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选修4系列知识点


专题九:几何证明选讲 1.平行线等分线段定理
平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上 截得的线段也相等。 推理 1 :经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2 :经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。

2.平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理:三条平行线截

两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定: 定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比 值叫做相似比(或相似系数) 。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑 6 个元素,即三组对应角是否分别相等, 三组对应边是否分别成比例, 显然比较麻烦。 所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形 相似的简单方法: (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似。 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与三角形相似。 判定定理 1 :对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等,那么这两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。 判定定理 2 :对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比 例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角 形相似。 判定定理 3 :对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这 条直线平行于三角形的第三边。 定理: (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。 定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比 例,那么这两个直角三角形相似。 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。

4.直角三角形的射影定理

射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是 它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

5.圆周定理
圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1 :同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。 推论 2 :半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

6.圆内接四边形的性质与判定定理
定理 1 :圆的内接四边形的对角互补。 定理 2 :圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。

7.圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1 :经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2 :经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

8.弦切角的性质
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

9.与圆有关的比例线段
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项。 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角。

专题十:坐标系与参数方程
1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P ( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ?

下,点 P ( x, y ) 对应到点 P ?( x ?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩 变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选定一个长 度单位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极 坐标系。 M ( ? ,? )

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用 ?y? ? ? ? y, ( ? ? 0).

?
?
O 图1 点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径, 记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序 数对 ( ? , ? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 注: 极坐标 ( ? , ? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0, ? )(? ? R ) . 若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 ( ? ? , ? ) 与点 ( ? , ? ) 关于极点对称,即 ( ? ? , ? ) 与

x

( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? , 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? , ? ) 表示 (即一一对应的关系) ;同时,极坐标 ( ? , ? ) 表示的点也是唯一确定的。
极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实 数 ? 、? 对应惟一点 P( ? ,? ),但平面内任一个点 P 的 极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有 规律可循的, P( ? ,? ) (极点除外) 的全部坐标为( ? , ? + 2k? )或( ? ? , ? + (2k ? 1)? ) ,( k ? Z).极点的极 径为 0, 而极角任意取. 若对 ? 、 则 ? 的取值范围加以限制. 除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定 ? >0,0 ≤ ? < 2? 或 ? <0, ? ? < ? ≤ ? 等. 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与 坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对应 的.即一个点的极坐标是不惟一的. 3、极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) ,极 坐标是 ( ? , ? ) ,从图中可以得出:
a
?

a ?
?

M
?

M

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

O

a

图1
? ? a
M

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )

x ? ? cos? ,

y ? ? sin? y ( x ? 0). x

? 2 ? x 2 ? y 2 , ta n ? ?
y

N

x

M

? ?
? ? ? ? ? ? ?

y H

x ? ? cos?

O
? ? ? ? ? ? ?

x2 ? y2 ? ?2
tan? ? y ( x ? 0) x

y ? ? sin?

(直极互化 图)

4、简单曲线的极坐标方程 ⑴圆的极坐标方程 ①以极点为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 (如图 1) ? ? a;

②以 ( a, 0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ; (如图 2) ③以 (a,

?
2

(如图 4) ) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ;

⑵直线的极坐标方程 ①过极点的直线的极坐标方程是 ? ? ? ( ? ? 0) 和 ? ? ? ? ? ( ? ? 0) . (如图 1) ②过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a . 化为直角坐标 方程为 x ? a .(如图 2) ③过点 A(a,

?
2

) 且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ? sin ? ? a . 化为直角坐标方程为
5、柱坐标系与球坐标系 ⑴柱坐标:空间点 P 的直角坐标
M

y ? a .(如图 4)
M(? , ?
?



M

?
0

?
?

( x, y, z) 与柱坐标 ( ? ,? , z ) 的变

O

x

?

O

a

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? ,?


? x ? ? cos ? ? 换关系为: ? y ? ? sin ? . ?z ? z ?
⑵球坐标系 空间点 P 直角坐标 ( x, y, z ) 与 球坐标 (r ,? , ? ) 的变换关系:

M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

图4

图5
? ??

a ?? sin ?

a sin?

图6
??
a cos( ? ? ?)

? x2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 ? ? x ? r sin ? cos ? . ? ? y ? r sin ? sin ? ? ? z ? r cos ?

6、参数方程的概念 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上, ? ? y ? g (t ), 那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 7、常见曲线的参数方程

(1)圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程为 ?

? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ; ? y ? b ? r sin ?

(2)椭圆

? x ? a cos ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ; 2 a b ? y ? b sin ?

? x ? b cos ? y2 x2 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ; a b ? y ? a sin ?
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程 a 2 b2

(3)双曲线

? ?x ? a s e c ( ? 为参数) ; ? ? ?y ? b t a n

双曲线

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程 a 2 b2

t ?x ? b c o ? ( ? 为参数) ; ? ? ?y ? ac s c
1 ) ; tan ?

(4)抛物线 y ? 2 px 参数方程★ ?
2

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

( t 为参数, t ?

参数 t 的几何意义:抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. (6)过定点 P( x0 , y 0 ) 、倾斜角为 ? (? ?

?

? x ? x0 ? t cos? ) 的直线的参数方程 ? ( t 为参 2 ? y ? y 0 ? t sin ?

数). 8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互 化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致. 参数方程化为普通方程的关键是消参数,并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解 变形,则一定要通过 x ? f (t ), y ? g (t ) 。根据 t 的取值范围导出 x, y 的取值范围.


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