 设直线 l 的方程为 y=kx+1. 1 . k +1
2

则原点到直线 l 的距离 d=

5 2 1 当 k=0 时,d=1;当 k=± 2 时,d=3;当 k=± 3时,d=2; 1 当 k=± 2时,d=3. 2 所以 ξ 的分布列为 ξ P 1 3 2 7 1 2 2 7 2 3 2 7 1 1 7

1 2 1 2 2 2 1 4 E(ξ)=3×7+2×7+3×7+1×7=7. 答案 4 7

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(10 分)某同学参加科普知识竞赛需回答 3 个问题,竞赛规则规定:答对第 1、 2、3 个问题分别得 100 分、100 分、200 分,答错得零分.假设这名同学答 对第 1、2、3 个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6.且各题答对与否相互之间 没有影响. (1)求这名同学得 300 分的概率;

(2)求这名同学至少得 300 分的概率. 解 记“这名同学答对第 i 个问题”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1)=0.8,

P(A2)=0.7,P(A3)=0.6. (1)这名同学得 300 分的概率为: P1=P(A1-2A3)+P(-1A2A3) A A =P(A1)P(-2)P(A3)+P(-1)P(A2)P(A3) A A =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228. (2)这名同学至少得 300 分的概率为: P2=P1+P(A1A2A3)=P1+P(A1)P(A2)P(A3) =0.228+0.8×0.7×0.6=0.564. 16. 分)一张储蓄卡的密码共 6 位数字, (10 每位数字都可从 0~9 中任选一个. 某 人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求: (1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率. 解 设第 i 次按对密码为事件 Ai(i=1,2),则 A=A1∪(-1A2)表示不超过 2 A

次就按对密码. (1) 因为事件 A1 与事件-1A2 互斥,由概率的加法公式得 A 9×1 1 1 P(A)=P(A1)+P(-1A2)=10+ A = . 10×9 5 (2)用 B 表示最后一位按偶数的事件,则 1 4×1 2 P(A|B)=P(A1|B)+P(-1A2|B)=5+ A = . 5×4 5 17.(10 分)(2012· 江南十校联考)某仪表厂从供应商处购置元器件 20 件,双方协 商的验货规则是:从中任取 3 件进行质量检测,若 3 件中无不合格品,则这 批元器件被接受,否则就要重新对这批元器件逐个检查. (1)若该批元器件的不合格率为 10%,求需对这批元器件逐个检查的概率; (2)若该批元器件的不合格率为 20%,求 3 件中不合格元器件个数的分布列 与期望. 解 记 3 件元器件中有 X 件为不合格品.

C3 27 18 (1)P=1-P(X=0)=1-C3 =95;
20

(2)X 的可能取值为:0、1、2、3,
3 C16 28 P(X=0)=C3 =57, 20 1 C4C2 8 16 P(X=1)= C3 =19, 20 2 C4C1 8 16 P(X=2)= C3 =95, 20 3 C4 1 P(X=3)=C3 =285, 20

∴X 的分布列如下: X P 0 28 57 1 8 19 2 8 95 3 1 285

28 8 8 1 171 3 E(X)=0×57+1×19+2×95+3×285=285=5. 18.(12 分)在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态 分布 N(70,100).已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12 人. (1)试问此次参赛学生的总数约为多少人? (2)若成绩在 80 分以上(含 80 分)为优, 试问此次竞赛成绩为优的学生约为多 少人? 解 (1)设参赛学生的成绩为 X,因为 X~N(70,100),所以 μ=70,σ=10.

1 则 P(X≥90)=P(X≤50)=2[1-P(50<X<90)] 1 1 =2[1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]=2×(1-0.954 4) =0.022 8, 12÷0.022 8≈526(人). 因此,此次参赛学生的总数约为 526 人. 1 (2)由 P(X≥80)=P(X≤60)=2[1-P(60<X<80)] 1 1 =2[1-P(μ-σ<X<μ+σ)]=2×(1-0.682 6)

=0.158 7,得 526×0.158 7≈83. 因此,此次竞赛成绩为优的学生约为 83 人. 19.(12 分)(2012· 承德高二检测)市环保局举办 2011 年“六· 五”世界环境日宣传 活动,进行现场抽奖.抽奖规则是:盒中装有 10 张大小相同的精美卡片, 卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案. 参加者每次从盒中 抽取卡片两张,若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖. (1)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“绿色环保标志”卡?主持人 1 笑说:我只知道若从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是3.求抽 奖者获奖的概率; (2)现有甲乙丙丁四人依次抽奖,抽后放回,另一人再抽.用 ξ 表示获奖的人 数.求 ξ 的分布列及 E(ξ),D(ξ). 解
2 Cn 1 (1)设“环保会徽”卡有 n 张,由C2 =3,得 n=6. 10

C2 2 4 故“绿色环保标志”卡有 4 张.抽奖者获奖的概率为C2 =15. 10 2? ? ? 2 ?k ?13?4-k (2)ξ~B?4,15?,ξ 的分布列为 P(ξ=k)=Ck ?15? ·?15? (k=0,1,2,3, 4 ? ? ? ? ? ? 4) ξ 0 ?13?4 ?15? ? ? 1 2 C1·15· 4 ?13?3 ?15? ? ? 2 ? 2 ?2 C2?15? · 4 ? ? ?13?2 ?15? ? ? 3 ? 2 ?3 C3?15? · 4 ? ? ?13?1 ?15? ? ? 4 ? 2 ?4 ?15? ? ?

P

2 ? 104 2 8 2 ? ∴E(ξ)=4×15=15,D(ξ)=4×15×?1-15?=225. ? ?


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